第2章 简单事件的概率 单元预习（含解析）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

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第2章 简单事件的概率
一、选择题
1．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
2．（3分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣2、0、、3．从中随机摸出一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
4．（3分）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（　　）
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球
C．第一次摸出的球是红球的概率是
D．两次摸出的球都是红球的概率是
5．（3分）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是奇数
D．暗箱中有1个红球和5个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球
6．（3分）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号都不大于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）将一个篮球和一个足球随机放入三个篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为α，β，γ，θ．自由转动转盘，则下面说法错误的是（　　）
A．若α＞90°，则指针落在红色区域的概率大于0.25
B．若α＞β+γ+θ，则指针落在红色区域的概率大于0.5
C．若α﹣β＝γ﹣θ，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
D．若γ+θ＝180°，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点E，其中点A，B，C，D的坐标分别为A（1，1），B（5，1），C（5，5），D（1，5）．一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，搅匀后从中任意摸出1个小球，把小球上的数字记为点P的横坐标，放回后再任意摸出1个小球，将小球上的数字记为点P的纵坐标，则点P落在涂色部分（含边界）的概率是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（3分）若某种彩票的中奖率为5%，则“小明选中一张彩票一定中奖”这一事件是 　 　 （必然事件、不可能事件、随机事件）．
12．（3分）七（1）班有男生20人，女生30人，从该班级随机选出一名学生担任值日班长，则选出的值日班长是女生的概率为 　 　 ．
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有除了颜色外其余均相同的8个小球，其中红球3个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则m的值为 　 　 ．
14．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘A、B，转盘分成3个大小相同的扇形，甲乙两个人做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜：数字之和为奇数时乙获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，甲获胜的概率是 　 　 ．
15．（3分）如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是 　 　 .
16．（3分）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
依此估计此封闭图形ABC的面积是 　 　 m2．
三、解答题
17．（9分）某班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．
（1）当n为何值时，男生小强参加是必然事件？
（2）当n为何值时，男生小强参加是随机事件？
18．（14分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”，小颖和小红的说法正确吗？为什么？
（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
19．（14分）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 　 　 ；
（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
20．（15分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时，
（1）利用画树状图的方法，求三辆车全部同向而行的概率；
（2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往我市新建经济开发区的，因此交管部门的汽车行驶高峰时段对车流量做了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
第2章 简单事件的概率
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球
B．任意买一张电影票，座位号是3的倍数
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯
【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球，是必然事件；
B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数，是随机事件；
C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件；
D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯，是随机事件；
故选：A．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（3分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣2、0、、3．从中随机摸出一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率的公式进行计算．
【解答】解：从中随机摸出一个小球，出现正数的可能有2种，
∴小球所标数字是正数的概率为：．
故选：D．
【点评】本题考查了概率的知识，掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是关键．
3．（3分）掷一枚质地均匀的硬币5次，其中3次正面朝上，2次正面朝下，则再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用概率的意义分析得出答案．
【解答】解：∵掷质地均匀硬币的试验，每次正面向上和向下的概率相同，
∴再次掷出这枚硬币，正面朝下的概率是．
故选：D．
【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的意义是解题关键．
4．（3分）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（　　）
A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球
B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球
C．第一次摸出的球是红球的概率是
D．两次摸出的球都是红球的概率是
【答案】A
【分析】根据随机事件的定义、概率公式对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；
B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；
C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本选项正确；
D、共用9种等可能结果数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是，故本选项正确；
故选：A．
【点评】此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（3分）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是奇数
D．暗箱中有1个红球和5个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球
【答案】D
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P＝0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．
【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意；
B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是奇数的概率是，不符合题意；
D、暗箱中有1个红球和5个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一个球是红球的概率是0.17，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握频率公式：频率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
6．（3分）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意求出白球在网格上有6种摆放方法，两棋子不在同一条格线上的摆放方法共有12种，再得出选项即可．
【解答】解：∵白球在网格上有6种摆放方法，两棋子不在同一条格线上的摆放方法共有12种，
∴恰好摆放成如图所示位置的概率是，
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树形图法，能找出符合的所有情况是解此题的关键．
7．（3分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号都不大于3的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号都不大于3的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号都不大于3的有6种情况，
∴两次摸出的小球标号都不大于3的概率是，
故选：D．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．（3分）将一个篮球和一个足球随机放入三个篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：三个不同的篮子分别用A、B、C表示，根据题意画图如下：
共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种，
则恰有一个篮子为空的概率为．
故选：A．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．（3分）如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为α，β，γ，θ．自由转动转盘，则下面说法错误的是（　　）
A．若α＞90°，则指针落在红色区域的概率大于0.25
B．若α＞β+γ+θ，则指针落在红色区域的概率大于0.5
C．若α﹣β＝γ﹣θ，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
D．若γ+θ＝180°，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
【答案】C
【分析】根据概率公式计算即可得到结论．
【解答】解：A、∵α＞90°，
∴0.25，故A正确；
B、∵α+β+γ+θ＝360°，α＞β+γ+θ，
∴0.5，故B正确；
C、∵α﹣β＝γ﹣θ，
∴α+θ＝β+γ，
∵α+β+γ+θ＝360°，
∴α+θ＝β+γ＝180°，
∴0.5，
∴指针落在红色或紫色区域的概率和为0.5，故C错误；
D、∵γ+θ＝180°，
∴α+β＝180°，
∴0.5，
∴指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点E，其中点A，B，C，D的坐标分别为A（1，1），B（5，1），C（5，5），D（1，5）．一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3，4，5，搅匀后从中任意摸出1个小球，把小球上的数字记为点P的横坐标，放回后再任意摸出1个小球，将小球上的数字记为点P的纵坐标，则点P落在涂色部分（含边界）的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举出所有情况，让P点落在阴影部分（含边界）的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：列表得：
∴共有25种情况，
根据题意：直线AC与BD的解析式分别为：y＝x与y＝﹣x+6，
当x＝1时，均可；
当x＝2时，（2，2）、（2，3）（2，4）可以；
当x＝3时，（3，3）可以；
当x＝4时，（4，2）、（4，3）、（4，4）可以；
当x＝5时，均可；
∴P点落在阴影部分（含边界）的有17种；
∴P点落在阴影部分（含边界）的概率是．
故选：D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果；列表法适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
11．（3分）若某种彩票的中奖率为5%，则“小明选中一张彩票一定中奖”这一事件是 　随机事件　 （必然事件、不可能事件、随机事件）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
【解答】解：若某种彩票的中奖率为5%，则“小明选中一张彩票一定中奖”这一事件是随机事件，
故答案为：随机事件．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
12．（3分）七（1）班有男生20人，女生30人，从该班级随机选出一名学生担任值日班长，则选出的值日班长是女生的概率为 　　 ．
【答案】．
【分析】先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
【解答】解：全班共有学生30+20＝50（人），
其中女生30人，
则这班选中一名女生当值日班长的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有除了颜色外其余均相同的8个小球，其中红球3个，黑球5个，若再放入m个一样的黑球并摇匀，此时，随机摸出一个球是黑球的概率等于，则m的值为 　7　 ．
【答案】7．
【分析】由概率＝所求情况数与总情况数之比，根据随机摸出一个球是黑球的概率等于可得方程，继而求得答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了概率公式的应用，正确记忆概率＝所求情况数与总情况数之比是解题关键．
14．（3分）如图是两个可以自由转动的转盘A、B，转盘分成3个大小相同的扇形，甲乙两个人做游戏，游戏规则：转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜：数字之和为奇数时乙获胜，若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘，甲获胜的概率是 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之和为偶数的结果有5种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中指针所在区域的数字之和为偶数的结果有5种，
∴甲获胜的概率是，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（3分）如图，地上有3个不同的桶，每次取一个桶，直到取完，则最后一个取到B的概率是 　　 .
【答案】．
【分析】画树状图，共有3种等可能的结果，其中最后一个取到B的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有3种等可能的结果，其中最后一个取到B的结果有2种，
∴最后一个取到B的概率为，
故答案为：．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向圈内掷石子，且记录如下：
依此估计此封闭图形ABC的面积是 　3π　 m2．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格中提供的数据计算出落在圆内的概率与落在阴影内的概率的比值，即可解答．
【解答】解：∵落在圆内的频率为（）÷3≈0.29；
落在阴影内的频率为（）÷3≈0.58；
∴落在阴影部分（下称为“阴”）是落在圆内的（称为“圆”）几率大概为：2：1，
∵S圆＝πm2，
∴S阴＝2πm2，
∴S总＝π+2π＝3πm2．
【点评】此题信息量较大，在解答时要注意分析，本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，需同学们细心解答．关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法．
三、解答题
17．（9分）某班从三名男生（含小强）和五名女生中选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名．
（1）当n为何值时，男生小强参加是必然事件？
（2）当n为何值时，男生小强参加是随机事件？
【答案】（1）n＝1；
（2）n＝2或n＝3．
【分析】（1）根据确定事件包括必然事件和不可能事件两种情况解答；
（2）根据随机事件的定义解答．
【解答】解：（1）当女生选1名时，三名男生都能选上，男生小强参加是必然事件，即n＝1；
（2）当女生选2或3名时，三名男生有可能被选上，即男生小强参加是随机事件，所以n＝2或n＝3．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
18．（14分）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数 1 2 3 4 5 6
出现的次数 7 9 6 8 20 10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率．
（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”，小颖和小红的说法正确吗？为什么？
（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率．
【答案】（1），；（2）小颖、小红的说法都是错误的，理由见解答；（3）．
【分析】（1）根据概率的公式计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率；
（2）根据随机事件的性质回答；
（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）3点朝上的频率为；
5点朝上的频率为；
（2）小颖的说法是错误的．
这是因为：“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近；
小红的判断是错误的，
因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次；
（3）列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∴一共有36种情况，两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的有12种情况；
∴两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率是．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．频率能反映出概率的大小，但是要经过n次试验，而不是有数的几次，几次试验属于随机事件，不能反映事物的概率．
19．（14分）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．
（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为 　　 ；
（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【答案】（1）；
（2）不公平．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平．
【解答】解：（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率；
（2）这个游戏规则不公平．
理由如下：
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，
所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，
因为，
所以这个游戏规则不公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．
20．（15分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时，
（1）利用画树状图的方法，求三辆车全部同向而行的概率；
（2）求至少有两辆车向左转的概率；
（3）由于十字路口右拐弯处是通往我市新建经济开发区的，因此交管部门的汽车行驶高峰时段对车流量做了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为、、，即可求得答案．
【解答】解：（1）分别用A，B，C表示向左转、直行，向右转；
根据题意，画出树形图：
∵共有27种等可能的结果，三辆车全部同向而行的有3种情况，
∴P（三车全部同向而行）；
（2）∵至少有两辆车向左转的有7种情况，
∴P（至少两辆车向左转）；
（3）∵汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，
∴在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮时间为9027（秒），直行绿灯亮时间为9027（秒），右转绿灯亮的时间为9036（秒）．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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