2.3等腰三角形的性质定理 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

2.3等腰三角形的性质定理浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 ; 考试时间：120分钟； 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，点在的边上，点在射线上不与点，重合，连结，下列命题中，假命题是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
2.如图，在等边三角形中，，是的两条中线，。是上的一动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.如图，，均为的角平分线。若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知是等边三角形，点，，，在同一条直线上，且，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，于点，于点，于点，，则的长为 ( )
A. B. C. D.
6.下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是( )
A. 等腰三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴
B. 若，则
C. 等边三角形有一个角等于
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
7.下列命题是真命题的是( )
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 若，则
C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明：“已知，，求证：”第一步应先假设
8.如图，在中，点，，分别在边，，上，，，则四边形的周长是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，的顶点，分别在，上，且，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，平分，若，则长度为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点在上找一点，使得，若，则的度数为( )
A. B. C. D. 无法确定
12.如图，矩形的对角线，交于点，点在边上，连接，点是的中点，连接，，下列结论中不正确的是( )
A. 若，则
B. 若是等边三角形，且点是的中点，则
C. 若平分，，则
D. 若，点是的三等分点，则的值为或
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，是的中点，于点，交于点。若，，则 。
14.如图，四边形是菱形，是等边三角形，点、分别在边、上，且，则等于 ．
15.如图，在等边中，平分，点是延长线上一点，且，连接，则 ．
16.如图，是等边三角形的边的中点，为边延长线上一点，，则的度数为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知和线段如图，用直尺和圆规作等腰三角形，使顶角，角平分线．
18.本小题分
已知：如图，平分，．
求证：．
19.本小题分
如图，在等边三角形的边，上各取一点，，使，，相交于点．
求证：；
求的度数．
20.本小题分
如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且。若，求的度数。
21.本小题分
如图，在中，，于点，于点，，相交于点。求证：平分。
22.本小题分
如图，在中，，是的中点，于点，于点．
求证：．
如果，，求的长．
23.本小题分
如图，和都是等边三角形，点在边上，连结．
求证：．
若，，求的长．
24.本小题分
如图，在中，，是的中点，，分别是，上的点，且，求证：．
25.本小题分
如图，在中，，，以为边，在的外部作等边三角形，是的中点，连接并延长交于求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】若，，则是中点，是的垂直平分线，，故选项A是真命题，不符合题意；，即，又，是的垂直平分线，，故选项B是真命题，不符合题意；若，，则，是中点，是的垂直平分线，，故选项C是真命题，不符合题意；若，，不能得到，故选项D是假命题，符合题意．故选D．
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】因为在中，，， 所以是的中线， 所以 因为， 所以 因为，所以 因为，所以．
6.【答案】
【解析】解：、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线都是它的对称轴，原命题是假命题，故不符合题意；
B、若，则，原命题是假命题，故不符合题意；
C、等边三角形有一个角等于，原命题是真命题，逆命题是有一个角等于的三角形是等边三角形，逆命题是假命题，故不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，原命题是真命题，逆命题也是真命题，故符合题意；
故选：．
根据等腰三角形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质和不等式的性质判断即可．
本题考查了原命题与逆命题、真假命题的判定，掌握等腰三角形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质和不等式的性质是关键．
7.【答案】
【解析】解：、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误；
B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误；
C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确；
D、用反证法证明：“已知，，求证：”第一步应先假设，故本选项说法错误；
故选：．
分别根据等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法进行分析判断．
本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，，，
，
，
，，
，，
四边形的周长是，
四边形的周长是，
，
四边形的周长是，
故选：．
根据，，可以得到四边形是平行四边形，，，再根据和等量代换，即可求得四边形的周长．
本题考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，将平行四边形的周长转化为和的关系．
9.【答案】
【解析】解：，
又，
，
，
，
，，
，
又
，
故选：．
由知，结合可知，根据、知，利用可得答案．
本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．
10.【答案】
【解析】本题考查了三角形内角和，三角形外角性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质，公式法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．解：在中，，，
．
平分，
，
，．
．
即．
，，
∽．
．
．
．
则．
，即负值已舍去．
故选：．
先根据三角形内角和列式计算得，运用角平分线的定义得，整理得，，再证明∽，代入数值到，进行解方程，即可作答．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质，公式法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
11.【答案】
【解析】根据作图可得是的平分线，根据等边对等角以及三角形的内角和求得，进而根据直角三角形的两个锐角互余求得，结合角平分线的意义即可求得的度数
【详解】解：，
，
，
，
，
平分，
，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，
点是的中点，，
是线段的垂直平分线，
，
，
四边形是矩形，对角线，交于点，
点是的中点，点是的中点，
又点是的中点，
是的中位线，
，
故选项A正确，不符合题意；
对于选项B，
连接，如图所示：

是等边三角形，
，
四边形四边形是矩形，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
故选项B正确，不符合题意；
对于选项C，
四边形是矩形，
，
又点是的中点，
是斜边上的中线，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是的中位线，且，
，
，
，
故选项C正确，不符合题意；
对于选项D，
，
，，
点是的三等分点，
有以下两种情况：
当时，如图所示：
，
在中，由勾股定理得：，
是斜边上的中线，
，
是的中位线，
，
；
当时，如图所示：
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故选项D不正确，符合题意．
故选：．
对于选项A，依题意得是线段的垂直平分线，则，进而得，证明是的中位线，则，由此可对选项A进行判断；
对于选项B，连接，根据等边三角形和矩形性质得，证明是的中位线得，，由此根据勾股定理得，再根据即可对选项B进行判断；
对于选项C，证明是等腰直角三角形得，则，再根据三角形中位线定理得，则，由此可对选项C进行判断；
对于选项D，依题意得，，根据点是的三等分点，分两种情况讨论如下：当时，则，，进而得，，继而得；当时，则，进而得，再求出，则，继而得，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，，
，，
，，
设，则，
，
，
解得：，
，
．
故答案为：．
由菱形的性质得，，，，则，再由等边三角形的性质得，，则，，设，则，然后由三角形内角和定理列出方程，解方程，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键．
15.【答案】
度
【解析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形的性质可得，，再由，可得，然后根据三角形外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：是等边三角形，
，
平分，
，即，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】因为是等边三角形， 所以 因为是等边三角形的边的中点， 所以，所以， 所以 因为，所以 因为是的外角， 所以， 所以．
17.【答案】解：．任作射线，作
作的角平分线，在上截取
过点作垂线分别交、于点、，则为所求作的等腰三角形．

【解析】见答案
18.【答案】证明：如图，延长，交于点．
因为平分，
所以角平分线的定义．
而公共边，已知，
可得，
所以全等三角形的对应边相等，
由此可得是等腰三角形等腰三角形的定义．
又因为是等腰三角形顶角的平分线，
所以等腰三角形三线合一，
即．

【解析】见答案
19.【答案】【小题】
证明：因为是等边三角形，所以，．
在与中，因为
所以．
【小题】

【解析】 略
略
20.【答案】
【解析】略
21.【答案】证明：已知，
等边对等角．
、分别是高，
，高的定义．
．
，．
等量代换．
等角对等边，
在和中，
，
≌，
全等三角形对应角相等，
平分．
【解析】略
22.【答案】【小题】
证明：，是的中点，
，
平分，且于点，于点，
．
【小题】
，点是边上的中点，，
，
，
．

【解析】 略
略
23.【答案】【小题】
证明：和是正三角形，
，，，
，
在与中，
≌；
【小题】
，：：，
，
≌，
．

【解析】 略
略
24.【答案】连结，因为，是的中点，所以在和中，因为所以，所以．

【解析】略
25.【答案】解：，，
，
是等边三角形，是的中点，
，
，
，

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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