5.1常量与变量 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

5.1常量与变量浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟； 命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是( )
A. 金额、单价是变量，加油量是常量
B. 金额、单价、加油量都是变量
C. 加油量、单价是变量，金额是常量
D. 金额、加油量是变量，单价是常量
2.某地从昨天：到今天：的小时气温变化图如图所示，如果时间用单位：表示，气温用单位：表示，那么下列说法不正确的是( )
A. 是自变量
B. 是的函数
C. 对于的每一个确定的值，都有唯一确定的对应值
D. 当时，有最高气温
3.生物实验小组研究发现，某种种子发芽率与浸泡时间有如下关系，下列说法正确的是( )
浸泡时间
发芽率
A. 种子发芽率为自变量，种子浸泡时间为因变量
B. 随着种子浸泡时间的加长，种子发芽率在提高
C. 随着种子浸泡时间的加长，种子发芽率在降低
D. 表格中显示，种子在浸泡时，发芽率最高
4.小亮爸爸到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，金额随着数量的变化而变化，则下列判断正确的是( )
A. 金额是因变量 B. 单价是自变量
C. 和是常量 D. 金额是随着数量的增大而减少
5.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下表：
温度
声速
下列说法错误的是( )
A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B. 当空气温度为时，声音可以传播
C. 在一定范围内，温度越高，声速越快
D. 在一定范围内，当温度每升高，声速增加
6.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如表所示：
所挂物体的质量
弹簧的长度
下列说法不正确的是( )
A. 与都是变量，且是自变量，是因变量
B. 弹簧不挂重物时的长度为
C. 在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加
D. 在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为
7.一支冰激凌的价格是元，买支冰激凌共支付元，则是( )
A. 常量 B. 自变量 C. 因变量 D. 以上都不对
8.某学习小组在网上获取了一定范围内声音在空气中的传播速度与空气温度之间的关系，并得到一些数据如表：
空气温度
声音的传播速度
下列说法中错误的是( )
A. 在一定范围内，空气温度越高，声音的传播速度越快
B. 在这个变化过程中，自变量是空气温度，因变量是声音的传播速度
C. 当空气温度为时，内声音可以传播
D. 在一定范围内，空气温度每升高，声音的传播速度增加
9.已知正方形的周长与其边长之间的函数关系式为，其中是( )
A. 函数 B. 函数值 C. 常量 D. 自变量
10.李师傅到单位附近的加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是( )
A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和单价
11.小明有元钱，他在新年一周里得压岁钱，现在他的钱随时间的变化而变化，在上述过程中，自变量是( )
A. 时间 B. 小明 C. 元 D. 现在他有的钱
12.心理学研究发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间分钟之间有如下关系：
下列说法正确的有( )
当学生对概念的接受能力是时，提出概念所用的时间是分钟；
在这个变化中，自变量是提出概念所用的时间，因变量是对概念的接受能力；
根据表格数据可知，提出概念所用的时间是分钟时，学生对概念的接受能力最强；
根据表格中的数据可知，当介于之间时，学生对概念的接受能力逐步增强．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如果一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值范围是，则该函数表达式为 ．
14.如图，直线与轴交于点，以为斜边在轴的上方作等腰直角三角形，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为 ．
15.我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数、令表示不超过的最大整数，例如，，，令，那么 ．
16.我们可以根据如图的程序计算因变量的值若输入的自变量的值是和时，输出的因变量的值相等，则的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让向右运动，最后点与点重合。试写出重叠部分的面积与的长度之间的关系式，并指出其中的常量和变量。
18.本小题分
如图所示为某心理学家绘制的遗忘曲线，观察图象并回答下列问题：
在该曲线所表示的变化过程中，变量有哪些？后，记忆的保持量大约是多少？
图中点表示的意义是什么？
图中的遗忘曲线还告诉我们哪些相关信息？请写出其中一条信息．
19.本小题分
周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题：
图中自变量是______，因变量是______；
小明家到滨海公园的路程为______；
求爸爸驾车经过多少小时追上小明．
20.本小题分
在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度千米与此高度处气温的关系．
海拔高度千米
气温
根据上表，回答以下问题：
自变量是______；因变量是______；
写出气温与海拔高度的表达式：______；
当海拔是千米时，求气温是多少？
21.本小题分
某快递公司在成都市内的收费标准如图所示，表示邮件质量，表示快递费．
此图反映的是快递费和邮件质量之间的关系，自变量是______，因变量是______，邮件质量大于时，其质量每增加，快递费增加______元；
根据图象完成下列表格：
元 ______ ______ ______ ______
小明帮爸爸寄一个包表，包裹质量是，请问小明应该付多少元的快递费？
22.本小题分
刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查一次，两队在比赛时的路程米与时间分钟变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问题：
图象中的自变量是______，因变量是______；
这次赛龙舟的全程是______米，______队先到达终点；
求甲队和乙队相遇时乙队的速度是______米分钟；
求甲队和乙队相遇时，甲队走了______米；
从乙队停船检查开始到比赛结束，经过______分钟时，甲乙两队相距米．
23.本小题分
数学兴趣小组同学利用三块木板摆成如图所示滑道，研究小球滑行速度和时间之间的变化小组成员林涵记录了小球从光滑斜板滚下，经过粗糙水平木板，再沿光滑斜板上坡至速度变为的全过程．
在小球的滑行过程中，自变量是______，因变量是______；
林涵同学记录小球速度与时间的关系如表，并根据表中数据，将速度与时间的关系用图象表示如图．
时间
速度
小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为______；
点表示的实际意义是______；
若木板斜面长为，请根据记录数据计算说明，当小球上坡至速度为时，是否达到斜板顶端在同一段路程中，路程，
24.本小题分
年是“绿水青山就是金山银山”理念提出周年，也是中国提出“双碳”目标的周年为响应国家“低碳生活，绿色出行”的号召，李老师骑单车上班，当他骑了一段时间，想起要去家访生病的小明，于是又返回到刚刚经过的小明家，到小明家家访完后继续去学校，如图是他本次离家时间单位：与离家距离单位：之间的关系图象，根据图中提供的信息回答下列问题：
图中自变量是______，因变量是______；
李老师家到小明家的路程是______，李老师在小明家家访用了______；
请计算李老师家访完后到学校的骑车速度．
25.本小题分
年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站正式开讲，新晋“太空教师”陈冬、刘洋、蔡旭哲为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课，引发了学生了解科学知识的新热潮．植物生长研究社团通过查阅资料发现一种树苗栽种时的高度约为厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：
栽种以后的年数年
树苗的高度厘米
此变化过程中________是自变量，________是因变量．
树苗的高度与栽种以后的年数的关系式为________________________．
当树苗长到厘米时，求年数的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量．
故选：．
根据常量与变量的定义判断即可．
本题考查常量与变量，掌握常量与变量的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：当变化时，也随着变化，所以是自变量，故该选项不符合题意；
B.随的变化而变化，是自变量，是因变量，所以是的函数，故该选项不符合题意；
C.对于的每一个确定的值，不都是有唯一确定的对应值，故该选项符合题意；
D.当时，有最高气温，故该选项不符合题意；
故选：．
根据函数图象一一判断选项即可得出答案．
本题主要考查了函数图象，熟练掌握该知识点是关键．
3.【答案】
【解析】解：浸泡时间为自变量，发芽率为因变量，故A选项错误；
随着种子浸泡时间的加长，种子发芽率先提高后降低，在种子浸泡时，发芽率最高位，故B、选项错误，选项正确；
故选：．
根据表格进行分析即可．
本题考查了函数的表示方式，常量与变量，正确理解表格是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查常量和变量，熟练掌握常量和变量的定义是解题的关键．根据常量和变量的定义即可作答．
【解答】
解：金额随着数量的变化而变化，
数量是自变量，金额是因变量，单价是常量，
金额是随着数量的增大而增大．
故选．
5.【答案】
【解析】解：对于选项A，
依题意得：声音传波的速度随空气温度的变化而变化，
在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
选项A正确，不符合题意；
对于选项B，
依题意得：在空气的温度是时，声速是，
声音可以传播的距离为：，
选项B不正确，符合题意；
对于选项C，
由表格中的对应值得：在一定范围内，温度越高，声速越快，
选项C正确，不符合题意；
对于选项D，
由表格中对应的数值得：在一定范围内，当温度每升高，声速增加，
选项D正确，不符合题意；
故选：．
对于选项A，根据声音传波的速度随空气温度的变化而变化即可对该选项进行判断；
对于选项B，根据在空气的温度是时，声速是，得声音可以传播的距离为，由此可对该选项进行判断；
对于选项C，根据表格中的对应值得：在一定范围内，温度越高，声速越快，由此可对该选项进行判断；
对于选项D，由表格中对应的数值得：在一定范围内，当温度每升高，声速增加，由此可对该选项进行判断；综上所述即可得出答案．
此题主要考查了函数的定义，函数的表示方法，常量和变量，理解函数的定义，常量和变量，熟练掌握表格表示函数关系是解决问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：与都是变量，且是自变量，是因变量，
A正确，不符合题意；
当，，
弹簧不挂重物时的长度为，
B正确，不符合题意；
在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加，
C正确，不符合题意；
与之间的函数关系式为，
当时，，
在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为，
不正确，符合题意．
故选：．
根据表格判断即可；
D.根据写出与之间的函数关系式将代入，求出对应的值即可．
本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握变量、自变量与因变量、写出与之间的函数关系式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由题可知，关系式中，表示购买的数量，其值可以自由选择，属于主动变化的量，因此是自变量；而的值由的取值决定，属于因变量，
故选：．
根据变量和常量的定义即可进行解答．
本题考查了自变量与因变量以及常量的定义，理解变量与常量的定义是正确判断的前提．
8.【答案】
【解析】解：根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐项分析判断如下：
A.根据数据表可知，在一定范围内，空气温度越高，声音的传播速度越快，正确，此选项不符合题意；
B.在这个变化过程中，自变量是空气温度，因变量是声音的传播速度，正确，此选项不符合题意；
C、，当空气温度为时，内声音可以传播，故选项错误，符合题意；
D、，，，，，
在一定范围内，空气温度每升高，声音的传播速度增加，正确，此选项不符合题意；
故选：．
根据图表里的信息，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
本题主要考查了函数的表示方法和有理数的混合运算．熟练掌握以上知识点是关键．
9.【答案】
【解析】解：是自变量，
故选：．
直接根据自变量的定义即可得到答案．
本题考查了函数的概念，设在某一变化过程中，有两个变量和，对于每一个的值，总有唯一的值与它对应，我们就说是自变量，是的函数．
10.【答案】
【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：．
根据常量与变量的定义即可判断．
本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量．
11.【答案】
【解析】解：小明有元钱，他在新年一周里得压岁钱，现在他的钱随时间的变化而变化，
在上述过程中，自变量是时间．
故选：．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有为一得值与其对应，那么我们就说是自变量，所以上述过程中，自变量是时间．
此题主要考查了常量与变量问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化．
12.【答案】
【解析】解：当学生对概念的接受能力是时，提出概念所用的时间是分钟或分钟，
不正确，不符合题意；
在这个变化中，自变量是提出概念所用的时间，因变量是对概念的接受能力，
正确，符合题意；
根据表格数据可知，提出概念所用的时间是分钟时，学生对概念的接受能力最强，
正确，符合题意；
根据表格中的数据可知，当介于之间时，学生对概念的接受能力逐步增强，
正确，符合题意．
综上，正确．
故选：．
观察表格即可；
根据自变量与因变量的定义判断即可；
观察表格即可．
本题考查函数的表示方法、常量与变量，掌握自变量与因变量的定义、从表格中获得必要的信息是解题的关键．
13.【答案】或
【解析】略
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：，
当时，，
当时，，
当时，，即，
，
故答案为：．
先求出，，当时，，即，代入计算即可得解．
本题考查了求函数值以及数式规律问题，理解题意，正确找出规律是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，
又当时，，
当时，，
输入的自变量的值是和时，输出的因变量的值相等，
，
解得：．
故答案为：．
首先根据程序计算图得：当时，，当时，据此可得，由此可求出的值．
此题主要考查了求因变量的值，解答此题的关键是理解题意，读懂题目中给出的程序计算图．
17.【答案】，其中是常量，，是变量。
【解析】略
18.【答案】【小题】
变量有时间和记忆的保持量．后，记忆的保持量大约是．
【小题】
解：后，记忆的保持量大约是．
【小题】
解：随时间的增加，人记忆的保持量会逐渐减少，在初始的两个小时内减少得最快答案不唯一，合理即可．

【解析】 略
略
略
19.【答案】时间；离家路程
；
小时．
【解析】由图可得，自变量是时间，因变量是离家路程，
故答案为：时间；离家的路程；
由图可得，小明家到滨海公园的路程为，
故答案为：；
小明从家出发小时后爸爸驾车出发，
爸爸驾车的平均速度为，
小明乘公交车的平均速度为：，
设爸爸出发后追上小明，根据题意得：，
解得：．
答：爸爸出发后追上小明．
根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
根据图象中数据，即可得到路程；
根据梯形即可得到爸爸驾车出发的时间，再根据路程、速度、时间的关系解答即可．
本题主要考查了函数图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键．
20.【答案】解：海拔高度；气温；
；
当时，，
答：气温是．
【解析】解：在一个变化过程中，主动变化的量是自变量，随着自变量的变化而发生变化的量是因变量。
观察表格可知，海拔高度的值是主动变化的，气温的值随着海拔高度的变化而变化。
所以，自变量是海拔高度，因变量是气温。
故答案为：海拔高度；气温；
由题意得，每增加千米，气温就下降，
当时，时，
把它们代入中，得
解得：
所以，
故答案为：；
见答案．
结合题意和函数的定义进行求解；
根据表格中气温随海拔高度的变化的规律：每增加千米，气温就下降，即可解答；
把代入中进行计算、解答．
本题考查了函数关系式的应用能力，关键是能根据题意求得对应的函数解析式．
21.【答案】，，；
，，，；
元
【解析】此图反映的是快递费和邮件质量之间的关系，自变量是，因变量是，邮件质量大于时，其质量每增加，快递费增加元；
故答案为：，，；
根据图象可知，
当时，；当时，；当时，；当时，；
故答案为：，，，；
小明帮爸爸寄一个包表，包裹质量是，小明应该付元的快递费
根据变量和常量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量可得、是变量；
根据图填空即可；
结合解答即可．
本题主要考查了函数图象以及常量和变量，在解题时要根据常量和变量的定义进行解答是本题的关键．
22.【答案】时间，路程；
，乙；
；
；
或或．
【解析】由图象可知，自变量是时间，因变量是路程，
即自变量是时间，因变量是路程；
故答案为：时间，路程；
由图象可知：这次龙舟的全程是米，乙到达终点共用了分钟，甲到达终点共用了分钟，
乙队先到达终点；
故答案为：，乙；
由图象可知，甲队和乙队相遇时乙队的速度是：
米分钟；
故答案为：；
由图象可知，甲的速度为：米分钟，
设甲队和乙队相遇时用了分钟，则：，
解得：，
甲队走了：米．
故答案为：；
如图：
由知道相遇时间为分钟，
设时间为分钟，甲乙两队相距米，
当时，此时乙的速度为米分钟，
甲的速度为：米分钟，
当乙停船检查时，两船相距：米，
当时，此时乙的速度为米分钟，
甲的速度为：米分钟，
，
；
当时，此时乙的速度为米分钟，
甲的速度为：米分钟，
；
当时，乙船停止运动，
甲的速度为：米分钟，
，
；
综上分析可知：从乙队停船检查开始到比赛结束，经过或或分钟时，甲乙两队相距米．
故答案为：或或．
根据图象中横纵坐标的含义进行作答即可；
结合图象，进行作答即可；
结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可；
设甲队和乙队相遇时用了分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解．
分别进行分四种情况进行讨论，结合路程等于速度乘时间进行列式，计算即可作答．
本题考查函数图象的实际应用，正确的识图，从图象中有效的获取信息是解题的关键．
23.【答案】自变量：小球滑行的时间 因变量：小球滑行的速度

当小球沿光滑的斜坡上坡运动滑行时，速度为．
不能．
【解析】解：在小球的滑行过程中，滑行的速度随滑行的时间的变化而变化．
故答案为：自变量：小球滑行的时间 因变量：小球滑行时随时间变化时的速度．
由图象及表格可知，小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为 由可知，用时，所以点表示的实际意义是当小球从从光滑的斜坡上坡运动滑行到时，速度为．
由图象知，当小球到达点时速度为，速度为时的，运动了，
故CD段的平均速度．
故第一次在段运动时的路程因为，所以达不到斜板顶端．
熟悉函数的概念，小球滑行速度随着时间的变化而变化，得出自变量和因变量．
由图象及表格可知小球在粗糙水平木板上的滑行时间长为
由可知，，用时，所以点表示的实际意义是当小球从从光滑的斜坡上坡运动滑行时，速度为．
当小球上坡至速度为时，求出平均速度，进而求出路程与比较即可．
本题为运动型综合题，考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
24.【答案】离家时间，离家距离；
；；
米分．
【解析】根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家时间，故图中自变量是离开家的时间，因变量是离家距离，
故答案为：离家时间，离家距离；
由图象可知：李老师家到小明家的路程是，
李老师在小明家停留了分钟，
故答案为：；；
由图象可知：李老师家访完后到学校的骑车速度为：米分．
根据函数图象可知纵坐标是离家距离，横坐标是时间，从而得出自变量是离家的时间，因变量是离家的距离；
根据函数图象进行回答即可；
观察图象计算李老师家访完后到学校的骑车路程除以所用的时间即可．
本题主要考查了函数图象，对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
25.【答案】解：栽种以后的年数树苗的高度
当时，，故栽种后年后，树苗能长到厘米．
【解析】【分析】
本题主要考查了常量与变量和函数中的求值问题，根据实际问题列出函数关系式．
根据常量与变量即可解答．
根据题意得出树苗每年增高，即可得出关系式
把代入中的解析式，即可解答．
【解答】
解：根据题意和表格中数据可知，
此变化过程中是自变量栽种以后的年数，树苗的高度是因变量
树苗高度与栽种以后的年数的关系式为
见答案．
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