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专题1.1.3认识三角形九大题型（一课一讲）
（第3课时 三角形的三条重要线段）
1.中线的相关概念
定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
性质：①三条中线交于一点，称为重心（几何中心）；②重心将每条中线分为2:1的比例（顶点到重心占2份，重心到中点占1份）；③中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。
2.高的相关概念
定义：从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。
性质：①三条高线交于一点，称为垂心；②锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心为直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形外部。
3.角平分线的相关概念
定义：将一个内角分成两个相等角的线段，延伸至对边。
性质：①三条角平分线交于一点，称为内心（内切圆圆心）；②内心到三边的距离相等（等于内切圆半径）。
注意：三角形角平分线和中线的交点一定在三角形内部，但是三角形高的交点可能在三角形内部（锐角三角形），可能在三角形外部（钝角三角形），也可能在三角形顶点上（直角三角形）
题型一：三角形的高、中线、角平分线的相关概念
【例题1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
B．三角形的三个内角中，至少有一个锐角
C．三角形的三条高不一定都在三角形内部
D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
【答案】C
【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形的中线，三角形的高等知识，根据三角形的中线，高，角平分线的定义以及性质即可判断．
【详解】解：A、三角形的高不一定在三角形内，A选项错误，不符合题意；
B、根据三角形内角和定理，三角形的三个内角中，至少有两个锐角，B选项错误，不符合题意；
C、三角形的三条高不一定都在三角形内部，C选项正确，符合题意．
D、三角形的高，角平分线，中线都是线段，D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列说法：
①任意三角形的内角和都是；
②等腰三角形是特殊的等边三角形；
③三角形的中线、角平分线和高线都是线段；
④三角形的三条高线必在三角形内，
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的高、中线、角平分线的概念；三角形的内角和定理；三角形的分类．分别根据三角形外角的性质、三角形的分类及三角形的内角和定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：任意三角形的内角和都是，故①正确；
等边三角形是特殊的等腰三角形，故②错误；
三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故③正确；
只有锐角三角形的三条高线在三角形内，故④错误；
故选：B．
【变式训练1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（ ）
A．线段是的角平分线
B．线段是中边上的高
C．线段是中边上的中线
D．线段是的角平分线
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念．根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【详解】解：A、由，根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误；
B、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故本选项正确；
C、根据三角形的中线的概念，知是中上的中线，故本选项错误；
D、根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故本选项错误．
故选：B．
【变式训练1-3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点
【答案】A
【分析】本题考查三角形的中线、高线和角平分线，熟练掌握定义是解题关键．根据三角形中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可得答案．
【详解】A、三角形的角平分线都在三角形的内部故该选项正确；
B、直角三角形有三条高，故该选项错误；
C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误；
D、三角形的高线所在的直线必交于一点，故该选项错误；
故选：A．
【变式训练1-4】（2025·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线
C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线
【答案】C
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：当与重合时，折痕是的角平分线；
当点A与点B重合时，折叠是的中垂线，
故选：C．
题型二：画三角形的高
【例题2】（24-25八年级上·广西河池·期中）下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高线，熟记概念是解题的关键．
根据过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
【详解】解：的高是过顶点A与垂直的线段，只有D选项符合．
故选：D．
【变式训练2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的高的图形是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
根据三角形高的定义求解即可．
【详解】解：是的高的图形是：
故选：D．
【变式训练2-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据概念逐一判断即可．
【详解】解：A、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
B、图形中，能表示的边上的高，本选项符合题意；
C、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
D、图形中，不能表示的边上的高，本选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练2-3】（23-24七年级上·福建福州·开学考试）作三角形中边上的高．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形高的概念，三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
【详解】解：∵要作中边上的高，
∴根据三角形高的定义，需要从所对的顶点出发，
用三角板的一条直角边与边重合，边需要延长，另一条直角边过点，
然后沿着过点的直角边作直线，这条直线与边的延长线相交于一点，设为点；
∴线段就是中边上的高．
【变式训练2-4】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，为钝角．
(1)画出的高线；
(2)P为边上一点，且P点到直线的距离为线段的长度，请画出P点；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查画三角形的高，点到直线的距离，掌握三角形的高的定义是解题的关键．
（1）分别过点B，C向对边作垂线即可；
（2）过点A作的垂线，与的交点即为点P．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，点P即为所求；
【变式训练2-5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，．
(1)在中，边上的高是________；
(2)在中，边上的高是________；
(3)在中，边上的高是________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查三角形的高的定义．根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可．
【详解】（1）解：在中，边上的高是；
故答案为：；
（2）解：在中，边上的高是；
故答案为：；
（3）解：在中，边上的高是．
故答案为：．
题型三：与三角形高有关的计算
【例题3】（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可.
【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，，
∴
∵设点 到的距离为，
∴
∴，解得：
故选：C.
【变式训练3-1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案.
【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高，
．
，，
．
，
．
．
解得．
点到直线的距离是．
故选：A．
【变式训练3-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：，，，
的面积，
故选：D．
【变式训练3-3】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了三角形高的计算，掌握三角形面积的计算方法是关键．
根据题意得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
，
∴，
故选：A ．
【变式训练3-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为△的中线，为的中线．
(1)作图：在△中作出边上的高；边上的高；
(2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？
【答案】(1)见解析
(2)中边上的高为4
【分析】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
（1）根据高线的定义，画高即可；
（2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，EF、DG即为所求作；
（2）解：为的中线，为的中线，
，
，
的面积为40，，
，
，
即中边上的高为4．
题型四：根据三角形的中线求长度
【例题4】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键．
根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案．
【详解】解：是边上的中点，
，
与的周长之差为2，
，
即，
，
，
，
故选C．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的周长等知识，根据三角形中线的性质得到，求出，再根据三角形的周长即可得出答案．
【详解】解：∵是边上的中线，，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练4-2】（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握中线的定义是解题的关键；根据中线的定义得到，然后根据的周长可得，然后计算的周长即可．
【详解】解：∵为的中线，
∴，
又∵的周长为，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【变式训练4-3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得，再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴的周长的周长，
故答案为：．
【变式训练4-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中边上的中线把的周长分成30和20两部分，则的长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查与三角形的中线有关的计算，根据中线的定义得到，根据，得到，根据把的周长分成30和20两部分，进行求解即可．
【详解】解：∵为中线，
∴，
∵，
∴，
∵中线把的周长分成30和20两部分，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：14．
【变式训练4-5】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是的中线，点是的中点，，，垂足分别为，．若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形面积计算，根据三角形中线的定义得到，再利用等面积法求出，则．
【详解】解：∵点是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
故答案为：．
题型五：根据三角形的中线求面积
【例题5】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴．
故选：A．
【变式训练5-1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知D、E分别为的边的中点，为的中线，连接，若，则四边形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线等分面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的中线等分面积得到，，再由四边形的面积求解即可．
【详解】解：连接，
∵为的中线，
∴为中点，
∴，
∴，
∵D为的边的中点，
∴，
∴四边形的面积为：，
故选：C．
【变式训练5-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（ ）
A．6 B．5 C． D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质可得，，相加可得结果．
【详解】解：∵点、、、分别是、、、的中点，
是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，
，
同理可得：，
四边形的面积为：．
故选：A．
【变式训练5-3】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键．
根据D是的中点，得到，由点是的中点，得到，再由即可求解．
【详解】解：∵，D是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练5-4】（2023八年级上·广东中山·竞赛）如图，在中，已知点D，E分别为的中点，，且的面积为12，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形中线的性质．掌握中线能够把三角形的面积等分是解题的关键．
由点D是的中点，可得，由E是的中点，得出，，得，再利用，即可求出．
【详解】∵点D是的中点，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式训练5-5】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分．
连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解．
【详解】解：连接，
点D、E、F分别是线段、、的中点，
，，，
，
∴，
的面积为10，
，
故答案为：．
题型六：根据三角形的三条重要线段判断结论
【例题6】（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断．
【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线，
，，．
结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意；
故选C．
【变式训练6-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高的知识点，熟练掌握三角形中线、高、角平分线的性质是解题的关键.根据三角形角平分线、中线和高的定义进行分析即可.
【详解】解：选项A：是中线，点是中点，，选项A正确，不符合题意.
选项B：的边上的高为，根据三角形面积公式可得，选项B正确，不符合题意.
选项C：的角平分线为，，选项C错误，符合题意.
选项D：的底边为的一半，二者高相等，根据三角形面积公式可得，选项D正确，不符合题意.
故答案为：C ．
【变式训练6-2】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的角平分线
C． D．是的高
【答案】C
【分析】本题考查三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．利用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到，但没有办法得到，可判断出C选项错误；由三角形的高线的定义，可判断D．
【详解】解：∵，即点E为中点，
∴是的中线，故A正确，不符合题意；
∵平分，
∴是的角平分线，故B正确，不符合题意；
∵平分，
∴．
∵，，
∴，故C错误，符合题意；
∵，即，
∴是的高，故D正确，不符合题意．
故选C．
【变式训练6-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可．
【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线，
∴，，，，不一定相等，
故选项A，B，C正确，选项D错误．
故选：D．
【变式训练6-4】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，是边上高，是的角平分线，是边上的中线，以下等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、中线的定义，熟练掌握这些线段的定义是解题的关键．依据三角形的高、角平分线、中线的定义，对每个选项进行分析判断．
【详解】解：选项A：
∵ 是边上的高，只有当时，，题中未提及，
∴ 与不一定相等，A选项错误．
选项B：
∵ 是的角平分线，根据角平分线定义，角平分线将一个角分成两个相等的角，
∴ ，B选项正确．
选项C：
∵ 是边上的中线，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，与角的平分无关，
∴ 与不一定相等，C选项错误．
选项D：
∵ 是角平分线分出的角，是高与边形成的角，无必然相等关系（除非满足特殊条件，题中未给出 ），
∴ 与不一定相等，D选项错误．
故选： ．
【变式训练6-5】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，根据各自的定义一一判定即可．
【详解】解：∵是中线，
∴，故A选项正确，
∵是的高，
∴，故B选项正确，
∵是角平分线，
∴，故D选项正确，
∵是中线，不是角平分线，
∴无法得出，故C选项无法得出，
故选：C
题型七：三角形中三条重要线段之多结论问题
【例题7】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）
①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤．
A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算，同时还考查了等积法．
解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用．
【详解】①是的中线，
，
的周长，
的周长，
的周长的周长，
故①说法正确；
②在中，，
，
，
，
又，，，是角平分线，
，
，
故②说法不正确；
③，是的高，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
故③说法正确；
④，是的高，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
故④说法正确；
⑤，，，，是的高，
，
，
，
故⑤说法错误．
①③④说法正确．
故选：D．
【变式训练7-1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥．
【详解】解：是的中线，
，
故④正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定，
与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意；
∵，是高，
∴
∴，故⑥正确
综上，符合题意的有4个，
故选：C
【变式训练7-2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线，灵活运用三角形的中线、高、角平分线的性质是解决本题的关键．根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度．
【详解】解： 是的中线
的面积等于的面积
故正确；
，是的高
，
是的角平分线
又
故正确；
故正确；
故错误；
故选：C
【变式训练7-3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度，从而可得答案．
【详解】解： 是的中线，
，
的面积等于的面积，
故正确；
，是的高，
∴ ，，
是的角平分线，
∴ ，
，
又 ，
，
故正确；
，
，
，
故正确；
∵，
，
故错误；
故选：C
【变式训练7-4】（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，故①正确；
∵是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
根据已知条件无法证明，故④错误，
综上所述，正确的是①②③．
故选：C．
【变式训练7-5】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：
①；②；③；④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】②③④
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断②；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断④；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断①．
【详解】解：是的中线，
，
故②正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
故④正确，符合题意；
，，
∴
，
故③正确，符合题意；
过点F作于点P，
∵，是角平分线，
∴，
在中，，
∴，
故①错误，不符合题意；
故答案为：②③④
题型八：三条重要线段解答题综合（基础题）
【例题8】（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，已知分别是的高和中线，．求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键：
（1）等积法求出的长即可；
（2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可；
（3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，是的高，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，是的中线，
∴；
（3）∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差为．
【变式训练8-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是的角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若D是的中点，的面积为27，，求的长．
【答案】(1)
(2)9
【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、线段的中点定义、三角形的面积，理解角平分线和中点定义是解答的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）根据线段中点定义求得，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：∵D是的中点，，
∴，
∵，的面积为27，
∴，
解得．
【变式训练8-2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点．
(1)若的周长为．求的周长；
(2)在（1）的情况下，若，求点到的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线和高线．
（1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：是的中点
．
（2）解：过作于，如图：
点到的距离为．
【变式训练8-3】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若是中线，，，则与的周长差为_____；
(2)若，是角平分线，求_____；
(3)若，是高，求的度数．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键；
（1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算；
（2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算；
（3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算．
【详解】（1）解：是的中线，
，
，，
与的周长差为：，
故答案为：2；
（2）解：，
，
是的角平分线，是角平分线，
，，
，
，
故答案为：；
（3）解：是高，
，
，
，
平分，
，
在中，．
【变式训练8-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．
（1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到；
（2）利用等面积法计算的长．
【详解】（1）证明：平分，
，
是的高，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
即的长度为．
题型九：三条重要线段解答题综合（压轴题）
【例题9】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，．
(1)已知，．
① ；
②若，则 ；
(2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系．
【答案】(1)①；②
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用；
（1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案；
②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案；
（2）由等面积法可得，结合可得答案；
【详解】（1）解：①∵，，
∴；
∵，，
∴，
∴；
②∵，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：，理由见解析；
∵，，，
∴，，，
∵，
∴,
∴.
【变式训练9-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，
(1)如图1，若，分别是的高，求证：；
(2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）；
(3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了高线的性质，角平分线的性质以及中线的性质，需熟练掌握三角形的内角和，得到是解决本题的关键．
（1）根据，分别是的高由此可得垂直，即可得直角，再根据等量代换求解即可．
（2）先由角平分线的性质求出，再根据三角形内角和即可求解．
（3）根据中线的性质，由面积的关系可得，再根据面积可得由此可得．
【详解】（1）证明：∵，分别是的高，
∴，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，分别是的角平分线，
∴，，
∴
，
∴
．
（3）证明：∵D是的中点，
∴，，
∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练9-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）．
(1)直接写出的面积为_______．
(2)用含的代数式表示的长．
(3)当时，求的值．
(4)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，数形结合是解题的关键；
（1）根据三角形的面积公式即可求解；
（2）分在上，分别表示出的长，即可求解；
（3）根据，则在上，代入（2）的式子，即可求解；
（4）根据得出，进而分在上，分别列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：．
（2）∵，点是边的中点，
∴，
∵点速度为每秒2个单位长度，
当时，在上，，
当时，在上，，
∴；
（3）解：∵，
∴，则在上，
∴，
解得：；
（4）解：∵，点是边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
当在上时，，
解得：，
∴，
当在上时，∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：.
【变式训练9-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若是中线，，，则与的周长差为 ；
(2)若是高，，求的度数；
(3)若是角平分线，，求的度数．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，中线和高，理解三角形的角平分线，中线和高的定义，灵活运用三角形的内角和定理及外角性质进行角的计算是解决问题的关键．
（1）根据的周长为：，的周长为：，可得与的周长差为：，再根据中线定义得，以及，即可得出答案；
（2）根据是的平分线得，再根据是的高得，再由三角形外角性质得，据此即可得出答案；
（3）根据得，再根据角平分线定义得，然后再由三角形内角和定理即可得出的度数．
【详解】（1）解：的周长为：，
的周长为：，
与的周长差为：，
是的中线，
，
又，，
，
即与的周长差为：1．
故答案为：1．
（2）解：是的平分线，，
，
是的高，
，
；
（3）解：在中，，
，
是的平分线，是平分线，
，，
，
．
【变式训练9-4】（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点．
（1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________
②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E
①若，，则___________
②请写出于之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示）
【答案】（1）①A；见解析；（2）①25；，见解析；（3）
【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键．
（1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解；
（2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解；
（3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解．
【详解】解：（1）①A；
②如图，即为所求．
（2）①中，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：25；
②与之间的数量关系为，
理由如下：
，
，
,
．
（3）如图，连接，
N是中点，
设，
，
，
，
，
解得．
故答案为：．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1.3认识三角形九大题型（一课一讲）
（第3课时 三角形的三条重要线段）
1.中线的相关概念
定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
性质：①三条中线交于一点，称为重心（几何中心）；②重心将每条中线分为2:1的比例（顶点到重心占2份，重心到中点占1份）；③中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。
2.高的相关概念
定义：从一个顶点垂直于对边（或其延长线）的线段。
性质：①三条高线交于一点，称为垂心；②锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心为直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形外部。
3.角平分线的相关概念
定义：将一个内角分成两个相等角的线段，延伸至对边。
性质：①三条角平分线交于一点，称为内心（内切圆圆心）；②内心到三边的距离相等（等于内切圆半径）。
注意：三角形角平分线和中线的交点一定在三角形内部，但是三角形高的交点可能在三角形内部（锐角三角形），可能在三角形外部（钝角三角形），也可能在三角形顶点上（直角三角形）
题型一：三角形的高、中线、角平分线的相关概念
【例题1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内
B．三角形的三个内角中，至少有一个锐角
C．三角形的三条高不一定都在三角形内部
D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段
【变式训练1-1】（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列说法：
①任意三角形的内角和都是；
②等腰三角形是特殊的等边三角形；
③三角形的中线、角平分线和高线都是线段；
④三角形的三条高线必在三角形内，
其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【变式训练1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，为的中点，连接并延长交于点E．过点C作于点H，交于点F．下列说法正确的是（ ）
A．线段是的角平分线
B．线段是中边上的高
C．线段是中边上的中线
D．线段是的角平分线
【变式训练1-3】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高
C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点
【变式训练1-4】（2025·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线
C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线
题型二：画三角形的高
【例题2】（24-25八年级上·广西河池·期中）下列各组图形中，是的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是的高的图形是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3】（23-24七年级上·福建福州·开学考试）作三角形中边上的高．
【变式训练2-4】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，为钝角．
(1)画出的高线；
(2)P为边上一点，且P点到直线的距离为线段的长度，请画出P点；
【变式训练2-5】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，．
(1)在中，边上的高是________；
(2)在中，边上的高是________；
(3)在中，边上的高是________．
题型三：与三角形高有关的计算
【例题3】（24-25七年级下·湖南永州·期末）在中，，，，，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在四边形中，，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为△的中线，为的中线．
(1)作图：在△中作出边上的高；边上的高；
(2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？
题型四：根据三角形的中线求长度
【例题4】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练4-1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的周长为，是边上的中线，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】（24-25七年级下·北京·期末）如图，为的中线，，，的周长为，则 的周长为 ．
【变式训练4-3】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ．
【变式训练4-4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中边上的中线把的周长分成30和20两部分，则的长为 ．
【变式训练4-5】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是的中线，点是的中点，，，垂足分别为，．若，，，则的长为 ．
题型五：根据三角形的中线求面积
【例题5】（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式训练5-1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知D、E分别为的边的中点，为的中线，连接，若，则四边形的面积为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【变式训练5-2】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（ ）
A．6 B．5 C． D．4
【变式训练5-3】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式训练5-4】（2023八年级上·广东中山·竞赛）如图，在中，已知点D，E分别为的中点，，且的面积为12，则的面积为 ．
【变式训练5-5】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ．
题型六：根据三角形的三条重要线段判断结论
【例题6】（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．下列说法中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】（24-25八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，在中，，D，E是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是（ ）
A．是的中线 B．是的角平分线
C． D．是的高
【变式训练6-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-4】（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，是边上高，是的角平分线，是边上的中线，以下等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-5】（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
题型七：三角形中三条重要线段之多结论问题
【例题7】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（ ）
①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤．
A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④
【变式训练7-1】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练7-2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①；②；③；④．其中结论正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【变式训练7-3】（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④，以上说法正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练7-4】（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①：②；③；④．正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④
【变式训练7-5】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：
①；②；③；④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
题型八：三条重要线段解答题综合（基础题）
【例题8】（24-25八年级上·山西忻州·期末）如图，已知分别是的高和中线，．求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
【变式训练8-1】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，是的角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若D是的中点，的面积为27，，求的长．
【变式训练8-2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点．
(1)若的周长为．求的周长；
(2)在（1）的情况下，若，求点到的距离．
【变式训练8-3】（24-25七年级上·山东东营·期中）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若是中线，，，则与的周长差为_____；
(2)若，是角平分线，求_____；
(3)若，是高，求的度数．
【变式训练8-4】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长度．
题型九：三条重要线段解答题综合（压轴题）
【例题9】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，．
(1)已知，．
① ；
②若，则 ；
(2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系．
【变式训练9-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，
(1)如图1，若，分别是的高，求证：；
(2)如图2，若，分别是的角平分线，与交于点O，，求的度数（用的代数式表示）；
(3)我们知道，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．如图3，若D，E，F分别是三边，，的中点，线段，，相交于点O，求证：．
【变式训练9-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）．
(1)直接写出的面积为_______．
(2)用含的代数式表示的长．
(3)当时，求的值．
(4)当时，求的值．
【变式训练9-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若是中线，，，则与的周长差为 ；
(2)若是高，，求的度数；
(3)若是角平分线，，求的度数．
【变式训练9-4】（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点．
（1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________
②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹）
【综合应用】
（2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E
①若，，则___________
②请写出于之间的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示）
