1.7 角平分线的性质[浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·绍兴月考）如图，在中，，是角平分线，于点E，，，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2024八上·嘉善月考）如图，在中，的平分线为的面积是（ ）
A．7 B．2 C． D．14
3．（2024八上·乐清月考）如图，中，，平分，，点D到的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024八上·西湖月考）如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
5．（2024八上·余杭月考）如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
6．（2024八上·萧山月考）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
B．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等
7．（2023八上·柯桥月考）如图，在中，和的平分线、相交于点F，，，则（ ）
A．128° B．120° C．119° D．121°
8．（2024八上·义乌月考）如图，D为两个内角平分线的交点，若，，，，则点D到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·西湖月考）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法一定正确的是（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．①③④ B．①③④⑤ C．③④⑤ D．①②④⑤
10．（2024八上·义乌月考）如图是教材例题中用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，用到的作图依据有（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
11．（2024八上·乐清月考）如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·临平月考）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于点F，下列结论：
①；②；③平分；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
13．（2023八上·西湖月考）如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（ ）
A．点到边的距离相等 B．平分
C． D．点到、、三点的距离相等
二、填空题
14．（2024八上·诸暨月考）如图，在 RtABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD＝3，BC＝8，则BDC 的面积是 ．
15．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为
16．（2024八上·义乌月考）如图，是的角平分线，，，且，则的面积是．
17．（2024八上·义乌月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ADC的面积=9，DE=2，则AC的长是 ．
18．（2024八上·柯桥月考）点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是
19．（2024八上·吴兴月考）如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是 ．
20．（2024八上·柯桥月考）点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是
21．（2024八上·义乌月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是．
23．（2024八上·义乌月考）如图，在和中，，，，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等；
其中正确的有 个（填正确的个数）
24．（2024八上·义乌月考）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，刚好至点，当时，恰好平分，若，则 ．
三、解答题
25．（2024八上·嘉善月考）如图，在中，点是与的平分线的交点，已知的面积是12，周长是8，求：
（1）的度数．
（2）点到边的距离的大小．
26．（2024八上·杭州月考）如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系请说明理由．
27．（2024八上·浙江月考）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，．
（1）求的度数；
（2）求的周长．
28．（2023八上·江北月考）如图，在中，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
（1）若点恰好在的角平分线上（点除外），求的值；
（2）点运动的过程中，当为等腰三角形时，则的值．
29．（2023八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．1.7 角平分线的性质[浙江历年真题] 同步练习
一、选择题
1．（2024八上·绍兴月考）如图，在中，，是角平分线，于点E，，，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
B
解：∵是角平分线，，，
∴，
∴，
故选：B．
根据题意可知DC⊥AC，DE⊥AB，且 是角平分线，所以根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式计算即可．
2．（2024八上·嘉善月考）如图，在中，的平分线为的面积是（ ）
A．7 B．2 C． D．14
A
3．（2024八上·乐清月考）如图，中，，平分，，点D到的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
4．（2024八上·西湖月考）如图，在△ABC中，BC=10，CD是∠ACB的平分线．若P，Q分别是CD和AC上的动点，且△ABC的面积为24，则PA+PQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
C
5．（2024八上·余杭月考）如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.4 B．4 C．4.8 D．5
C
6．（2024八上·萧山月考）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．有两个角和一条边对应相等的两个三角形全等
B．到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．有一个角和两条边对应相等的两个三角形全等
D
7．（2023八上·柯桥月考）如图，在中，和的平分线、相交于点F，，，则（ ）
A．128° B．120° C．119° D．121°
B
8．（2024八上·义乌月考）如图，D为两个内角平分线的交点，若，，，，则点D到边的距离为（ ）
A． B． C． D．
A
解：过点分别作于点G，于点E，于点F，连接，如图所示：
∵点D为∠ABC和∠ACB的角平分线，且，，，
∴DE=DF=DG，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴12×5=（13+5+12）DE，
∴DE=2cm，
∴点D到边的距离为，
故答案为：A．
过点分别作于点G，于点E，于点F，连接，根据角平分线的性质得到DE=DF=DG，再根据三角形面积公式计算即可.
9．（2024八上·西湖月考）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法一定正确的是（ ）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．①③④ B．①③④⑤ C．③④⑤ D．①②④⑤
B
10．（2024八上·义乌月考）如图是教材例题中用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，用到的作图依据有（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
C
解：由作图可得：OM＝ON，CM＝CN，
在△MOC与△NOC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS）．
∴∠AOC=∠BOC，即OC平分∠AOB；
故答案为：C．
由作图可得：OM＝ON，OC＝OC，CM＝CN，由全等三角形的判定定理“三边对应相等的两个三角形全等”可以求解．
11．（2024八上·乐清月考）如图，用尺规作已知角的角平分线的理论依据是（ ）
A． B． C． D．
C
解：连接，根据作图可知，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴射线是的角平分线．
故答案为：C．
首先根据SSS证得，进而得出，即可得出结论。
12．（2024八上·临平月考）如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于点D，交的延长线于点E，于点F，下列结论：
①；②；③平分；④．正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
B
13．（2023八上·西湖月考）如图，在中，平分，根据尺规作图的痕迹作射线，交于点，连接，则下列说法错误的是（ ）
A．点到边的距离相等 B．平分
C． D．点到、、三点的距离相等
D
二、填空题
14．（2024八上·诸暨月考）如图，在 RtABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，AD＝3，BC＝8，则BDC 的面积是 ．
12
解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC， AD＝3，
∴AD＝DE＝3，
又BC＝8，
∴=×DE×BC＝×8×3＝12，
故答案为：12．
先利用角平分线性质求出DE，再利用三角形的面积求解．
15．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为
2
解：由作图得平分，∵，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
∴的面积；
故答案为：2．
根据基本作图步骤确定平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，代入面积公式即可.
16．（2024八上·义乌月考）如图，是的角平分线，，，且，则的面积是．
12
17．（2024八上·义乌月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ADC的面积=9，DE=2，则AC的长是 ．
9
解：过点作，交于点，如图：
∵是的角平分线，，，，
∴，
∵的面积，
∴，
∴，
故答案为：．
根据题意是的角平分线，于点E，我们过点D作DF⊥AC，即可根据角平分线的性质得到DE=DF，然后根据三角形面积公式即可求解．
18．（2024八上·柯桥月考）点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是
解：过作于，
，，平分，
，
点到边的距离等于10，
，
，
故答案为：．
如图，过作于，由角平分线的性质可得，再由垂线段最短可得．
19．（2024八上·吴兴月考）如图，射线是的角平分线，D是射线上一点，于点P，，若点Q是射线上一点，，则的面积是 ．
10
解：作于点H，如图所示：
是的角平分线，，，
，
，
故答案为：10
作于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得到，然后利用三角形的面积公式解答即可．
20．（2024八上·柯桥月考）点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是
解：过作于，
，，平分，
，
点到边的距离等于10，
，
，
故答案为：．
过作于，根据角平分线的性质得出，再根据垂线段最短确定PQ的取值范围．
21．（2024八上·义乌月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
①②③
解：①∵在中，，
∴，
∵和是和的平分线，
∴，
∴，
∴结论正确；
②在上截取，
∵是的角平分线，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴结论正确；
③作于于，
∵和的平分线，相交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴结论正确；
∴正确的序号为①②③；
故答案为①②③．
①根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可判断求解；
②在上截取，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE，结合已知，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AF=AH，然后根据线段的和差AB=BH+AH可判断求解；
③作于于，根据角平分线的性质及三角形的面积可判断求解．
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是．
①③④
23．（2024八上·义乌月考）如图，在和中，，，，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④点到和的距离相等；
其中正确的有 个（填正确的个数）
4
24．（2024八上·义乌月考）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，刚好至点，当时，恰好平分，若，则 ．
三、解答题
25．（2024八上·嘉善月考）如图，在中，点是与的平分线的交点，已知的面积是12，周长是8，求：
（1）的度数．
（2）点到边的距离的大小．
（1）
（2）
26．（2024八上·杭州月考）如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系请说明理由．
解：．
理由：如图，过点作于点，于点．
平分，
．
，，
．
在和中，
，
．
根据 与 可知，根据 是角平分线 可知，再根据即可证明 ，即可证明．
27．（2024八上·浙江月考）如图，在中，，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．若，．
（1）求的度数；
（2）求的周长．
（1）
（2）
28．（2023八上·江北月考）如图，在中，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒．
（1）若点恰好在的角平分线上（点除外），求的值；
（2）点运动的过程中，当为等腰三角形时，则的值．
（1）秒
（2）秒或秒或秒或秒
29．（2023八上·杭州月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形．
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB=90°，
∠ABD＋∠BME=90°，
∵∠BME=∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD=90°，
∴∠CDB=∠CMD，
∴CM=CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解︰作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB=90°，BD平分∠ABC，
∴DC=DF，
∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=，
∵S△ABC=S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD=DF=3，
由（1）知：CM=CD，
∴CM=3，
即CM的长度为3.
（1）由角平分线定义得∠CBD=∠ABD，由直角三角形的量锐角互余、等角的余角相等及对顶角相等得∠CDB=∠CMD，由等角对等边得CM=CD，从而可得结论；
（2）作DF⊥AB于点F，如图所示，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DC=DF，在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC的长，进而根据S△ABC=S△BCD+S△ADB，结合三角形面积计算公式建立方程可求出CD=DF=3，再结合（1）的结论可得答案.
