2.4等腰三角形的判定定理 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

2.4等腰三角形的判定定理浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个六边形的六个内角都是如图，连续四条边的长依次为，，，，则这个六边形的周长是( )
A. B. C. D.
2.已知、、为三角形的三边，若，则三角形的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
3.如图，在四边形中，，，，，，分别是，，的中点．若，则的周长是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，，，垂足为点，延长至点，取若的周长为，，则的周长是( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是( )
A. B. C. D.
6.如图，中，，点，分别在，上，是的中点．若，，则的长是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，点是斜边的中点，那么的度数为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接以下结论不正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，，平分，是上的一个动点，是边的中点，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在菱形中，，，是边上一点不与点，重合，作交于点，且，连接关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是( )
结论Ⅰ：连接，是等边三角形；
结论Ⅱ：的周长的最小值是．
A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确
C. 结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
11.如图，在菱形中，，点从点出发，沿折线方向移动，移动到点停止，连结，在形状的变化过程中，出现的特殊三角形有：等腰三角形；等边三角形；直角三角形，以下排序正确的是( )
A. B. C. D.
12.如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且：：，则为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，，。在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为 。
14.如图，中，，分别平分和，过点作交于点，交于点那么下列结论：和都是等腰三角形；；的周长等于与的和；其中正确的是 填序号
15.在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为______．
16.如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点、与轴交于点，，点在线段上，点在右侧的轴上，且，则 ；连接，则的最小值 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
求证：．
若，求的度数．
18.本小题分
如图，在中，，平分，，交于点，交于点．
求证：．
若且，求的长度．
19.本小题分
上午时，一条渔船从港口出发，以每小时海里的速度向正北方向航行，上午时到达海岛处从，望海岛，测得，如图所示．
求海岛到海岛的距离；
这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔的距离最短？
渔船从海岛按原来的方向继续航行海里记为点处出现了故障，它向海岛和海岛都发出了求救信号接到求救信号后，海岛派出的救援队立即以每小时海里的速度前往，海岛派出的救援队晚出发分钟，速度为每小时海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
20.本小题分
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，已知问：这名滑雪运动员的高度下降了多少米？
21.本小题分
如图，在中，点、分别为、上一点，连接、交于点，若，且．
当时，求的长；
当，时，求的值．
22.本小题分
如图，在中，，是上一点，是延长线上一点，且，连接交于点．
猜想与的大小关系；
请证明你的猜想．
23.本小题分
已知，，分别是的三边长，且，满足关系式．
求，的值；
若是方程的解，判断的形状？并说明理由．
24.本小题分
如图，已知．
画出关于轴对称的图形，并写出各点的坐标：______；______；______．
若点与点关于轴对称，直接写出______．
格点是以为底边的等腰三角形，并且格点在第四象限，写出点的坐标为______．
25.本小题分
如图，在中，，的平分线与交于点，点为上任意一点，过点作交于点，作交于点求证：是等腰三角形．
答案和解析
1.【答案】
【解析】如图所示，直线，，两两相交，它们交于点，， 因为六边形的六个内角都是， 所以六边形的每一个外角的度数都是， 所以，，，都是等边三角形， 所以，， 所以，， 所以六边形的周长为．
2.【答案】
【解析】解：，，，
，，
，，
，
三角形的形状为等边三角形，
故选：．
先根据绝对值，平方数的非负性，求出，再根据等边三角形的概念进行判断即可．
本题主要考查了等边三角形的判定以及非负数的性质，等边三角形的判定和非负数的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】，分别是，的中点，，，，，同理，，，，是等边三角形．，的周长是故选B．
4.【答案】
【解析】解：由提交可知是等边三角形，
的周长为，
，
由提交可知是高线也是边上的中线、的平分线，
，，
，
，
，
，
的周长为：，
故选：．
证明是等边三角形，结合，得三线合一，所以，，由得，所以，得，再根据三角形的周长公式即可求解．
本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点从向运动时，的最大值为，
即，
由于是曲线部分的最低点，
此时最小，
如图，即，，
由勾股定理可知：，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
图象右端点函数值为，
，
，
，
的面积为：．
故选：．
根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出与的长度．
本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的判定和三角形的面积．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
6.【答案】
【解析】本题考查了等腰三角形的判定与性质．根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答．
【详解】解：连接，
，是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半先根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而得到，再根据，即可得出的度数．
【解答】
解：中，，点是斜边的中点，
，
，
又，
，
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的概念及其性质，解题的关键是理解题意，利用特殊图形的性质解决问题．
根据，，可计算，再计算，即可判断选项；
通过计算发现，则可判断选项；
证明，即可判断选项；
根据，设，，解出即可判断选项．
【解答】
解：，，
，
由题意知：垂直平分，
，
，
，选项正确；
，
，
，选项正确；
，，
，
，即 ，选项正确；
设，，
，
解得：负值舍去，
，
，选项错误，
故选C．
9.【答案】
【解析】解：，
是等边三角形，
．
平分，
是的垂直平分线，
点，关于对称，
．
根据“两点之间线段最短”，连接，交于点，此时最小，即，
在中，点是的中点，
，．
根据勾股定理，得，
所以的最小值是．
故选：．
先判断是等边三角形，根据等边三角形的性质可知点，关于对称，可得，根据“两点之间线段最短”，连接，交于点，此时最小，即，然后根据勾股定理求出答案即可．
本题主要考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，关键是相关性质的熟练掌握．
10.【答案】
【解析】解：结论Ⅰ：连接、．
四边形是菱形，
，，．
，，
为等边三角形，
，，
，，
，
四边形是菱形，，
．
．
在和中，
，
≌．
．
又，
为等边三角形；故结论Ⅰ正确；
结论Ⅱ：为等边三角形，
的周长，
当最小时，的周长最小，
当时，的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
的周长的最小值是，故结论Ⅱ错误．
故选：．
结论Ⅰ：连接、根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到根据全等三角形的性质得到求得为等边三角形；故结论Ⅰ正确；
结论Ⅱ：根据三角形周长公式得到的周长，当最小时，的周长最小，当时，的值最小，根据勾股定理得到，于是得到的周长的最小值是，故结论Ⅱ错误．
本题主要考查的是轴对称最短路径问题，菱形的性质，解答本题需要同学们熟练掌握菱形的性质和全等三角形的性质和判定，证得≌是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：作于点，于点，连接、、，则，
四边形是菱形，，
，，，
，
和都是等边三角形，
，
，
当点与点重合时，为等腰三角形；
当点与点重合时，为直角三角形；
当点与点重合时，为等边三角形；
当点与点重重时，为直角三角形，
故选：．
作于点，于点，连接、、，则，由菱形的性质得，，，则，所以和都是等边三角形，求得，则，当点与分别与点、、、重合时，依次为等腰三角形、直角三角形、等边三角形、直角三角形，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：在矩形中，对角线，相交于点，：：，
，，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
．
故选：．
则，，根据：：，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出．
本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质．
13.【答案】或或
【解析】，，如图，有三种情形：当时，当时，当时，综上所述，的度数为或或
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过作分别交，于点，，
四边形是菱形，
，，，
，
，
设，
在中，，
即，
，
，的延长线，的延长线，
，
，
，，
在中，，，
即，
，，
在中，，
则，
将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
，，，，
，
即，
，
解得，
，
，
，
，
，
即，
，
，
则，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．
先根据菱形的性质以及解直角三角形分别求出，，，再结合勾股定理得，因为折叠，得，，，，运用勾股定理得出，，，，再证明∽，运用两个相似三角形的高的比等于相似比列式化简，即可作答．
本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的性质，勾股定理，难度大，综合性强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
16.【答案】

【解析】解：过点作轴于点，连接，则，
由条件可知，
，
对，
令，
则，
解得，
，
，
，
；
对，
令，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
的最小值为．
故答案为：；．
过点作轴于点，连接，求出，，得，；求出，得，，证明≌，得，，证明≌，得，是等边三角形，得，由，得的最小值为．
本题考查了一次函数综合题，熟练掌握一次函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题，构建方程解决问题．
17.【答案】【小题】
证明：如图，连接．
的垂直平分线交于点，
，
，
，
又为线段的中点，
．
【小题】
解：如图：
由知，
，，
，
，
，
，
．

【解析】 略
略
18.【答案】【小题】
因为平分，所以因为，所以，所以，所以．
【小题】
因为，所以因为，所以是等边三角形，所以因为，所以，，所以是等边三角形，所以．

【解析】 略
略
19.【答案】海岛到海岛的距离为海里；
上午时，小船与灯塔的距离最短；
救援队先到
【解析】由题意得：海里；
由条件可得，
，
海里；
答：海岛到海岛的距离为海里；
过作于点，
又，
，
海里，
从处到处需要小时，
答：小船与灯塔的距离最短时，此时为上午时；
由题意：海里，
由知海里，
，
由条件可得为等边三角形，
海里，
救援队所用时间为小时，
救援队所用时间为小时，
，
救援队先到．
根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可；
过作于，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答；
证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论．
本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定，熟练掌握以上知识点是关键．
20.【答案】解：如图，作于点，并作的斜边上的中线，则直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
因为，
所以直角三角形的两个锐角互余．
进而可得是等边三角形，
故．
答：这名滑雪运动员的高度下降了．

【解析】如图，作于点，这样问题就归结为求直角边的长．已知，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得斜边上的中线等于添上这条中线后，就构成含已知线段和所求线段的新三角形，由此就能找到未知量和已知量之间的关系．
21.【答案】；
．
【解析】解：过点作交的延长线于点，如图所示：

，，
，
，，
，，
，
，
；
，，
，
由可知：，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
∽，
，
设，，
，
，
．
过点作交的延长线于点，根据平行线性质得，，则，，进而得，，，再根据得；
根据，得，由可知，则，证明和全等得再证明和相似得，设，，则，进而得，由此即可得出的值．
此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
22.【答案】【小题】．
【小题】
如图，过点作 ，交于点， 则，．
，
．
．
．
，

在和中，

≌．
．
．

【解析】 略
见答案
23.【答案】解：由题意，得，，
解得，．
由方程，
解得或．
当时，有
是等腰三角形．
当时，有
不能构成三角形．
【解析】本题考查了算术平方根的非负性，偶次方的非负性，等腰三角形的判定定理的应用，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
根据算术平方根的非负性和偶次方的非负性求出、的值，
根据等腰三角形的判定定理判断的形状即可．
24.【答案】即为所求；
；；；
；
或
【解析】即为所求；
；；．
故答案为：；；；
点与点关于轴对称，
，
，
；
故答案为：；
是以为底边的等腰三角形，
点在线段的垂直平分线上，
格点在第四象限，
或，
故答案为：或．
利用轴对称的性质作图求解即可；
利用轴对称的性质列方程即可得到结论；
根据等腰三角形的定义作图，然后作答即可．
本题考查了作轴对称图形，等腰三角形的性质等知识．熟练掌握作轴对称图形，等腰三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【解析】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据垂直定义可得：，从而可得，，进而可得，最后根据等角对等边可得：，即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
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