5.2认识函数 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含详细答案解析）

5.2认识函数浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为，他从家出发匀速步行到公园后，停留，然后匀速步行到学校．设吴老师离公园的距离为单位：，所用时间为单位：，则下列表示与之间函数关系的图象中，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，半圆的弧上有定长弦，若，且交于点，交于点，当在弧上由点向点移动时点不与点重合，点不与点重合，若设四边形面积为，运动时间为，则关于的图象大致是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知 的面积为，点在边上从左向右运动不含端点，设的面积为，的面积为，则关于的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
4.元朝朱世杰的算学启蒙一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”如图所示的是良马与驽马行走路程里关于行走时间日的函数图象，则两图象交点的坐标是( )
A. B. C. D.
5.如图，等边的边长为，直线经过点且直线，直线从点出发沿以的速度向点移动，直到经过点即停止，直线分别与或交于点，与交于点，若的面积为，直线的移动时间为，则下面最能反映与之间函数关系的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.下列各曲线表示的与的关系中，是的函数的是( )
A. B. C. D.
7.纯电动汽车续航里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率随充电时间变化的函数图象，据图下列说法错误的是( )
A. 本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量
B. 汽车电池含电率达到时充电用时
C. 本次充电持续时间是
D. 若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电千瓦时，则本次充电耗电千瓦时
8.如图，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，已知与之间的函数图象如图所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，将长方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，，直线：沿轴的负方向以每秒个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被长方形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图所示有下列说法：点的坐标为；长方形的面积为；；其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，点为矩形边上一个动点，运动路线是，设点运动的路径长为，，图是随变化的函数图象，则矩形对角线的长是( )
A. B. C. D.
11.如图，在中，动点从点出发沿折线匀速运动至点后停止设点的运动路程为，线段的长度为，图是与的函数关系的图象，其中点为曲线的最低点，则的高的长度为( )
A. B. C. D.
12.如图，将一矩形纸板剪掉一个小矩形，动点从点出发，沿路径匀速运动，速度为，点到达终点后停止运动，的面积与点的运动时间的关系如图所示，点从点运动到点需要的时间是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知函数，其中表示当时对应的函数值，如，，，则 ．
14.一棵树苗现在高，以后每月长高，那么这棵树苗的高度与生长月数月之间的关系式为______．
15.如图，在四边形中，，，直线当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点，设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图所示，则下列说法：；；；四边形的周长是正确的是 填序号．
16.函数的自变量的取值范围是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某剧院的观众席的座位排列为扇形形状，且按下表方式设置：
排数
座位数
按照上表所示的规律，第排的座位数为 。
写出座位数与排数之间的关系式。
按照上表所示的规律，某一排可能有个座位吗？说说你的理由。
18.本小题分
某公交车每月的支出费用为元，每月的乘车人数与每月利润元利润收入费用支出费用的变化关系如下表所示每位乘客的公交票价是固定不变的：
元
回答下列问题：
在这个变化过程中， 是自变量， 是自变量的函数。
观察表中数据，每月乘车人数达到 时，该公交车才不会亏损。
公交票价为多少元？
请写出与之间的函数表达式。
19.本小题分
某镇居民生活用水实行阶梯收费，收费标准如表．
月用水量立方米
收费标准元立方米
是关于的函数吗？为什么？
小王同学家月份用水立方米，月份用水立方米，两个月合计应付水费多少元？
20.本小题分
某工厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价定为元该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于元．
当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰为元？
设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出关于的函数表达式．
当某销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少？如果订购个，利润又是多少？工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本
21.本小题分
如图，正方形的边长为，点为边上任意一点，．
试求出的面积关于的函数表达式．
求自变量的取值范围．
当的长为多少时，的面积为？
22.本小题分
将长为，宽为的长方形白纸，按如图所示的方式粘合起来，粘合部分的宽为．
根据题意，将下面的表格补充完整．
白纸张数张
纸条总长度
直接写出与的关系式： ．
要使粘合后的长方形总面积为，则需用多少张这样的白纸？
23.本小题分
研究新函数．
填写下表，画出函数的图象：
______ ______ ______ ______ ______ ______ ______
观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
求值：用配方法求函数的最小值．
证明：当时，随的增大而增大．
24.本小题分
在某次大型活动中，张老师用无人机进行航拍，在操控无人机时需根据现场状况调节高度．已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度米与操控无人机的时间分钟之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：
无人机在米高的上空停留的时间是多少分钟？
在上升或下降过程中，无人机的速度为多少米分钟？
图中，表示的数分别是多少？
求第分钟时无人机的飞行高度是多少米？
25.本小题分
一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示与之间的关系根据图象进行以下探究：
信息读取
甲，乙两地相距______，两车出发后______相遇；
普通列车到达终点共需______，普通列车的速度是______；
解决问题
求动车的速度；
图中点表示的实际意义是：当普通列车行驶______时，两车之间的距离为______；
当时，求出的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了函数的图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键在不同时间段中，找出的值，即可求解．
【解答】
解：吴老师从家出发匀速步行到公园，则的值由变为，
老师在公园停留，则的值仍然为，
老师从公园匀速步行到学校，则在分钟时，的值为，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：如图，设、交圆于、两点，
，
连接，为直径，经过圆心．
为定长，圆是定圆，，
为定长．
四边形的面积为定值．
又为经过矩形的中心，
四边形的面积等于四边形的面积的一半，也是定值．
故选：．
求出关于的表达式，或者找出关于的变化规律，再判断选项．
本题考查动点问题的函数图象．解题的关键是画出辅助线，发现四边形的面积不变．
3.【答案】
【解析】解： 的面积为，是平行四边形面积的一半，
，
，
是的一次函数，
且当时，；时，；
只有选项B符合题意．
故选：．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查三角形面积的求解与函数图象的结合，难度适中；过点作于点，分两种情况：当时，当时，即可求解；
【解答】
解：过点作于点，
等边的边长为，
， ，
，
则当移动到点时，．
分两种情况：当时，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
则函数图象是开口向上的抛物线的一部分；
当时，，
，，
，
，
，
则函数图象是开口向下的抛物线的一部分．
观察图象可知选C．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：由函数定义可知：作垂直轴的直线，在左右平移的过程中看是否与函数图象只会有一个交点，若只有一个交点，则是函数，否则不是；
其中选项A、、均可能会有个交点，故错误，不符合题意，而选项D中只会有一个交点，符合题意，
故选：．
7.【答案】
【解析】本题考查了由函数图象读取信息，仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可．
【详解】解：由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，说法正确，不符合题意；
B.由函数图象可知，本次充电分钟，汽车电池含电率达到，说法正确，不符合题意；
C.由函数图象可知，本次充电持续时间是分钟，说法正确，不符合题意；
D.若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是千瓦时，则到的电量变化对应的耗电量为：千瓦时，原说法错误，符合题意，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接交于点，连接，连接交于点．
四边形是正方形，
是的中点，
点是的中点，
，
、关于对称，
，
，
当、、共线时，的值最小，
的值最小就是的长，
，
设正方形的边长为，则，
在中，由勾股定理得：，
，
负值已舍，
正方形的边长为．
故选：．
由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长．
本题考查的是动点问题，涉及到正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：令直线，
解得：，
点的坐标为，
当时，直线经过点，
，
点的坐标为，故说法错误，不符合题意；
当时，直线经过点，
，
点的坐标为，
，
矩形的面积，故说法正确，符合题意；
如图所示；当直线经过点时，直线交于点．
点的坐标为，，
点的坐标为
设此时直线的解析式为，
将点代入得：，
，
此时直线的解析式为，
当时，
解得，
点的坐标为，
，
，
，故说法正确，符合题意；
如图所示，当直线经过点时，直线交轴于点．
点的坐标为，，
点的坐标为，
设此时的解析式为，
将代入得：，
解得，
此时直线的解析式为，
当时，
解得，
点的坐标为，
平移距离为，
，故说法正确，符合题意；
综上，正确的有．
故选：．
由函数图象可知，当时，直线经过点，求出可得，错误；由函数图象可知，当时，直线经过点，求出点的坐标，可得，即可计算出矩形的面积为，正确；求出直线经过点时的函数解析式，可得此时与轴的交点坐标为，利用勾股定理求出即可得到，正确；求出直线经过点时的函数解析式，可得此时与轴的交点坐标为，然后计算出平移距离为可得，正确．
本题考查了一次函数的图象和性质，从函数图象获取信息的能力，勾股定理，化为最简二次根式，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是动点函数的图象问题，矩形的性质，勾股定理的有关知识，点运动到点处时，，，进而求解．
【解答】
解：当点运动到点处时，，
此时，，
联立并解得：
则．
故选A．
11.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，当点与重合时，在图中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
，，，
，
在中，
，
，
．
故选：．
过点作于点，当点与重合时，在图中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得然后运用等面积法即可求解．
本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意及函数图象可知：，，，，
当点与点重合时，，
，
解得，
当点与点重合时，，
，
解得，
当时，，，
点从点运动到点需要，
故选：．
根据题意先通过函数图象得到，，，，根据当点与点重合时，，求出，根据当点与点重合时，，求出，最后求出结果即可．
本题考查了观察函数图象，动点问题和面积结合，正确理解几何图形与函数图象间的关联是解题的关键．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：根据题意，得．
故答案为：．
根据“这棵树苗的高度每月长高的高度生长月数现在的高度”解答即可．
本题考查函数关系式，根据变量之间的关系写出函数关系式是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：，，直线，直线向右平移的距离为，线段的长为，
当点在上时，
在中，，，
，，
由图可知，当时，，此时点与点重合，
；
当点在上时，如图所示，作于点，作交于点，作交于点，且，，，
，，
，，
，
，
在中，，
，，
根据图可知，，运动到与重合时，，
，故错误，不符合题意；
当在上运动时，如图所示，
，
，
是等腰三角形，
，
，，，
，
，
，即，故正确，符合题意；
，，
从点的时间是，且，，
是等边三角形，
，
，故正确；
根据上述证明可得，，
四边形的周长为，故正确，符合题意；
故答案为：．
根据，直线，含角的直角三角形的性质，可得的值，结合图形运动，分类讨论，当点在上时，如图所示，作于点，作交于点，作交于点，可得，，，的值，根据平行线的判定和性质，等腰三角形、等边三角形的性质即可求解．
本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握图形运动规律，一次函数图象的性质，含角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等综合知识的运用是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
根据分母不等于列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
17.【答案】【小题】
【小题】

【小题】
不可能．
因为 ，当时，，求得，不是整数，没有符合条件的，故不可能某一排有个座位．

【解析】 略
略
略
18.【答案】【小题】
每月的乘车人数
每月利润元
【小题】
【小题】
元
【小题】

【解析】 略
略
略
略
19.【答案】【小题】
解：存在两个变量：用水量和收费标准，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数的定义，是关于的函数．
【小题】
元答：两个月合计应付水费元．

【解析】 略
略
20.【答案】【小题】
解：设订购个，单价为元．，．
【小题】
当时，；当时，
；
当时，．
【小题】
订购个零件，利润为元；
订购个零件，利润为元．

【解析】 略
略
略
21.【答案】【小题】
解： ．
【小题】
．
【小题】
当时，，解得．
的长为时，的面积为．

【解析】 略
略
略
22.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
，当时，，解得，所以，需要张这样的白纸．

【解析】 略
略
略
23.【答案】，，，，，，；
函数的图象如图：
；
函数两条不同类型的性质是：
当时，随的增大而减小，
当时，的增大而增大；
当时，函数的最小值是；任选条即可
函数的最小值是；
证明：任取 时，

，
时，
， ， ，
，
即，
随的增大而增大
【解析】解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，．
故答案为：．
函数的图象如图：
．
函数两条不同类型的性质是：
当时，随的增大而减小，
当时，的增大而增大；
当时，函数的最小值是答案不唯一
解：
，
，
，
当时，的最小值是．
证明：任取 时，

，
时，
， ， ，
，
即，
随的增大而增大．
把的值代入解析式计算即可；
根据图象所反映的特点写出即可；
根据完全平方公式进行配方即可得到最小值；
任取 时，先式子进行变形再分析，即可得出答案．
本题考查函数图象，函数的表示方法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
24.【答案】【小题】
解：根据图象，无人机在米高的上空停留的时间是分钟；
【小题】
解：在上升或下降过程中，无人机的速度米分；
【小题】
解：图中表示的数是分钟；
表示的数是分钟；
【小题】
解：在第分钟时无人机的飞行高度为米．

【解析】
根据图象信息得出无人机在米高的上空停留的时间分钟即可；

根据“速度路程时间”计算即可；

根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可；

根据速度、时间与路程的关系列式计算解得即可；
25.【答案】，； ，； ； ，； 或
【解析】解：观察函数的图象，由函数的图象可知，甲地与乙地相距，两车出发后相遇；
故答案为：，；
观察函数的图象，由函数图象可知，普通列车到达，
则普通列车的速度为，
故答案为：；；．
动车的速度为：；
，
，
点表示的实际意义是：当普通列车行驶时，两车之间的距离为；
故答案为：，．
如图，
当时，
两车相遇前，
，
解得；
两车相遇后，
，
解得，不合；
动车到达乙地后，
，
解得．
故或．
初始时刻，即为两地距离，相遇时两车距离为，由图象得到相遇时刻；
最后到达的为普通列车，根据路程除以时间可得速度；
动车速度等于动车与普通列车速度和减普通列车的速度；
由函数图象可知，表示的实际意义是动车到达乙地，也是当普通列车行驶时，两车之间的距离为．
当时，，解得；或，解得不合；或，解得．
本题主要考查了从函数图象获取信息，解题的关键在于熟练掌握函数图象关键信息，路程与速度和时间的关系．
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