1.6线段垂直平分线的性质 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

1.6线段垂直平分线的性质浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 ; 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，，分别以点，为圆心，适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线交于点，连接；再作射线，交于点根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是 ( )
A. B.
C. D.
2.下列四种基本尺规作图分别表示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是( )
A. B. C. D.
3.如图，中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，，连接，若，，，则线段的长是( )
A. B. C. D.
4.如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
6.如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤：以为圆心，为半径画弧；
步骤：以为圆心，为半径画弧；
步骤：连接，交延长线于点；
下列叙述错误的是( )
A. 垂直平分线段
B. 平分
C.
D.
7.如图，在中，，，用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，则的长为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，，分别以、为圆心，两弧分别交于、，直线交于点，则的周长等于( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接若，，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，连接直线，分别交，于点，，连接，则的面积为( )
A. B. C. D.
11.已知下列尺规作图：作一条线段的垂直平分线；作一个角的平分线；过直线上一点作直线的垂线其中作法正确的是( )
A. B. C. D.
12.如图，在中，为钝角．用直尺和圆规在边上确定一点使，则符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧的交点分别为点，；过点，作直线，交边于点若的周长为，则平行四边形的周长为______．
14.如图，在中，，直线，分别是、的垂直平分线，，交于点，连接若，则的度数为 ．
15.如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交边于点若，，，则的长为______．
16.如图，点为三边垂直平分线的交点，若，，则的度数为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知：如图，是的垂直平分线，于点，于点求证：．
18.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，平分，与相交于点，延长到点，使．

求证：．
如图，延长交于点，求证：．
如图，在的条件下，是边的中点，连结与相交于点试探索，，之间的数量关系，并证明你的结论．
19.本小题分
尺规作图：已知，求作：
的角平分线；保留作图痕迹，不写作法
的中线；保留作图痕迹，不写作法
的高线保留作图痕迹，不写作法
20.本小题分
如图，已知是锐角三角形．
请用无刻度直尺和圆规作图：作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，在线段上找一点，使点到边、的距离相等；不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，若，，求的长．
21.本小题分
如图，在平行四边形中，分别以，为圆，以大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，分别与，，相交于点，，连接，．
根据作图过程，判断与的位置关系是_____；
求证：四边形是菱形．
22.本小题分
如图，中，．
作边的垂直平分线交于点，作边的垂直平分线交于点，连接，尺规作图，保留作图痕迹，不需要写作法
在的条件下，若，求的周长．
23.本小题分
如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交、于点和．
尺规作图：求作保留作图痕迹，不写作法；
连接，求的度数．
24.本小题分
如图，在钝角中，，请用尺规作图法，求作一个等边，使得顶点，均在的边上作出符合题意的一个等边三角形即可保留作图痕迹，不写作法
25.本小题分
如图，是菱形的对角线，．
请用尺规作图法，在上找点；使不要求写作法，保留作图痕迹
在条件下，连接，求的度数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质．
根据基本作图得到点为的垂直平分线与的交点，平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，根据角平分线的定义得到，所以，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则可计算出，，然后计算出，从而可对各选项进行判断．
【解答】
解：由作法得点为的垂直平分线与的交点，平分，
，，
，
，，
，
，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
【解答】
解：作一个角等于已知角的方法正确；
作一个角的平分线的作法正确；
作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
过直线外一点作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．
3.【答案】
【解析】略
4.【答案】
【解析】【分析】
利用线段垂直平分线的性质得出，再利用三角形内角和等于得出即可．
本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
【解答】
解：由题意可得：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选A．
5.【答案】
【解析】解：经过旋转后得到，
点与点为对应点，点和点为对应点，
旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上，
作的垂直平分线和的垂直平分线，它们的交点为点，如图，
即旋转中心为点．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：连接，．
由作图可知：，，
直线垂直平分线段，
，
，故A，，D正确，
故选：．
根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的画法，勾股定理的有关知识，根据垂直平分线的性质，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【解答】
解：根据垂直平分线的性质可知：，
设，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得，
．
8.【答案】
【解析】解：由作图可知垂直平分线段，
，
的周长．
故选：．
证明，推出的周长，可得结论．
本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得，垂直且平分，
，
，
故选：．
由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可．
本题考查作图线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法得出垂直且平分是解题的关键．
10.【答案】
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：根据角平分线、线段垂直平分线和垂线的尺规作图方法由作图方法可知，图作法下面应该还有两条相交的弧，即图的正确作图如下：
图和图作法正确，
故选：．
根据角平分线、线段垂直平分线和垂线的尺规作图方法，直接判断即可．
本题主要考查了垂线，掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键．
12.【答案】
【解析】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
由且知，据此得，由线段的中垂线的性质可得答案．
【详解】解：且，
，
，
点是线段中垂线与的交点，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接．
由作图可知：直线垂直平分线段，
垂直平分线段，
，
的周长，
平行四边形的周长，
故答案为：．
如图，连接，利用线段的垂直平分线的性质求出，即可解决问题．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】
【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，连接，设，交于点，根据题意得出，设，则，进而得出，根据得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设，交于点
，
，
直线，分别是、的垂直平分线
，即
设，则
，则
又
解得：
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了作一条线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及线段的和差．
设交于点，连接，由作图可知是线段的垂直平分线，即得
，由等腰三角形的性质可得，从而根据三角形的外角性质求得，进而在中由勾股定理可求得，最后根据线段的和差即可求得的长．
【解答】
解：如图，设交于点，连接．
由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
．
16.【答案】
【解析】解：点为三边垂直平分线的交点，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
先根据线段垂直平分线的性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理可得，从而再利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
17.【答案】证明：因为垂直平分，
所以，．
在和中，
所以 ，所以．
因为，，所以．
在和中，
所以 ，所以．

【解析】见答案
18.【答案】【小题】
解：证明：在和中，
．
【小题】
证明：由知，，．
平分，，
，
，，为等腰三角形，
是边上的中线，，．
【小题】
证明：如图，连结，是等腰三角形，是边的中点，
是线段的垂直平分线，．
是直角三角形，，．

【解析】 略
略
略
19.【答案】【小题】
解：如图，即为所求．
【小题】
解：如图，即为所求．
【小题】
解：如图，即为所求．

【解析】
本题考查作图复杂作图、三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解答本题的关键．
根据角平分线的作图方法作图即可．

作线段的垂直平分线，交于点，连接即可．

结合三角形的高的定义作图即可．
20.【答案】解：如图，直线，点即为所求；
过点作于点．
平分，，，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据要求作出图形即可；
过点作于点利用勾股定理求出，证明，利用面积法求解即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用面积法解决问题．
21.【答案】
证明：由作法得垂直平分，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
在和中，
≌，
，
和互相垂直平分，
四边形为菱形
【解析】【分析】
本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，线段垂直平分线的性质，基本作图，全等三角形的判定与性质有关知识
利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到
先证明≌得到，然后利用和互相垂直平分可判断四边形为菱形，从而得到；
【解答】
解：由作图可知：垂直平分
见答案
22.【答案】解：分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、，
作出过点、的直线，与交于点；
分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点、，
作出过点、的直线，与交于点，
如图，图形即为所求．
垂直平分线段，
，
垂直平分线段，
，
的周长．
【解析】本题考查作一条线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质等知识，
作线段，的垂直平分线，，交于点，交于点，连接，即可．
证明的周长的长即可．
23.【答案】解：如图，即为所求；
在中，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
根据是的垂直平分线，即可求作；
根据垂直平分线的性质即可求的度数．
24.【答案】解：如图，即为所求作的三角形，

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
25.【答案】解：如图所示，点即为所求；
四边形是菱形，
，，．
，，
，
垂直平分线段，
，
．
【解析】本题考查作一条线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质等知识．
分别以、为圆心，大于长为半径画弧，过两弧的交点作直线交于点即可；
根据菱形的性质和垂直平分线的性质计算即可．
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