1.4 全等三角形 [浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·路南月考）如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
B
解：根据图中信息和全等三角形的判定可知，∠1=∠α，
∵∠1=180°-50°-71°=59°，
∴∠α=∠1=59°，
故答案为：B．
根据三角形的内角和定理求得∠1=59°，再结合图中信息和全等三角形的判定条件可得∠1=∠α，即可得出答案.
2．（2024八上·诸暨月考）如图所示的两个三角形全等，已知某些边的长度和某些角的度数，求x的值．则x应等于（ ）
A． B． C． D．
A
解：∵如图所示的两个三角形全等，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
先利用全等三角形对应角相得到，再利用三角形内角和定理求出即可．
3．（2024八上·永嘉月考）如图，若则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．DA平分 D．
D
解：A、∵，
∴，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，故C不符合题意；
D、∵，
∴，故D符合题意；
故答案为：D．
根据全等三角形对应角相等得，从而得，即可判断A成立；根据全等三角形对应角相等以及三角形外角的性质得，即可判断B成立；根据全等三角形的性质以及等腰三角形“等边对等角”的性质得，即可判断C成立；根据全等三角形对应边相等得，即可判断D不成立.
4．（2024八上·龙湾月考）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
B
5．（2024八上·拱墅月考）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
D
解：如图所示
两三角形全等
故答案为：D．
如图，由全等三角形的性质知，再根据三角形内角和定理求得的度数即可.
6．（2024八上·诸暨月考）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（ ）
A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10
C
解：∵，
∴
如图，当点在射线上时，在上，，
∵
∴，
∴．
如图，当点在的反向延长线上时，
∵，
∴，
∴．
综上所述，当或时，，
故选：．
分"点在射线上"、“点在的反向延长线上”两种情况讨论，分别列出关于的方程，求出的值．
7．（2024八上·义乌月考）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）
A．2 B．2或 C． 或 D．2或 或
A
解：∵△ABC三边长分别为3，4，5，△DEF三边长分别为3，3x-2，2x-1，这两个三角形全等，
①3x-2=4，解得：x=2，
当x=2时，2x+1=5，两个三角形全等.
②当3x-2=5，解得：x= ，
把x= 代入2x+1≠4，
∴3x-2与5不是对应边，两个三角形不全等.
故答案为：A.
首先根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等可得：3x-2与4是对应边，或3x-2与5是对应边，计算发现，3x-2=5时，2x-1≠4，故3x-2与5不是对应边.
8．（2024八上·吴兴月考）如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
D
解：如图所示，
在和中，
，
，
，
，，
，
即，
在和中，
，
，故①正确；
，，
，
，
，
，故②正确；
，
，
在和中，
，
，
，即平分，故③正确；
，，
，
的边的高和的边上的高相同，
，
，，
，即为的中点，故④正确；
即正确的个数有4个，
故选：D．
① 先由可证，则，又由、可得，再利用对顶角相等可根据证明；
② 由垂直的定义可得，则由四边形的内角和得，再由邻补角的概念可得，等量代换可得；
③ 连接，由得，又由①知，则，又由得，则，则可利用SSS证明，由全等三角形的性质得出；
④ 由知，则当时必然有，则由等底同高知．
9．（2024八上·长兴月考）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
解：①∵BD⊥AP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACP=∠ADB，
∵∠APC=∠DPB，
∴∠CAP=∠CBD，故①正确；
②∵CH⊥CD，
∴∠HCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
在△ACH和△BCD中，
，
∴△ACH≌△BCD（ASA），故②正确；
③∵△ACH≌△BCD，
∴S△ACH=S△BCD，
，
∴，
∴，
∴，故③正确；
④∵△ACH≌△BCD，
∴CH=CD，
∵∠HCD=90°，
∴，
∴CD=，故④错误，
综上所述，正确的结论有①②③，共3个，
故答案为：C.
根据等角的余角相等可得出①正确；利用可证明△ACH≌△BCD可得出②正确；根据△ACH≌△BCD可得S△ACH=S△BCD，结合即可得出③正确；根据③中结论求出即可得出④错误．
10．（2024八上·金华月考）如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连结．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
A
解：平分，
，
在和中，
，
，
∴∠CDB=∠EDB，
∵∠EDB=∠EDA+∠ADB，
∴∠CDB=∠EDA+∠ADB，
∵∠CDB+∠ADB=180°，∠ADE=44°，
∴∠EDA+∠ADB+∠ADB=44°+2∠ADB=180°，
∴∠ADB=68°.
故答案为：A.
先证明（SAS），可得∠CDB=∠EDB，再根据∠CDB+∠ADB=180°，即可得出答案.
11．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5
B．2
C．
D．
B
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴在Rt△EBC中，∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CEB和△ADC中，，
∴△CEB △ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故答案为：B．
根据垂直的定义得∠E=∠ADC=，再利用直角三角形的两内角互余可推出∠EBC=∠DCA，进一步可利用AAS推出 CEB ADC，可得BE=DC，进而求出DE的值．
12．（2024八上·杭州月考）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
解：①是的平分线，，
，，
在和中，
，
，
，故①正确；
②，，
，
∵是的平分线，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
，故②正确；
③，
，
，，
∴，，
∵，
∴，
，
，故③错误；
④当时，有，
，
，
，则与不相等，故④错误；
综上所述，正确的有2个，
故答案为：C．
①先结合角平分线的定义证明，得，即可判断①正确；②由①中的三角形全等可得，由①同理可证，得，于是得，即可判断②正确；③由①②的三角形全等可得，，由三角形内角和定理得，据此可求出，即可判断③错误；④当时，有，结合的大小可知，于是与不相等，即可判断④错误.
二、填空题
13．（2024八上·金华月考）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ．
5
解：，，，
∴∠ABC=∠CDE=90°，∠BAC=90°-∠ACB=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴DE=BC=2，AB=CD=3，∴图中阴影部分的面积为=5，
故答案为：5.
先证明△ABC≌△CDE，利用梯形面积与直角三角形的面积差计算即可.
14．（2024八上·杭州月考）若，，，则 ．
130°
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：130°．
利用三角形内角和定理求出，然后由全等三角形对应角相等的性质得到．
15．（2024八上·柯桥月考）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
或（答案不唯一）
16．（2024八上·乐清月考）如图所示，，，， ．
17．（2024八上·乐清月考）若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝ °．
60
解：在△ABC中，∵ ∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠C=60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠C=60°.
故答案为：60.
首先根据三角形的内角和定理算出∠C=60°，进而根据全等三角形的对应角相等得∠F=∠C=60°.
18．（2023八上·慈溪月考）如图，若，且，，则 °．
50
19．（2023八上·椒江月考）如图，，，，点在线段上．若，，则 ．
解：∵∠BAC=∠DAE，∠1=∠BAC-∠DAC，∠EAC=∠DAE-∠DAC，
，
在和中，
，
，
∵∠2=30°，
，
∵∠1=25°，
，
故答案为：．
根据角的和差关系先证明∠1=∠EAC，接下来根据全等三角形的判定定理“SAS”可证明，从而由全等三角形对应角相等得到，最后根据三角形外角的性质得∠3=∠1+∠ABD，即可求解．
20．（2023八上·诸暨月考）如图，已知，的延长线交于点F，，，则 ．
解：，
，
∠ECA=180°-∠ACB=180°-105°=75°，
，
，
∵∠CAF=10°，
∴∠EAC=∠EAD+∠CAF=25°+10°=35°，
，
，
故答案为：.
根据三角形内角和定理、平角的定义求出∠CAB、∠ECA的度数，再根据全等三角形对应角相等得到，从而求出∠EAC的度数，接下来利用三角形内角和定理求出∠AEB的度数，进而求出∠DEF的度数.
21．（2024八上·金华月考）已知如图：，且，于，于，，.连结，.则图中阴影部分的面积为 .
5
解：解：∵∠ACE＝90°，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，
∴∠ACE＝∠B＝∠CDE＝90°，
∴∠BAC＋∠BCA＝∠BCA＋∠DCE＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE，
在△BAC和△DCE中，
，
∴△BAC≌△DCE（AAS），
∴DE＝BC＝2，
∴S阴影＝DE BD＝×2×(2＋3)＝5，
故答案为：5.
先证∠BAC＝∠DCE，再证明△BAC≌△DCE（AAS），得到DE＝BC＝2，则S阴影＝DE BD＝5．
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等．
2或3
解：厘米，点为的中点，
厘米，
∵，
∴当与全等时，点B与点C对应，
①若时，厘米，，
厘米，
厘米，
运动时间秒，厘米，
点的运动速度为；
②若时，厘米，，
厘米，
厘米，
运动时间秒，
点的运动速度为.
故答案为：2或3．
利用全等三角形的性质，分两种情况讨论：①若；②若，利用全等三角形对应边相等分别求解即可．
23．（2024八上·义乌月考）如图，已知，，且，那么是的 ．（填“中线”或“角平分线”）
中线
解：，，
，
在和中，
，
∴，
，
是的中线，
故答案为：中线．
利用垂直的定义可推出，再利用AAS证，根据全等三角形的对应边相等可得，再根据三角形的中线的概念判断即可．
24．（2024八上·慈溪月考）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且与所在的直线交于点P，若，则 ．
或2
25．（2024八上·义乌月考）如图，已知，则的度数为 ．
三、解答题
26．（2024八上·义乌月考）如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点．
（1）连结，，求证：；
（2）连结，若，，，求的周长的最小值．
（1）证明：∵m是的垂直平分线，
∴BD=CD，∠PDB=∠PDC=90°，
∵DP=DP，
∴△BDP≌△CDP（SAS）
∴BP=CP.
（2）解：∵m是的垂直平分线，
∴点B、C关于直线m对称，
如图所示：设直线m交于D，
∵，
∴AP+PC=AP+BP≥AB，
∴当点P和点D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴的最小值=．
答：周长的最小值是．
（1）直接利用线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）由题意可知，点B、C关于直线m对称，可得BP=CP，所以当点P与点D重合时，AP+CP的值最小，此时△APC的周长取得最小值.
（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点，
∴；
（2）解：∵直线m垂直平分，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交于D，如图：
∵，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是：
．
27．（2024八上·拱墅月考）如图，，点在边上，，求的度数．
解：，
，，
，
，
，
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出BC=EC，∠CED=∠B，根据等边对等角得出∠CEB=∠B，结合三角形内角和是180°求出∠CED的度数，即可求解.
28．（2024八上·金华月考）如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，.
（1）若，，求的长.
（2）若，，求的度数.
（1）解：，，，，
在和中，
，，，，
，，
（2）解：，，，，
（1）根据平行线的性质及线段的和差得出∠F＝∠ACB，∠B＝∠DEF，利用AAS证明△ABC △DEF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质及三角形外角的性质求解即可．
29．（2024八上·嘉善月考）如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数．
30．（2024八上·义乌月考）在下面过程中的横线上填空，并在括号内注明理由．如图，已知∠B=∠C，AD=AE，说明DB与EC相等．
解：在△ABE和△ACD中
∠B＝∠C (已知)
___________＝__________( )
AD=AE ( )
∴△ABE≌△ACD（ ）
∴AB=AC（_______）
又∵AD=AE
∴AB- AD =AC- AE，即DB=EC．
∠A；∠A；公共角；已知；AAS；全等三角形的对应边相等
31．（2024八上·杭州月考）已知，如图，点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2）当，时，求的度数．
（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
（1）利用已知条件可证得AB=ED，利用SAS可证得结论.
（2）利用三角形的内角和定理可求出∠A的度数，再利用全等三角形的对应角相等，可求出∠E的度数.
32．（2024八上·杭州月考）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且.
（1）求证：；
（2）若，求AD的长.
（1）证明：∵AD=BC，∴AD-CD=BC-CD，即AC=BD
∵∠A=∠B，AE=BF，
∴△ACE≌△BDF（SAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，∴AD＝AB-BD＝6，故CD的长为4．
（1）先由等量减等量得出AC=BD，然后根据全等三角形的判定定理SAS即可证明△ACE≌△DBF.
（2）根据△ACE≌△DBF可求出BD的长，即可求出CD的长.1.4 全等三角形 [浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·路南月考）如图，图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·诸暨月考）如图所示的两个三角形全等，已知某些边的长度和某些角的度数，求x的值．则x应等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·永嘉月考）如图，若则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．DA平分 D．
4．（2024八上·龙湾月考）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·拱墅月考）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·诸暨月考）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（ ）
A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10
7．（2024八上·义乌月考）已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（ ）
A．2 B．2或 C． 或 D．2或 或
8．（2024八上·吴兴月考）如图，已知，点，分别在边，上，且，连结，相交于点，连结，过点作，，垂足分别为，．给出下列结论：①；②；③平分；④若，则是的中点．其中所有正确的结论是（ ）
A．①④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
9．（2024八上·长兴月考）如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八上·金华月考）如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连结．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5
B．2
C．
D．
12．（2024八上·杭州月考）如图，在中，、分别是和的平分线，于，交于，于，交于，，，，，结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．（2024八上·金华月考）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ．
14．（2024八上·杭州月考）若，，，则 ．
15．（2024八上·柯桥月考）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可）
16．（2024八上·乐清月考）如图所示，，，， ．
17．（2024八上·乐清月考）若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠F＝ °．
18．（2023八上·慈溪月考）如图，若，且，，则 °．
19．（2023八上·椒江月考）如图，，，，点在线段上．若，，则 ．
20．（2023八上·诸暨月考）如图，已知，的延长线交于点F，，，则 ．
21．（2024八上·金华月考）已知如图：，且，于，于，，.连结，.则图中阴影部分的面积为 .
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以2厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点的运动速度为 时，能够在某一时刻使与全等．
23．（2024八上·义乌月考）如图，已知，，且，那么是的 ．（填“中线”或“角平分线”）
24．（2024八上·慈溪月考）如图所示，在等腰中，，点D为射线上的动点，，且与所在的直线交于点P，若，则 ．
25．（2024八上·义乌月考）如图，已知，则的度数为 ．
三、解答题
26．（2024八上·义乌月考）如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点．
（1）连结，，求证：；
（2）连结，若，，，求的周长的最小值．
27．（2024八上·拱墅月考）如图，，点在边上，，求的度数．
28．（2024八上·金华月考）如图，点、、、在同一条直线上，与相交于点，，，.
（1）若，，求的长.
（2）若，，求的度数.
29．（2024八上·嘉善月考）如图，，点在边上，与相交于点，已知，，，求的度数．
30．（2024八上·义乌月考）在下面过程中的横线上填空，并在括号内注明理由．如图，已知∠B=∠C，AD=AE，说明DB与EC相等．
解：在△ABE和△ACD中
∠B＝∠C (已知)
___________＝__________( )
AD=AE ( )
∴△ABE≌△ACD（ ）
∴AB=AC（_______）
又∵AD=AE
∴AB- AD =AC- AE，即DB=EC．
31．（2024八上·杭州月考）已知，如图，点、、、在同一直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2）当，时，求的度数．
32．（2024八上·杭州月考）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且.
（1）求证：；
（2）若，求AD的长.
