1.7角平分线的性质 浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

1.7角平分线的性质浙教版（ 2024）初中数学八年级上册同步练习
分数：120分 ; 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，是的角平分线，过点分别作，，垂足分别是，，则下列结论错误的是 ( )
A. B. C. D.
2.若、、是直角三角形的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为( )
A. B. C. D.
3.如图，直线，，表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
4.如图，在中，，平分，，，垂足分别是，给出下列四个结论：上任意一点到，的距离相等；上任意一点到，两点的距离相等；且；其中，正确的个数是 ( )
A. B. C. D.
5.三条公路将，，三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( )
A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
6.如图，在中，、分别是、上的点，过作，，垂足分别为、，若，，则
平分
这四个结论中，正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
8.如图，直线、、表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A. 处 B. 处 C. 处 D. 处
9.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点，，再分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是( )
A. B. C. D.
11.如图，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线，交于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
12.如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.如图，在中，平分若则 ．
14.如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，，则 ．
15.如图，在、轴上分别截取、，使，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点若的坐标为，则 ．
16.如图，在中，平分，若，，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示点，表示大学，，表示公路，现计划在的内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．要求尺规作图，保留作图痕迹
18.本小题分
如图，在中，是的角平分线，于点，在边上，且．
如图，若，求证：≌；
如图，若，试探究线段，，之间的数量关系，并给出证明．
19.本小题分
下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线及直线外一点．
求作：直线，使得．
作法：如图．
在直线上取一点，连接；
作的平分线；
以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
作直线．
所以直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程．
使用直尺和圆规，补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：平分，
．
，
______，
______，
______填推理依据．
20.本小题分
如图，在中，的平分线交于点．
尺规作图：作的平分线，交于点保留作图痕迹，不要求写作法；
求证：四边形是平行四边形．
21.本小题分
已知：如图，是的角平分线，于点，于点，求证：是的中垂线．
22.本小题分
如图，四边形中，，于点，交于点，连接，平分．

求证：；
若，求的长．
23.本小题分
如图，点在的边上，用直尺与圆规分别按下列要求作图：
在图中作，使经过点，，且圆心在上；
在图中作，使与相切，且与相切于点保留作图痕迹，写出必要的文字说明
24.本小题分
如图，四边形中，，平分，于点，的延长线于点．
求证：；
若，，请直接写出的长．
25.本小题分
如图，在中，是，的平分线的交点，是，外角的平分线的交点．
点在的平分线上吗？为什么？
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，是的角平分线，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
由等腰三角形的性质可得，，，由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2.【答案】
【解析】，．．，，．，，，．如图，设为的三条角平分线的交点，过作，，，垂足分别为、、，则，而，又，，故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有个，可得可供选择的地址有个．
【解答】
解：内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
内角平分线的交点满足条件；
如图：点是两条外角平分线的交点，
过点作，，，
，，
，
点到的三边的距离相等，
两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有个；
综上，到三条公路的距离相等的点有个，
可供选择的地址有个．
故选D．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可。
【解答】
解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处。
故选C。
6.【答案】
【解析】，，，
平分，故正确
易证，
，故正确
如图，
，
，
，
平分，
，
，
，故正确
，，
，虽然，但是与不一定全等只具备一角一边分别相等的两个三角形不一定全等，
故不正确．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解答】
解：观察图形可知点在的角平分线上，点到两边距离相等．
故选A
8.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解．
由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有个，可得可供选择的地址有个．
【解答】
解：内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
内角平分线的交点满足条件；
如图：点是两条外角平分线的交点，
过点作，，，
，，
，
点到的三边的距离相等，
两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有个；
综上，到三条公路的距离相等的点有个，
可供选择的地址有个．
故选D．
9.【答案】
【解析】解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选：．
利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线是解题的关键．也考查了角平分线的性质．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了角平分线的性质．
利用基本作图得到平分，利用角平分线的性质得到点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算的面积．
【解答】
解：由作法得平分，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
由作法得平分，
，
故选：
先根据平行线的性质得到，再利用基本作图得到，然后根据三角形外角性质可计算出的度数．
本题考查了平行线的性质，作一个角的平分线以及三角形外角的性质，掌握用尺规作图作一个角的平分线的作法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】略
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形中边的高是解题的关键．
作于点，由角平分线的性质推出，再利用三角形面积公式求解即可．
【解答】
解：如图，作于点，
平分，，，
，
．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了角的平分线的性质，含角的直角三角形的性质，理解性质定理是关键．
根据角平分线的性质即可求得的长，然后在直角中，根据的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得长，则即可求得．
【解答】
解：是的角平分线，，，
，
又直角中，，
，
．
15.【答案】
【解析】由尺规作图可知，交点是的平分线上的一点，
点在第一象限，
点的横坐标和纵坐标都是正数，且横坐标等于纵坐标，
，解得经检验，符合题意．故填．
16.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，
平分，，，
，
，
，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：点即为所求．

【解析】见答案
18.【答案】【小题】
解：证明：是角平分线，，，在和中，≌．
【小题】
证明如下： 如图，过点作于点是角平分线，，， 在和中，≌，在与中，≌，，故线段，，之间的数量关系为．

【解析】 略
略
19.【答案】解：如图所示：直线即为所求．
，，内错角相等，两直线平行 ．
【解析】解：见答案；
证明：平分，
．
，
，
，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：，，内错角相等，两直线平行．
根据要求作图即可；
根据等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义求解可得．
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义．
20.【答案】【小题】
如图，射线即为所求．
【小题】
证明：四边形是平行四边形，，，分别平分，，， 又，即，四边形是平行四边形．

【解析】 略
略
21.【答案】证明：因为是的角平分线，，，
所以，．
又因为，，
所以．
所以，．
所以，即．
又因为，所以，即．
所以是的中垂线．

【解析】见答案
22.【答案】证明：，于点，
平分，
在
，
．
解：于点，
．
在和中，
．
．
，
．
，
．

【解析】运用角平分线的性质定理证明，进而可得结论；
先证明可得，即，最后根据线段的和差即可解答．
本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点运用证得是解题的关键．
23.【答案】【小题】
如图所示，即为所求．
【小题】
如图所示，即为所求．

【解析】
本题考查了复杂作图，掌握垂直平分线的性质、角平分线的性质、圆的切线的判定定理是解题的关键．
作的垂直平分线交于点即可；

过作的垂线与的平分线的交点即为所求．
24.【答案】【小题】
平分，，，，．
在和中，．
，．
【小题】
的长为．

【解析】 略

，．
，，．
又，，．
，，，
．
25.【答案】【小题】
点在的平分线上理由如下：
如图，过点作于点，作于点，作于点．
是，外角的平分线的交点，，，
，点在的平分线上．
【小题】
是，的平分线的交点，．
是，外角的平分线的交点，．
，．
同理可得在四边形中，
，
．

【解析】 略
略
第1页，共1页