第4章 相似三角形 单元预习（含解析）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

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第4章 相似三角形
一、选择题
1．（4分）若x是3和6的比例中项，则x的值为（　　）
A． B．2 C． D．±3
2．（4分）在比例尺是1：38 000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实际长度约为（　　）
A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km
3．（4分）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则（　　）
A．2 B． C．3 D．
4．（4分）如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
5．（4分）如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（　　）
A．87° B．60° C．75° D．120°
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（　　）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
7．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（　　）
A．2a B．a C．3a D．a
8．（4分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
9．（4分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC，AB于D，E两点，连结BD，DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．BD⊥AC B．DE＝CD
C．△ADE是等腰三角形 D．BC＝2AD
10．（4分）王大伯要做一张如图的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1＝0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7＝0.8m．则第5级踏板的长度为（　　）
A．0.6m B．0.65m C．0.7m D．0.75m
二、填空题
11．（5分）已知△ABC与△DEF相似且对应高的比为2：5，则△ABC与△DEF的面积比为　 　 ．
12．（5分）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h＝　 　 米．
13．（5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形扩大为原来的2倍，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是 　 　 ．
14．（5分）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠C；②DF＝BF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论是　 　 （填写所有正确结论的序号）．
15．（5分）如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝4，EF＝3，则DF的长是　 　 ．
16．（5分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 　 　 ．
三、解答题
17．（8分）如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝10，DE＝3，
（1）求的值；
（2）求BC的长．
18．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC2＝BD CE．
（1）求∠DAE的度数．
（2）求证：AD2＝DB DE．
19．（8分）已知矩形ABCD的一条边AD＝4，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边上的P点处．
（1）如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若AC＝3AD，求的值．
21．（10分）（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．
22．（12分）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线与BC边和⊙O分别交于点D、E．
（1）指出图中相似的三角形，并说明理由．
（2）若EC＝4，DE＝2，求AD的长．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
24．（14分）已知一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，C两点．
（1）求出A，C两点的坐标；
（2）在x轴上找出点B，使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP＝m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由．
第4章 相似三角形
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（4分）若x是3和6的比例中项，则x的值为（　　）
A． B．2 C． D．±3
【答案】D
【分析】根据比例中项的概念，得x2＝3×6，则x可求出来．
【解答】解：∵x是3和6的比例中项，
∴x2＝3×6＝18，
解得x＝±3．
故选：D．
【点评】本题考查了比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．求比例中项根据比例的基本性质进行计算．
2．（4分）在比例尺是1：38 000的南京交通浏览图上，玄武隧道长约7cm，它的实际长度约为（　　）
A．0.266km B．2.66km C．26.6km D．266km
【答案】B
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离．按题目要求列出比例式计算即可．
【解答】解：根据：比例尺＝图上距离：实际距离．
得它的实际长度约为7×38000＝266000（cm）＝2.66（km）．故选B．
【点评】理解比例尺的概念，正确进行有关计算，注意单位的转换．
3．（4分）已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，属于基础题型．
4．（4分）如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．
【解答】解：当∠ACP＝∠B，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AC2＝AP AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∠A公共，
所以△APC∽△ACB；
当AB CP＝AP CB，即，
而∠PAC＝∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
5．（4分）如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（　　）
A．87° B．60° C．75° D．120°
【答案】A
【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵两个四边形相似，
∴∠1＝138°，
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
6．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（　　）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【答案】B
【分析】根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．
【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，
∴，
∵EF⊥AC，∠C＝90°，
∴∠EFA＝∠C＝90°，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
∴，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
设DH＝x，则CD＝x，
∵BC＝12，AC＝6，
∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴，
即，
解得，x＝4，
∴CD＝4，
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
7．（4分）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为（　　）
A．2a B．a C．3a D．a
【答案】C
【分析】证明△ACD∽△BCA，根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a，计算即可．
【解答】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴（）2，即，
解得，△BCA的面积为4a，
∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．（4分）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H．则下列矩形是黄金矩形的是（　　）
A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH
【答案】D
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1，
在直角三角形DCF中，DF，
∴FG，
∴CG1
∴，
∴矩形DCGH为黄金矩形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形
9．（4分）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC，AB于D，E两点，连结BD，DE．若BD平分∠ABC，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．BD⊥AC B．DE＝CD
C．△ADE是等腰三角形 D．BC＝2AD
【答案】D
【分析】由在△ABC中，以BC为直径的圆分别交边AC、AB于D、E两点，根据直径所对的圆周角是直角，可得BD⊥AC；由圆的内接四边形，可得∠A＝∠C＝∠AED，即可得AD＝DE，由∠ABD＝∠CBD，推出，可得DE＝CD，由此即可判断．
【解答】解：∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠A＝∠C，，
∴DE＝CD，
∵∠AED＝∠C＝180°﹣∠BED，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形，
∵∠DBC不一定是30°，
∴△ABC不一定是等边三角形，
∴BC＝2AD不一定成立，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（4分）王大伯要做一张如图的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1＝0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7＝0.8m．则第5级踏板的长度为（　　）
A．0.6m B．0.65m C．0.7m D．0.75m
【答案】C
【分析】根据梯形中位线定理和相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：因为每相邻两级踏板之间的距离都相等，
所以A4B4为梯形A1A7B7B1的中位线，
根据梯形中位线定理，
A4B4（A1B1+A7B7）（0.5+0.8）＝0.65m．
作A1C∥B1B4，
则DB5＝CB4＝A1B1＝0.5m，
A4C＝0.65﹣0.50＝0.15m，
于是，
即，
解得A5D＝0.2m．
A5B5＝0.2+0.5＝0.7m．
故选：C．
【点评】本题考查了梯形中位线定理和相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
二、填空题
11．（5分）已知△ABC与△DEF相似且对应高的比为2：5，则△ABC与△DEF的面积比为　4：25　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且对应高的比为2：5，
∴两三角形的相似比为2：5，
∴△ABC与△DEF的面积比＝22：52＝4：25．
故答案为：4：25．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应高线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
12．（5分）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球的高度h＝　1.125　 米．
【答案】见试题解答内容
【分析】由DE∥BC可判断△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得，然后利用比例性质求h即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
∴h＝1.125（m）．
故答案为1.125．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
13．（5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形扩大为原来的2倍，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是 　（﹣4，8）或（4，﹣8）　 ．
【答案】（﹣4，8）或（4，﹣8）．
【分析】根据位似图形的中心和位似比例即可得到点A的对应点C的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABO三角形扩大为原来的2倍，点A的坐标为A（﹣2，4），
∴点C的坐标为或（2×2，﹣4×2），
即（﹣4，8）或（4，﹣8），
故答案为：（﹣4，8）或（4，﹣8）．
【点评】本题主要考查了位似变换，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k是解题的关键．
14．（5分）如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC＝∠C；②DF＝BF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF．其中正确的结论是　①③④　 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】本题考查相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．
【解答】解：在△ABC与△AEF中
∵AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E
∴△AEF≌△ABC，
∴AF＝AC，
∴∠AFC＝∠C；
由∠B＝∠E，∠ADE＝∠FDB，
可知：△ADE∽△FDB；
∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAF，
由△ADE∽△FDB可得∠EAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAF．
综上可知：①③④正确．
故答案为：①③④
15．（5分）如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝4，EF＝3，则DF的长是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】作CM⊥AB交EF于N，垂足为M．由EF∥AB，推出△CEF∽△CBA，推出，设CN＝3h，CM＝4h，则MN＝h，由S△ABC＝S△CED，推出S四边形ABEF＝S△DFC，列出方程即可解决问题．
【解答】解：作CM⊥AB交EF于N，垂足为M．
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴，
设CN＝3h，CM＝4h，则MN＝h，
∵S△ABC＝S△CED，
∴S四边形ABEF＝S△DFC，
∴（AB+EF） MN DF CN，
∴（3+4） h DF 3h，
∴DF，
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的面积、三角形的面积等知识，解题的关键是添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（5分）如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是 　3秒或4.8秒　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
【点评】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，有两种情况是解决问题的关键．
三、解答题
17．（8分）如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝10，DE＝3，
（1）求的值；
（2）求BC的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先根据AB＝AD+BD求出AB的长，再求出其比值即可；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出BC的长．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AD＝4，DB＝10，
∴AB＝AD+DB＝4+10＝14，
∴；
（2）∵在△ABC中，DE∥BC，DE＝3，
∴，
∵由（1）知，
∴，解得BC．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比相等是解答此题的关键．
18．（8分）如图，△ABC是等边三角形，D、E在BC边所在的直线上，且BC2＝BD CE．
（1）求∠DAE的度数．
（2）求证：AD2＝DB DE．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，利用等角的补角相等得到∠ABD＝∠ACE，然后把题中已知的等式化为比例的形式，根据两边对应成比例，且夹角对应相等的两三角形相似即可得证；
（2）由于∠DAE＝∠ADB＝120°，∠D＝∠D，推出△ABD∽△EAD根据相似三角形的性质得到，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵BC2＝BD CE，
∴AB AC＝BD CE，
即，
∴△ABD∽△ECA；
∴∠DAB＝∠E，
∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠EAC＝120°；
（2）∵∠DAE＝∠ADB＝120°，∠D＝∠D，
∴△ABD∽△EAD
∴，
∴AD2＝DB DE．
【点评】本题考查了等边三角形性的性质以及相似三角形的判定，证明三角形相似的方法有：①两角对应相等两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角对应相等两三角形相似；③三边对应成比例两三角形相似．做题时要根据已知的条件，选择合适的方法．把AB AC＝BD CE化为比例的形式，得到两三角形的对应边成比例是解本题的关键．
19．（8分）已知矩形ABCD的一条边AD＝4，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边上的P点处．
（1）如图，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）边AB的长为5．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形得∠C＝∠D＝∠B＝90°，由折叠得∠OPA＝∠B＝90°，则∠COP＝∠DPA＝90°﹣∠CPO，即可证明△OCP∽△PDA；
（2））由△OCP∽△PDA根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得，则PCAD＝2，在Rt△POC中，OP＝OB＝4﹣OC，则OC2+22＝（4﹣OC）2，可求得OC，再由得PD＝2OC＝3，则AB＝CD＝5．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，
∴∠C＝∠D＝∠B＝90°，BC＝AD＝4，AB＝CD，
由折叠得∠OPA＝∠B＝90°，OP＝OB＝4﹣OC，
∴∠COP＝∠DPA＝90°﹣∠CPO，
∴△OCP∽△PDA．
（2）解：∵△OCP∽△PDA，
∴，
∴，
∴PCAD4＝2，
∵OC2+PC2＝OP2，
∴OC2+22＝（4﹣OC）2，
∴OC，
∵，
∴PD＝2OC＝23，
∴AB＝CD＝PC+PD＝2+3＝5，
∴边AB的长为5．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据轴对称的性质和矩形的性质求出三角形相似的条件是解题的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若AC＝3AD，求的值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）．
【分析】（1）根据题意可得∠AED＝∠B，∠BAC＝∠BAC，根据内角和定理，可知∠ADE＝∠C，且，所以△ADF～ACG；
（2）由第（1）中△ADF～ACG，可得，，根据题目条件，可知FG与AF数量关系，即求出答案．
【解答】解：（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠BAC＝∠BAC，
∴∠ADE＝∠C，
∵，
∴△ADF～ACG；
（2）由（1）可知△ADF～ACG，
∴，
∵AC＝3AD，
∴，
∴AG＝3AF，
∴FG＝AG﹣AF＝2AF，
∴．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形边长比例关系是解题关键．
21．（10分）（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD＝BE，在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，求出BE，得到答案；
（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到，求出BE的长，得到AD的长．
【解答】解：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
又∵AC＝BC，DC＝EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，
∵AC＝BC＝6，
∴AB＝6，
∵∠BAC＝∠CAE＝45°，
∴∠BAE＝90°，
在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝9，
∴AD＝9；
（2）如图2，连接BE，
在Rt△ACB中，∠ABC＝∠CED＝30°，
tan30°，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝90°，又AB＝6，AE＝8，
∴BE＝10，
∴AD．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握性质定理和判定定理是解题的关键，正确作出辅助线是重点．
22．（12分）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠BAC的平分线与BC边和⊙O分别交于点D、E．
（1）指出图中相似的三角形，并说明理由．
（2）若EC＝4，DE＝2，求AD的长．
【答案】（1）△ABD∽△AEC，△AEC∽△CED，△ABD∽△CED；
（2）6．
【分析】（1）由角平分线的性质及圆周角定理证出∠BAD＝∠EAC，∠ABC＝∠AEC，由相似三角形的判定可证明△ABD∽△AEC，同理可得出答案；
（2）由相似三角形的性质可得出比例线段求出AE的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）图中相似的三角形有三对：△ABD∽△AEC，△AEC∽△CED，△ABD∽△CED；
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAC，
又∵∠ABC＝∠AEC，
∴△ABD∽△AEC，
∵∠BCE＝∠BAE＝∠EAC，∠DEC＝∠AEC，
∴△AEC∽△CED，
∴△ABD∽△CED；
（2）∵△AEC∽△CED，
∴，
∵CE＝4，DE＝2，
∴，
∴AE＝8，
∴AD＝AE﹣DE＝8﹣2＝6．
【点评】本题考查了角平分线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，证明△ABD∽△AEC是解题的关键．
23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理易求得DE的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出AF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°．
∵∠AFE+∠AFD＝180°，
∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，
AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，
，
∵△ADF∽△DEC，
∴，
即，
∴．
【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质．
24．（14分）已知一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，C两点．
（1）求出A，C两点的坐标；
（2）在x轴上找出点B，使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP＝m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）令直线的解析式中y＝0可得出A的坐标，令x＝0，可得出C的坐标．
（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点．那么根据射影定理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式．
（3）本题可分两种情况进行求解：①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB．可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值．
【解答】解：（1）在一次函数中，当x＝0时，y＝﹣12；
当y＝0时，x＝﹣16，即A（﹣16，0），C（0，﹣12）
（2）过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求．
则OC2＝OA OB，此时OB＝9，可求得B（9，0）；
此时经过A、B、C三点的抛物线的解析式为yx2x﹣12
（3）当PQ∥BC时，如图（1），△APQ∽△ACB；则有：
，即，
解得m．
当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB；有：
，即，
解得m．
【点评】本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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