1.3证明 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

1.3证明浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 ; 考试时间：120分钟； p;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.车库的电动门栏杆如下图所示，垂直于地面于，平行于地面，则的大小是 ( )
A. B. C. D.
2.如图，将一张长方形纸条折叠，如果比大，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图，，，的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
4.如图，，点，分别在，上运动不与点重合，平分，的反向延长线与的平分线交于点，在，的运动过程中，的度数( )
A. 变大 B. 变小 C. 等于 D. 等于
5.如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线即，飞到了地，经地的导航站测得此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地则这一方向与方向的夹角的度数为( )
A. B. C. D.
6.一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，外角，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，中，若，，，则．
A. B. C. D.
9.在中，和的外角平分线交于点设，则( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：，其中所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
11.有公共顶点，的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接交正六边形于点，则的度数为( )
A. B. C. D.
12.如图，绕点旋转得到，点正好落在上，若，则等于( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.将一副三角尺按如图所示的方式放置若，则的度数为 ．
14.如图，在中，平分，，，则的度数为______．
15.下图是可调躺椅示意图数据如图，与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 填“增加”或“减少” 度．
16.如图所示，，，，，，则______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
命题“若是自然数，则代数式的值是的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如果认为是真命题，请给出证明．
18.本小题分
在中，点在边上且点在射线上，．
如图，当点在线段上时，若，求的度数．
求与的数量关系．
19.本小题分
如图，是的一个外角，平分，平分，且、交于点，．
求证：
若，求的度数．
20.本小题分
如图，中，为边上一点，过作，交于；为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且．
求证：平分；
若，，求的度数．
21.本小题分
如图，在中，是边上的高，平分交于点若，，求和的度数．
22.本小题分
如图，在中，，，为上两点，且，，求的度数．
23.本小题分
阅读与思考．
请认真阅读并完成相应的问题：
“友爱三角形”的研究
定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．
例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”．
如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，则 ______， ______；
如图，在基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由．
24.本小题分
如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．
求证：；
若，，求的度数．
25.本小题分
如图，在等边三角形中，点，分别在边和边上点不与点，重合，点不与点，重合，且．
判断与之间的数量关系，并说明理由
求证：是等腰三角形
若是锐角三角形，请直接写出度数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】如图，过点作， 因为，所以， 所以 因为， 所以， 所以， 所以．
2.【答案】
【解析】解：如下图所示，
，
两直线平行，内错角相等，
长方形纸条折叠如图所示，
，
，
，
，
，
比大，
，
，
，
故选：．
首先利用平行线的性质和折叠的性质得出，由已知，然后得到，即可求出．
本题考查了平行线和折叠的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】平分，平分，
，．
又是的外角，
，
即，
又是的外角，
，
，
．
5.【答案】
【解析】解：是的外角，
根据三角形外角的性质，．
这一方向与方向的夹角的度数为．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：．
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论．
本题主要考查了三角形外角性质，关键掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6.【答案】
【解析】解：，
，
．
故选：．
由平角定义求得，再根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，可知，即可得出答案．
本题主要考查的是三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角和，要求能够灵活使用．
7.【答案】
【解析】解：在中，外角，，
，即，
．
故选：．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．
本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形底角与顶角的关系，根据全等三角形对应角相等推出是解题的关键利用边角边证明得到与全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理可得，然后根据等腰三角形顶角与底角的关系即可得解．
【解答】
解：在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：，
，
和的外角平分线交于点，
，，
，
，
故选：．
由三角形内角和定理，可得，再根据三角形外角的定义和角平分线的定义，得到，即可求出的度数．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，平行线的性质等有关知识．
由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定；利用角平分线的定义可判定；利用得出分结论，计算，即可判断．
【解答】
解：平分，，
，
，
，即，故错误；
平分，
，
，
，即，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，故正确；
，
又，
，故正确，
综上，正确的结论有：，
故选C．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，三角形的外角性质根据正多边形的内角与外角，求出正五边形和正六边形的内角的度数，即、和的度数；再根据各角之间的关系求出和的度数；然后根据三角形的外角性质求出的度数；最后利用四边形的内角和为求出的度数．
【解答】
解：正五边形的每一个内角的度数为：，即，
正六边形的每一个内角的度数为：，即，
，
，
，
，
在四边形中，
．
故选B．
12.【答案】
【解析】设，绕点旋转得到，点正好落在上，，，．，，．，，在中，，解得，即．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，以及三角形的外角等于不相邻的两个内角之和．作出辅助线是解答本题的关键．
先在上截取，连接想办法求出：的值即可解决问题．
【解答】
解：在上截取，连接，
，
≌，
，
又，
，
：：，
，
，
，，
故答案为：．
15.【答案】减小

【解析】【分析】
本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键．
延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理得到的度数；利用，和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论．
【解答】
解：延长，交于点，如图：
，
．
，
．
，，
．
而图中，
应减小．
故答案为：减小，．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出≌． 求出，证≌，推出，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】
解：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．
故答案为．
17.【答案】是真命题，证明如下：原式因为是自然数，所以代数式是自然数，所以代数式的值是的倍数．
【解析】略
18.【答案】；
或
【解析】，
是的平分线，
，
，
，
，
，
；
当在线段上时，如图，
，
，
设，则，
，
，
，
，
即；
当在线段延长线上时，如图，
，
，
，
，
即，
．
综上所述，或．
根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可；
分为当在线段上时及当在线段延长线上时，两种情况进行讨论，根据角平分线的定义，三角形内角和定理以及图形中角的和差关系进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和是是解题的关键．
19.【答案】解：证明：平分，
，
，
，
．
是的一个外角，
，
平分，
，
．

【解析】略
20.【答案】【小题】
证明：，
，，
，
，
平分；
【小题】
解：，，，
，
，
，
，
．

【解析】
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．
由平行线的性质得到，，，等量代换可得，即可得解；

根据三角形的内角和求出，即得，根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角定理求解即可．
21.【答案】，．
【解析】解：是边上的高，
，
平分，，
，
，
，
，
．
根据三角形的角平分线可知，再利用三角形内角和是求解，得到答案．
本题考查三角形外角性质和三角形内角和定理，找到角之间的关系进行计算是解题的关键．
22.【答案】解：设，，
则，．
在中，，
，，
．

【解析】略
23.【答案】，；
和是“友爱三角形”，理由见解析．
【解析】如图，是“友爱三角形”，与互为“友爱角”，
，
，
，
，，
故答案为：，．
如图，和是“友爱三角形”，理由如下：
由知，，
，
，
，
，
，，
和是“友爱三角形”．
由“友爱三角形”的定义得到，由直角三角形的性质得到，即可求出，；
由直角三角形的性质得到，，判定和是“友爱三角形”．
本题考查直角三角形的性质，关键是掌握“友爱三角形”的定义，直角三角形的两锐角互余．
24.【答案】解：证明：，
．
将线段绕点旋转到的位置，
．
在与中，
，
≌，
．
，，
，
．
≌，
，
．
【解析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明≌是解题的关键．
由旋转的性质可得，利用证明≌，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么由≌，得出，再根据三角形外角的性质即可求出．
25.【答案】解：与之间的数量关系为；
理由：是等边三角形，
．
在和中，
≌，
；
证明：是等边三角形，
．
由得≌，
，
，即，
，
是等腰三角形；
度数的取值范围为．
当时，是直角三角形，是等边三角形，
．
是的外角，
．
是锐角三角形，
，
，
，
．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
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