第4章 相似三角形 单元预习（含解析）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

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第4章 相似三角形
一、选择题
1．（3分）下面各组中的两个比，可以组成比例的是（　　）
A．12：9和9：6 B．：和：
C．8.4：2.1和1.2：8.4 D．18：12和30：15
2．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若OA OD＝OC OB，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
4．（3分）如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且DE：AE＝1：2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则 ABCD的周长为（　　）
A．21 B．28 C．34 D．48
5．（3分）龙翔大道旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天质彬突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（　　）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
6．（3分）有一个三角形木架三边长分别是15cm，20cm，24cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm和24cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
7．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE＝3，则AD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
9．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
10．（3分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（3分）若两个相似三角形的面积比为1：9，则这两个相似三角形的周长比是　 　 ．
12．（3分）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为　 　 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH＝　 　 ．
14．（3分）如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝　 　 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝6，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝3，点E是线段BC延长线上的动点，当△ABC和△DCE相似时，线段CE的长为　 　 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于点E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连结AF，CF，CF与AB交于点G．有以下结论：①AE＝BC；②AF＝CF；③BF2＝FG FC；④EG AE＝BG AB．其中，正确的是 　 　 （填序号）．
三、解答题
17．（8分）如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点，△ABC是格点三角形（顶点是格点的三角形）．
（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC＝　 　 ．
（2）在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC相似（但不全等，且图1，2中所画三角形也不全等）．
18．（8分）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．
19．（10分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）如果PE＝4，PF＝5，求线PC的长．
20．（12分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长．
21．（14分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF．
（1）求证：△ADE≌△DCF；
（2）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；
（3）连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在（2）的条件下，判断S1+S2＝S3是否成立？并说明理由．
第4章 相似三角形
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下面各组中的两个比，可以组成比例的是（　　）
A．12：9和9：6 B．：和：
C．8.4：2.1和1.2：8.4 D．18：12和30：15
【答案】B
【分析】根据比例线段的定义对各选项进行判断．
【解答】解：12：9≠9：6，8.4：2.1≠1.2：8.4，18：12和30：15，
而：：，
所以A、C、D选项中的比不能组成比例，而B选项中的比可组成比例．
故选：B．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴，
∴的值为，
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
3．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若OA OD＝OC OB，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似
【答案】B
【分析】证明△AOB∽△COD，可得结论．
【解答】解：∵∠AOB，∠COD是对顶角，
∴∠AOB＝∠COD，
∵OA OD＝OC OB，
∴，
∴△AOB∽△COD，
即①与③相似．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
4．（3分）如图，点E是 ABCD的边AD上的一点，且DE：AE＝1：2，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则 ABCD的周长为（　　）
A．21 B．28 C．34 D．48
【答案】C
【分析】先由平行四边形得到AB∥DF，然后得到△ABE∽△DFE，然后利用DE：AE＝1：3、DE＝3、DF＝4得到AB＝12，AE＝9，从而得到AD的长，最后得到平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠EDF，
∴△ABE∽△DFE，
∴，
∵DE＝3，DF＝4，
∴AB＝8，AE＝6，
∴AD＝9，
∴C ABCD＝2×（8+9）＝34，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过平行四边形的性质证明三角形相似．
5．（3分）龙翔大道旁有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天质彬突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC＝5米，长方形广告牌的长HF＝4米，高HC＝3米，DE＝4米，则电线杆AB的高度是（　　）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【答案】C
【分析】作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N，即可求出GM、BN、MN．利用△GMN与△ABN的对应边成比例即可求解．
【解答】解：作GM⊥BD于点M，延长AG交BE于点N，如图：
∵G是HF中点，HF＝4m．
∴CM＝MD＝GF＝2m．
∵BC＝5m，HC＝3m，DE＝4m．
∴GM＝3m．
根据平行投影性质可得：MN＝DE＝4m、BN＝BC+CM+MN＝11m．
∵GM∥AB．
∴，即：．
∴AB＝8.25m．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形性质、平行投影的特点．关键在于利用平行投影得到．即对应边成比例，难度不大．
6．（3分）有一个三角形木架三边长分别是15cm，20cm，24cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为12cm和24cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【答案】B
【分析】分类讨论：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长24cm的木条不能作为一边，设从24cm的一根上截下的两段长分别为x cm，y cm（x+y≤24），易得长12cm的木条不能与15cm的一边对应，所以当长12cm的木条与20cm的一边对应时有；当长12cm的木条与24cm的一边对应时有，然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值．
【解答】解：长24cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长24cm的木条不能作为一边，
设从24cm的木条上截下两段长分别为x cm，y cm（x+y≤24），
由于长12cm的木条不能与15cm的一边对应，否则x+y＞24cm，
当长12cm的木条与20cm的一边对应，则，
解得：x＝9，y＝14.4；
当长12cm的木条与24cm的一边对应，则，
解得：x＝7.5，y＝10．
∴有两种不同的截法：把24cm的木条截成9cm、14.4cm两段或把24cm的木条截成7.5cm、10cm两段．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：通常构建三角形相似，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行几何计算．
7．（3分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE＝3，则AD的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】先判断出△ABC与△DBE相似，求出BD，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：如图1，
在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝10，
∴AC＝5，
连接BE，
∵BD是圆的直径，
∴∠BED＝90°＝∠CBA，
∵∠BAC＝∠EDB，
∴△ABC∽△DEB，
∴，
∴，
∴DB＝3，
在Rt△ABD中，AD2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
8．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】D
【分析】利用△AFH∽△ADE得到（）2，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．
【解答】解：如图，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴（）2＝（）2
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的性质．
9．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，﹣3）
C．（3，﹣2）或（﹣2，3） D．（﹣2，3）或（2，﹣3）
【答案】D
【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（﹣4，6），即可求得答案．
【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为（﹣4，6），
∴点B′的坐标是：（﹣2，3）或（2，﹣3）．
故选：D．
【点评】此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．
10．（3分）如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据黄金矩形的定义得到ABAD1，四边形ABFE和四边形DEHG都为正方形，则AE＝EF＝AB1，EH＝DE＝3，然后计算EF﹣EH即可．
【解答】解：∵矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，
∴ABAD1，
∵△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，
∴AB＝BF1，∠BFE＝∠A＝90°，
∴四边形ABFE为正方形，
∴AE＝EF＝AB1，
同理可得四边形DEHG为正方形，
∴EH＝DE＝AD﹣AE＝2﹣（1）＝3，
∴HF＝EF﹣EH1﹣（3）＝24．
故选：D．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了折叠的性质．
二、填空题
11．（3分）若两个相似三角形的面积比为1：9，则这两个相似三角形的周长比是　1：3　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：9，
∴这两个相似三角形的相似比为1：3，
∴这两个相似三角形的周长比1：3，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（3分）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为　2　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵每一个小长方形与原长方形相似，
∴，
解得，x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
13．（3分）如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH＝　2　 ．
【答案】2．
【分析】由三等分点的定义与平行线的性质得出BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，DH是△AEF的中位线，易证△BEF∽△BAC，得，解得EF＝4，则DHEF＝2．
【解答】解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DHEF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，即，
解得：EF＝4，
∴DHEF4＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了三等分点的定义、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（3分）如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】通过证明△ACO∽△OCB，可得，可求OC．
【解答】解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，
∴∠OCA+∠AOB＝180°，∠OCB+∠AOB＝180°，
∵∠OCA+∠COA+∠OAC＝180°，∠OCB+∠OBC+∠COB＝180°，
∴∠AOB＝∠COA+∠OAC，∠AOB＝∠OBC+∠COB，
∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，
∴△ACO∽△OCB，
∴，
∴OC2＝23，
∴OC，
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ACO∽△OCB是本题的关键．
15．（3分）如图，在△ABC中，AC＝9，AB＝6，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝3，点E是线段BC延长线上的动点，当△ABC和△DCE相似时，线段CE的长为　2或4.5　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长．
【解答】解：∵∠ACD＝∠ABC，
∴∠A＝∠DCE，
∵△ABC和△DCE相似，
∴或，即或，
解得，CE＝2或4.5，
故答案为：2或4.5．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于点E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连结AF，CF，CF与AB交于点G．有以下结论：①AE＝BC；②AF＝CF；③BF2＝FG FC；④EG AE＝BG AB．其中，正确的是 　①②④　 （填序号）．
【答案】①②④．
【分析】①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可；
②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可；
③假设BF2＝FG FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG＝∠FCB＝45°，由∠CDF＝45°，推出∠DFC＝90°，显然不可能，故③错误，
④由△ADF∽△GBF，可得，由EG∥CD，推出，推出，由AD＝AE，EG AE＝BG AB，故④正确．
【解答】解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，
∴∠ADE90°＝45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴AD＝AE，
又∵四边形ABCD矩形，
∴AD＝BC，
∴AE＝BC；
故①正确；
②∵∠BFE＝90°，∠BEF＝∠AED＝45°，
∴△BFE为等腰直角三角形，
∴则有EF＝BF，
又∵∠AEF＝∠DFB+∠ABF＝135°，∠CBF＝∠ABC+∠ABF＝135°，
∴∠AEF＝∠CBF，
在△AEF和△CBF中，
，
∴△AEF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF；
故②正确；
③假设BF2＝FG FC，则△FBG∽△FCB，
∴∠FBG＝∠FCB＝45°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠DCF＝45°，
∵∠CDF＝45°，
∴∠DFC＝90°，显然不可能，
故③错误，
④∵∠BGF＝180°﹣∠CGB，∠DAF＝90°+∠EAF＝90°+（90°﹣∠AGF）＝180°﹣∠AGF，∠AGF＝∠BGC，
∴∠DAF＝∠BGF，
∵∠ADF＝∠FBG＝45°，
∴△ADF∽△GBF，
∴，
∵EG∥CD，
∴，
∴，
∵AD＝AE，
∴EG AE＝BG AB，
故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△ADF∽△GBF．
三、解答题
17．（8分）如图是四个全等的小矩形组成的图形，这些矩形的顶点称为格点，△ABC是格点三角形（顶点是格点的三角形）．
（1）若每个小矩形的较短边长为1，则BC＝　　 ．
（2）在图1、图2中分别画一个格点三角形（顶点是格点的三角形），使它们都与△ABC相似（但不全等，且图1，2中所画三角形也不全等）．
【答案】（1）．
（2）作图见解析部分．
【分析】（1）直接利用勾股定理得出BC的长．
（2）利用相似三角形的判定与性质将对应边扩大倍以及2倍进而得出答案．
【解答】解：（1）BC．
故答案为：．
（2）如图1，2所示：△A′B′C′，△A″B″C″即为所求．
【点评】此题主要考查了相似变换以及勾股定理，正确得出对应边的长是解题关键．
18．（8分）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△ANM，再利用相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：在△ABC与△AMN中，
，，∴，又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ANM，
∴，即，
解得：MN＝1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米；
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
19．（10分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）如果PE＝4，PF＝5，求线PC的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程；
（3）2．
【分析】（1）由菱形的性质得到判定△APD≌△CPD的条件；
（2）由△APD≌△CPD得∠PAE＝∠PCD，即可证明△APE∽△FPA；
（3）由△APE∽△FPA得到，再等量代换即可．
【解答】（1）证明：∵ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠ADP＝∠CDP
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS）；
（2）证明：由（1）得△APD≌△CPD，
∴∠PAE＝∠PCD，
又由DC∥FB得：∠PFA＝∠PCD，
∴∠PAE＝∠PFA，
又∵∠APE＝∠APF，
∴△APE∽△FPA；
（3）解：∵△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵PE＝4，PF＝5，
∴PA＝2，
由（1）知△APD≌△CPD，
∴PC＝PA，
∴PC＝2．
【点评】本题考查全等三角形、相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明△APE∽△FPA和证明△APD≌△CPD．
20．（12分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由DB平分∠ADC得到∠ADB＝∠CDB，则可判断△ABD∽△BCD，利用相似比可得到结论；
（2）先证明∠MBD＝∠MDB得到MB＝MD，再证明∠A＝∠ABM得到MA＝MB，则MA＝MB＝MDAD＝4，接着利用BD2＝AD CD得到BD2＝48，再根据BM∥CD，得出，
计算出DN的长．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD：CD＝AD：BD，
∴BD2＝AD CD；
（2）解：∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，
而∠MDB＝∠CDB，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴MB＝MD，
∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴MA＝MB，
∴MA＝MB＝MDAD＝4，
∵BD2＝AD CD，CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝8×6＝48，BD＝4，
∵BM∥CD，
∴，
∴
∴
∴DN．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了勾股定理．
21．（14分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF．
（1）求证：△ADE≌△DCF；
（2）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；
（3）连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在（2）的条件下，判断S1+S2＝S3是否成立？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由正方形的性质得出AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，再由SAS即可证出△ADE≌△DCF；
（2）先证出∠DAE＝∠CEQ，再证明△ADE∽△ECQ，得出比例式，证出CQDE，即可得出结论；
（3）先证明△AEQ∽△ECQ，得出△AEQ∽△ECQ∽△ADE，得出面积比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
在△ADE和△DCF中，，
∴△ADE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：∵E是CD的中点，
∴CE＝DEDCAD，
∵四边形AEHG是正方形，
∴∠AEH＝90°，
∴∠AED+∠CEQ＝90°，
∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝∠CEQ，
∵∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△ECQ，
∴，
∴CQDE，
∵DE＝CF，
∴CQCF，
即Q为CF的中点；
（3）解：S1+S2＝S3成立；理由如下：如图所示：
∵△ADE∽△ECQ，
∴，
∵DE＝CE，
∴，
∵∠C＝∠AEQ＝90°，
∴△AEQ∽△ECQ，
∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE，
∴，，
∴（）2+（）2，
∵EQ2+AE2＝AQ2，
∴1，
∴S1+S2＝S3．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，需要多次证明三角形相似才能得出结论．
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