2.5逆命题和逆定理 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

2.5逆命题和逆定理 浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，若，，则( )
A. 垂直平分 B. 垂直平分
C. 与互相垂直平分 D. 平分
2.如图，在中，，，为边上一点，过点作，交的延长线于点若，则的度数为 ( )
A. B. C. D.
3.如图：按下列步骤作图：在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作圆弧，交射线于点连结；以点为圆心，长为半径作圆弧，交弧于点；连结、作射线根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
A. B. 垂直平分 C. D.
4.如图，点在的边上，点在射线上不与点，重合，连结，下列命题中，不一定是真命题的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
5.如图，某市的三个城镇中心，，构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心，，的距离相等，则点应设计在( )
A. 三角形三个角的角平分线的交点 B. 三角形三条高的交点
C. 三角形三边垂直平分线的交点 D. 三角形三条中线的交点
6.下列各命题的逆命题成立的是( )
A. 如果两个数相等，那么它们的平方相等 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形是锐角三角形
7.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 两个全等三角形的对应角相等
B. 若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形
C. 两个全等三角形的面积相等
D. 如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
8.如图，已知点和点，在轴或轴上有一点，且点到点和点的距离相等，则点的坐标为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
9.如图，在等腰中，直角边，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为( )
A. B. C. D.
10.如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接下列结论：；：：；垂直平分；其中正确的是 ．
A. B. C. D.
11.如图，已知，求作一点，使点到的两边的距离相等，且，下列确定点的方法正确的是( )
A. 为、两角平分线的交点
B. 为 的角平分线与线段的垂直平分线的交点
C. 为的角平分线与线段的垂直平分线的交点
D. 为线段、的垂直平分线的交点
12.如图，在平行四边形中，于点，是的中点，是的中点，已知，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.命题“如果，那么”的逆命题是 命题填“真“或“假”
14.命题“如果，那么”的逆命题是 ．
15.命题“如果，那么”的逆命题是 命题．填“真”或“假”
16.如图，点是的外心，，，垂足分别为、，点、分别是、的中点，连接若，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
写出定理“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．
18.本小题分
利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题：
已知：如图，，，点在上。求证：。
19.本小题分
如图所示，在中，，，为边上的中点，于点，交的延长线于点，求证：垂直平分．
20.本小题分
如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点，，过点作于点，且为线段的中点．
求证：；
若，求的度数．
21.本小题分
如图，在中，点为边的中点，过点作交的延长线于点．
求证：．
若，求证：．
22.本小题分
在中，，平分，交于点，．
如图，求的度数；
如图，若是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接求证：．
23.本小题分
已知：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，于点，求证：是线段的垂直平分线．
24.本小题分
已知，如图，在中，是边上的中线，，，，求证：．
25.本小题分
已知：如图，在中，，是的平分线，为边上一点，且，垂足为．
求证：是线段的垂直平分线；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】 提示：延长，交于点易证≌，所以因为，所以所以是线段的垂直平分线，所以所以由等腰三角形的性质得，所以．
3.【答案】
【解析】由作法得，，根据线段垂直平分线的判定方法可判断垂直平分，则可对选项进行判断利用点与点关于对称得到，则可对选项进行判断通过判断为等边三角形可对选项进行判断利用含度的直角三角形三边的关系得到，加上，，则可对选项进行判断．
【详解】由作法得，，则垂直平分，
所以选项的结论正确；
点与点关于对称
，
，
所以选项的结论正确
为等边三角形，
，
所以选项的结论正确
在中，
，
，，
，
所以选项的结论错误
故选：．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】
解：体育中心到城镇中心、的距离相等，
，
点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段，的垂直平分线上，
点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选C．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握真命题．
根据原命题分别写出逆命题，然后再判断真假即可．
【解答】
A、两个全等三角形的对应角相等，
逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
B、若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形，
逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个内角分别为和，是假命题；
C、两个全等三角形的面积相等，
逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题；
D、如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数，
逆命题是：如果一个数是无理数，那么这个数是无限不循环小数，是真命题．
8.【答案】
【解析】略
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轨迹，勾股定理，三角形的中位线定理，垂直平分线的判定，通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹．也考查了等腰直角三角形的性质．连接，、，先根据勾股定理求斜边，利用斜边上的中线性质得到，，则，于是可判断点在的垂直平分线上，则点运动的轨迹为的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．
【解答】
解：连接，、，如图，
，，
根据勾股定理可得
为的中点，
，，
，
点在的垂直平分线上，
点运动的轨迹为的中位线，
点所经过的路线长．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．
利用角平分线的性质以及已知条件对进行一一判断，从而求解．
【解答】
解：平分，平分，
，，
，
，
；故正确；
过作于，于，于，
，
平分，
：：：；故不正确；
，平分
垂直平分三线合一，故正确；
，
平分，
，
，故正确．
本题正确的有：
故选D．
11.【答案】
【解析】解：点到的两边的距离相等，
点在的平分线上；
，
点在线段的垂直平分线上，
为的角平分线与线段的垂线平分线的交点．
故选：．
利用角平分线、线段的垂直平分线的判定进行确定点位置，从而可对各选项进行判断．
本题考查了角平分线及线段垂直平分线的作法，角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，线段垂直平分线的判定与性质，勾股定理等有关知识，取的中点，连接，交于点，连接，，，先证明，可得，，进而得出点，，三点共线，可知是的中位线，再根据中位线的性质得，结合已知条件得出，然后根据三角形中位线的性质得，进而得出，可知是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得出，接下来根据勾股定理求出，然后根据中位线的性质求出，可得答案．
【解答】
解：取的中点，连接，交于点，连接，，，
四边形是平行四边形，
，，，
．
点是的中点，点是的中点，
，，
．
，
，
，，
点，，三点共线，
．
点是的中点，
是的中位线，
．
，
．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
是的垂直平分线，
．
在中，
．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
，
，
解得
13.【答案】假
【解析】【分析】
本题主要考查了原命题与逆命题，真假命题，解答本题的关键是逆命题的写法，绝对值的概念；根据原命题写出逆命题，再根据绝对值的概念进行解答，即可求解．
【解答】
解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
因为当时，或，
所以命题“如果，那么”的逆命题是假命题．
故答案为假；
14.【答案】如果，那么
【解析】【分析】
本题考查了原命题与逆命题，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．据此解答即可．
【解答】
解：“如果，那么”的逆命题是：如果，那么．
故答案为如果，那么．
15.【答案】假
【解析】【分析】本题考查了对逆命题的定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论．将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，再判定真假即可．
【详解】解：“如果，那么”的逆命题是逆命题是如果，那么，该命题是假命题，
故答案为：假．
16.【答案】
【解析】本题考查三角形外心的概念，可以利用外心的概念分析出、分别是线段、的垂直平分线，再利用三角形中位线的性质解决问题；也可以利用隐圆，以为圆心，长为半径作圆，再利用垂径定理，分析出点、分别为、的中点．
17.【答案】解：逆命题：如果一个三角形一边上的中线和高线互相重合，那么这个三角形为等腰三角形．
已知：如图所示，在中，，且求证：为等腰三角形．
证明：因为，所以．
在和中，因为
所以，所以，即为等腰三角形．

【解析】见答案
18.【答案】证明：，
点在线段的垂直平分线上，
，
点都在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线．
点在的上，
．
【解析】略
19.【答案】证明：如图，连结，因为，，所以因为，，所以，所以又因为，所以，所以因为，所以所以为等腰直角三角形因为，，所以因为，所以所以，即是的平分线所以是边上的高线，又是边的中线，即垂直平分．

【解析】略
20.【答案】【小题】
证明：连接，
于点，且为线段的中点，
垂直平分，
，
垂直平分，
，
；
【小题】
解：，
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】
本题考查中垂线的判定和性质，三线合一，三角形的内角和定理：
连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论；

由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解．
21.【答案】【小题】
证明：点为的中点，，，
，，在和中，；
【小题】
证明：点为的中点，，直线为线段的垂直平分线，
，由可知：，，．

【解析】 略
略
22.【答案】【小题】
【小题】
是的中点，，是的垂直平分线，，，，，，．

【解析】 略
见答案
23.【答案】证明：连接，
线段的垂直平分线交于点，交于点，
，
，，
，
又于点，
是线段的垂直平分线．

【解析】此题考查了线段垂直平分线的性质，关键是利用直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答．
连接，利用直角三角形的性质和线段垂直平分线的性质解答即可．
24.【答案】解：是边上的中线，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，且，
所在直线是的垂直平分线，
．
【解析】先根据勾股定理的逆定理，证明出，再利用线段垂直平分线的性质即可证明出结论．
本题考查勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
25.【答案】证明：平分，
，
，
，
在和中，
，
，
即是线段的垂直平分线；
由可知，
，
在和中，
，
，
，
．
【解析】由条件可证明，可证得，即可证得结论
结合可证明，可证明．
本题主要考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
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