2.7探索勾股定理 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

2.7探索勾股定理浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 ; 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角的距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得的长为米，则梯子顶端下滑了 ( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2.下列结论中，正确的有( )
在中，已知两边长分别为和，则第三边的长为；
的三边长分别为，，，若，则；
在中，若：：：：，则是直角三角形；
若三角形的三边长之比为：：，则该三角形是直角三角形．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.如图所示，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点，为垂足，若，，，则的长为( )
A. B. C. D.
5.我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则这块沙田的面积为( )
A. 平方里 B. 平方里 C. 平方里 D. 平方里
6.如图，每个小正方形的边长为，、、是小正方形的顶点，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是，点，，，都在格点上，连接，相交于那么的大小是( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形的边长为，，，连接，则线段的长为( )
A. B. C. D.
9.如图是用个全等的直角三角形与个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边，下列四个选项：；；；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
10.如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则光线从点到点经过的路线长是( )
A. B. C. D.
11.如图，，，都是的半径，，交于点若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，是的中点，弦，，且，则所在圆的半径为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，，为的三边，且满足，则为 三角形．
14.把两个同样大小含的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点，且另外三个锐角顶点，，在同一直线上若，则 ．
15.如图，在中，和的垂直平分线和分别交于点，若，，，则的面积等于 ．
16.如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，，则线段的长为 ，线段的长等于 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
一个屋架的形状如图．已知，，，于点求立柱的长和点的位置结果精确到．
18.本小题分
如图，在中，，，，求的面积。
19.本小题分
如图，等边内有一点，分别连结，，若，，．
的度数．
求．
20.本小题分
如图，在中，点为的中点，其中，，，，求的长．
21.本小题分
如图，已知，，，，．
求证：是直角三角形．
求图中阴影部分的面积．
22.本小题分
如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
画线段且使，连结．
线段的长为 ，的长为 ，的长为 ．
为 三角形．
23.本小题分
如图，一张直角三角形的纸片，两直角边，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长．
24.本小题分
如图，在等腰直角中，，点在上，将绕顶点顺时针旋转后得到．
求的度数．
当，时，求的长．
当点在线段上运动时点不与点重合，请直接写出，，之间的数量关系．
25.本小题分
如图，与均为等腰直角三角形，，为边上的一点若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】解：中，已知两边分别为和，则第三条边长为或，
故结论错误，不符合题意；
的三边长分别为，，，若，则，
故结论错误，不符合题意；
中，若：：：：，此时，则这个三角形是一个直角三角形，
故结论正确，符合题意；
若三角形的三边比为：：，则设三边为，，，
，
该三角形是直角三角形，
故结论正确，符合题意；
综上所述，结论正确的有，共个，
故选：．
根据勾股定理可得中第三条边长为或，根据勾股定理逆定理可得中应该是，根据三角形内角和定理计算出，可得正确，再根据勾股定理逆定理可得正确．
本题考查了三角形内角和性质，勾股定理以及勾股定理逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】
【解析】解：根据网格特点，由勾股定理得：，，，即，
，
是直角三角形，且，
是边上的中线，
，
故选：．
先利用勾股定理及其逆定理判断是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，判断是直角三角形解答的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题关键是是添加辅助线构造直角三角形．
根据线段垂直平分线的性质得出，当长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【解答】
解：连接，，
的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
，，
，
又，
是直角三角形，，
由勾股定理可得：．
5.【答案】
【解析】解：，，
根据勾股定理，，
三条边长分别为里，里，里，构成了直角三角形，
这块沙田面积为：平方里．
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：．
直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了勾股定理逆定理，勾股定理，关键是勾股定理的熟练掌握．
6.【答案】
【解析】根据勾股定理即可得到，，的长度，进行判断即可．
【详解】解：连接，如图：
根据勾股定理可以得到：，．
．
．
是等腰直角三角形．
．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形，平行线的性质等知识点，能构造直角三角形是是解此题的关键．
如图，过作，连接，根据勾股定理求出、、的平方，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出是等腰直角三角形，求出，再根据平行线的性质得出即可．
【解答】
解：如图，过作，连接，
由勾股定理得：，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出为等腰直角三角形是解题的关键．延长交于点，根据正方形的性质证明≌，进而证明≌，可得，，，由勾股定理可得的长．
【解答】
解：如图，延长交于点，
在和中，
≌，
，
，，，
，，
又，，
，，
在和中，
，
≌，
，，，
，
同理可得，
所以为等腰直角三角形，
在中，，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：为直角三角形，
根据勾股定理：，
故本选项正确；
由图可知，，
故本选项正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即；故选项正确．
由可得，
又，
得，，
整理得，，
，故选项错误；
正确结论有．
故选：．
根据两个正方形的面积，分别表示出图中各条线段的长度，再利用勾股定理和完全平方公式等知识点综合进行解答即可．
本题考查了勾股定理和完全平方公式，正确表示出图中各条线段的长度是解题的关键．
10.【答案】
【解析】本题考查了点的坐标，全等三角形的判定与性质，勾股定理，延长交轴于点，过点作垂直轴于点，根据已知条件得到：，，然后根据对顶角的性质得到，再根据全等三角形的判定定理证明，从而得到，，再根据点的坐标求出，从而求出，然后根据勾股定理求出，从而求出答案即可．
【详解】解：如图所示：延长交轴于点，过点作垂直轴于点．
由题意可知：，
，
，
在和中，
，
．
点，
，
．
在中，由勾股定理，得，即，
光线从点到点经过的路线长是．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：是的半径，，交于点，，
，
在中，由勾股定理可得，
．
故选：．
根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案．
本题考查了垂径定理和勾股定理，由垂径定理得是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理，勾股定理等内容，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．设弧所在圆的圆心为，联结，设半径，，在中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】
解：是的中点，，
，经过圆心，
设弧所在圆的圆心为，
，
，
联结，设半径，，
，
，
在中，，
，
解之得．
则所在圆的半径为．
13.【答案】等腰或直角
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】略
16.【答案】

【解析】在中，由题意知，因为，所以在中，依据勾股定理得由翻折的性质可知，，且，所以因为，所以，所以．
17.【答案】解：因为，，，，
所以．
所以．
所以．
答：立柱的长约为，点在距点约处．

【解析】见答案
18.【答案】
【解析】略
19.【答案】【小题】
解：如图，以为边作，
且，连结，，是等边三角形．
是等边三角形，，．
又，即．
．，．
，，，，
，，．
【小题】
作于点，是等边三角形，，
，，
，，，．

【解析】 略
略
20.【答案】解：，，，
，
是直角三角形且，
，，
又点为的中点，．

【解析】略
21.【答案】【小题】
证明：在中，，，，
，取正值．
在中，，，
，为直角三角形．
【小题】
解：．

【解析】 略
略
22.【答案】【小题】
解：如图所示，线段即为所求；
【小题】


【小题】
直角

【解析】 略
略
略
23.【答案】解：在中，，，
．
是翻折而成，，．
设，，
在中，，即，解得．的长为．

【解析】略
24.【答案】【小题】
解：易得，，
．
【小题】
，．
，，．
，，，，
在中，．
【小题】
．

【解析】 略
略
略
25.【答案】解：与均为等腰直角三角形，
，，．
，即，
，，，，
，．

【解析】略
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