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专题1.1.2认识三角形八大题型（一课一讲）
（第2课时 三角形内角和定理）
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°
题型一：与平行线有关的内角和问题
【例题1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，直线，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，，于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线，平分．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-6】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ．
题型二：与角平分线有关的内角和问题
【例题2】（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，和的平分线交于，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（ ）
A．115° B．120° C．125° D．130°
【变式训练2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，已知点是的内角平分线的交点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-5】（23-24七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则 ．
题型三：与三角板有关的内角和问题
【例题3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是( )
A．1 B． C． D．
【变式训练3-5】（2024·山东青岛·三模）把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
题型四：三角形内角和的实际应用
【例题4】（23-24七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（ ）
备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·陕西·期末）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】（2025·吉林长春·三模）自行车尾灯内部的角反射器由许多垂直的平面镜组成（如图①），其工作原理如图②所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-5】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ．
【变式训练4-6】（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ．
题型五：三角形内角和定理的证明
【例题5】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论．
如图，已知是的内角，求证：．
小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：
小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作；
请你认真阅读思考并完成如下问题：
(1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．
(2)在图2中，求证：．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·全国·期中）分别测量如图所示的和的内角．
(1)你发现了什么？
(2)你有何猜想？
(3)通过什么途径说明你的猜想？
【变式训练5-3】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧．
【变式训练5-4】（24-25八年级上·江西上饶·期末）一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于
【定理证明】
（1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程；
【定理应用】
（2）如图2，若，，，求的度数．
【变式训练5-5】（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾
在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理．
已知：如图1，．
求证：．
下面是小明与小颖的想法．
小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据．
证明：过点A作直线，则
，（______）
，（平角的定义）
．（______）
小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由．
【变式训练5-6】（24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，，求证：
方法一
方法二
题型六：三角形内角和定理的应用
【例题6】（25-26七年级上·河北石家庄·开学考试）是一个三角形的三个内角，且，那么这个三角形一定是（ ）三角形．
A．钝角 B．直角 C．锐角
【变式训练6-1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】（25-26八年级上·全国·周测）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】（2025·浙江衢州·三模）已知三角形的一个内角是，另两个内角的度数比为，则最大内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知的内角分别为，下列不能判定是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
题型七：三角形中折叠问题
【例题7】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型八：三角形内角和的综合应用（解答题）
【例题8】如图，在中，，．
(1)求的度数；
(2)平分交于，于点，求的度数．
【变式训练8-1】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点， ，．
(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若，，求的度数．
【变式训练8-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，连接，，，交于点，且平分．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若，，求的度数．
【变式训练8-3】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，且，，求的度数．
【变式训练8-4】（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接．
(1)求的度数．
(2)若，求证：．
【变式训练8-5】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，．
(1)求证：；
(2)若比大．求的度数．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.1.2认识三角形八大题型（一课一讲）
（第2课时 三角形内角和定理）
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°
题型一：与平行线有关的内角和问题
【例题1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴
故选：D．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，直线，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可．
【详解】解：如下图：
，，
，
，
，
，
故选：D．
【变式训练1-2】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知直线，直线分别与直线、交于点、，交直线于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线,三角形的内角和定理等知识点，由垂直的定义得，可得，由平行线的性质推出，熟练掌握平行线的性质，垂线,三角形的内角和的综合应用是解决此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图，，于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设交于点，交于点，由题意可得三角形是直角三角形，根据想内角和定理得出，根据平行线的性质以及对顶角相等即可求解．
【详解】如图，设交于点，交于点，
由题意可得三角形是直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴
故选：B
【变式训练1-5】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，直线，平分．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解．
【详解】解：如图，
∵平分．，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【变式训练1-6】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，直线，，，则的度数为 ．
【答案】/102度
【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质求出相关角的度数，再结合三角形内角和为求出的度数．
【详解】
如图：
故答案为：．
题型二：与角平分线有关的内角和问题
【例题2】（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合角平分线的定义，即可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
，
又平分，
．
故选：B．
【变式训练2-1】（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，和的平分线交于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的定义，牢记三角形内角和是，掌握相关知识是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数．
【详解】解：在中，，
，
平分，平分，
，，
．
在中，，
．
故选：C．
【变式训练2-2】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（ ）
A．115° B．120° C．125° D．130°
【答案】A
【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【详解】解：，
，
又、是的角平分线，
，
．
故选：A．
【变式训练2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义，求得各角的度数是正确解答本题的关键．
由已知条件先得出的度数，由的平分线交于，得到的度数，然后利用三角形的内角和即可求得答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分交于，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练2-4】（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，已知点是的内角平分线的交点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、角平分线定义等知识，熟记角平分线定义及三角形内角和定理是解决问题的关键．先由角平分线定义得到，，在中，由三角形内角和定理可得，从而得到，在中，再由三角形内角和定理求解即可得到答案．
【详解】解：平分、平分，
，，
在中，，则由三角形内角和定理可得，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故选：D．
【变式训练2-5】（23-24七年级下·山东·期末）如图，在中，，，分别为边，上两点，且是的角平分线．若，，则 ．
【答案】48
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及平行线的性质，牢记“三角形内角和是”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由，再利用“两直线平行，内错角相等”，即可求出的度数．
【详解】解：，，，
．，
是的角平分线，
．
在中，，，
，
故答案为：48．
题型三：与三角板有关的内角和问题
【例题3】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式训练3-1】（2025·安徽滁州·三模）两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键
【详解】解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式训练3-2】（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【变式训练3-3】（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵
∴
∵
∴
∴．
故选：C．
【变式训练3-4】（2024·浙江台州·二模）将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是( )
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故选：C．
【变式训练3-5】（2024·山东青岛·三模）把直角三角板和长方形纸片按如图方式摆放，使直角顶点在纸片边缘上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的公理及性质、三年级内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．
过点作，则，根据平行线的性质得出，再根据三角形内角和得出、，再根据角的和差得出，最后根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：过点作，则
，，，
，
故选C．
题型四：三角形内角和的实际应用
【例题4】（23-24七年级下·山东烟台·期末）指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果．
【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
【变式训练4-1】（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（ ）
备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，根据反射角等于入射角，即得．
【详解】解：∵，
∴，
∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，
∴，
故选：C．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·陕西·期末）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，利用两直线平行，内错角相等得到，求解，再进一步求解即可得到答案．
本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等 ）以及三角形内角和定理（三角形内角和为 ），熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键．
【详解】解：如图所示：
，，
，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【变式训练4-3】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是由以上知识点推出．
延长交于，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到，求出，由三角形内角和定理求出，由，得到，即可得到答案．
【详解】解：延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
，
当时，
，
，
不可能取到的度数为．
故选：B．
【变式训练4-4】（2025·吉林长春·三模）自行车尾灯内部的角反射器由许多垂直的平面镜组成（如图①），其工作原理如图②所示，平面镜，当光线射向镜面时，经过两次反射后，光线沿平行于的方向射出．若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，由题意可得，，结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练4-5】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用；
根据，得，再，即可求解；
【详解】解：∵，如图；
∴
∵，
∴
∴
故答案为： .
【变式训练4-6】（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ．
【答案】/110度
【分析】通过作辅助线 ，利用平行线的传递性得到 ，再结合平行线的性质和已知垂直条件，求出的度数．本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，内错角相等；平行线间的传递性等 ）是解题的关键．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
，
，
，即，
故答案为：．
题型五：三角形内角和定理的证明
【例题5】（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可．
【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意
B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意．
C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意
D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意．
故选B．
【变式训练5-1】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论．
如图，已知是的内角，求证：．
小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法：
小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作；
请你认真阅读思考并完成如下问题：
(1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．
(2)在图2中，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明：
（1）利用平行线的性质即可证明；
（2）利用平行线的性质即可证明．
【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明
，
，
，
；
选择小颖的作图进行证明：
，
，
，
；
选择小红的作图进行证明：
，
，
，
；
（2）证明：
，
，
即．
【变式训练5-2】（24-25八年级上·全国·期中）分别测量如图所示的和的内角．
(1)你发现了什么？
(2)你有何猜想？
(3)通过什么途径说明你的猜想？
【答案】(1)两个三角形的内角和都等于180度
(2)任意三角形的内角和等于
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）经过测量角度，计算内角和即可得出结论；
（2）由（1）中的测量计算结果即可得到结论；
（3）过点A作直线，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：通过测量可知：两个三角形的内角和都等于180度；
（2）解：猜想：任意三角形的内角和等于；
（3）解：过点A作直线，
∴，
∵，
∴．
即三角形的内角和是．
【变式训练5-3】（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）在学习了“三角形的内角和等于180°”的知识后，老师让同学们用不同的方法说明这个结论是正确的．聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．请你帮他完成解题过程吧．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．由平行线的性质得出，，，，等量代换可得出，再根据平角的定义得出，等量代换可得出．
【详解】证明：在的边上任取一点E，过点E作交于点D，作交于点F．
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴,
∵，
∴．
【变式训练5-4】（24-25八年级上·江西上饶·期末）一次数学综合实践活动课上，老师提出了一个问题：如何证明三角形内角和等于
【定理证明】
（1）小红的证明思路是：如图1，在中，过点A作，再利用平行线的相关知识来证明：．请按照小红同学的思路继续完成证明过程；
【定理应用】
（2）如图2，若，，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明及三角形外角的性质．
（1）根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可证明结论；
（2）延长交于E，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
；
（2）解：如图，延长交于E，
由三角形的外角性质得，，
∴，
∵，，
∴．
【变式训练5-5】（24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾
在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理．
已知：如图1，．
求证：．
下面是小明与小颖的想法．
小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据．
证明：过点A作直线，则
，（______）
，（平角的定义）
．（______）
小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由．
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；可行，过程见解析
【分析】本题考查三角形内角和的证明，平行线的性质与判定；小明的想法逐步分析前后步骤之间的关系，再填上理由即可；小颖的想法由可得，即可得到，等量代换以后得到．
【详解】解：小明的想法证明过程如下：
证明：过点A作直线，则
，（两直线平行，内错角相等）
，（平角的定义）
．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换；
小颖的想法可行．
证明：如图，作，
∴，
，
即，
．
【变式训练5-6】（24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，，求证：
方法一
方法二
【答案】见解析
【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键．
方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论；
方法二：过点C作，利用平行线的性质得到，即可求解．
【详解】证明：方法一：过点A作．
∵，
∴，．
∵，
∴，
即；
方法二：过点C作．
∵，
∴，，
∴，即．
题型六：三角形内角和定理的应用
【例题6】（25-26七年级上·河北石家庄·开学考试）是一个三角形的三个内角，且，那么这个三角形一定是（ ）三角形．
A．钝角 B．直角 C．锐角
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理及三角形的分类．解题的关键是利用三角形内角和为，结合已知角的关系求出最大角的度数，进而判断三角形类型．
根据三角形内角和定理可知；结合已知，通过等量代换求出，从而确定三角形为直角三角形．
【详解】解：∵三角形三个内角的和为，
∴．
又∵，
∴，即．
解得．
∴这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
【变式训练6-1】（24-25七年级下·重庆·期中）下列不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角形内角和为，结合各选项条件，判断是否有角为，进而确定能否判定是直角三角形．本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和为 ，并通过设未知数建立方程求解角的度数是解题的关键．
【详解】解：
，能判定是直角三角形．故A项正确，不符合题意；
，且
，即，能判定是直角三角形．故B项正确，不符合题意；
设，则，
，
解得，三个角都不是，不能判定是直角三角形．故C项错误，符合题意；
设，则，
，即，
，能判定是直角三角形．故D项正确，不符合题意；
故选：．
【变式训练6-2】（25-26八年级上·全国·周测）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理及代数方程的解法。
根据题意建立方程，结合三角形内角和为求解.
【详解】∵在△ABC中，，整理得：.
又∵三角形内角和为，即：.
将代入上式，得：，
即，解得.
故选：B.
【变式训练6-3】（2025·浙江衢州·三模）已知三角形的一个内角是，另两个内角的度数比为，则最大内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
先求出另两个内角的度数之和，再由另两个内角的度数比，可求出另两个内角的度数，即可求解．
【详解】解：∵三角形的一个内角是，
∴另两个内角的度数之和为，
∵另两个内角的度数比为，
∴另两个内角的度数分别为，，
∴最大内角的度数是．
故选：B．
【变式训练6-4】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知的内角分别为，下列不能判定是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形内角和定理，熟记三角形内角和为180度并应用是解题的关键．
根据三角形的内角和定理，结合各角的关系求出它们的度数，即可解答．
【详解】解：A、∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴不是直角三角形．
B、∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴是直角三角形．
C、∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
D、∵，
∴设，，，
∵，
∴，
解得，
∴，，，
∴是直角三角形．
故选：A
题型七：三角形中折叠问题
【例题7】（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，把折叠，使A，B两点重合，得到折痕，再沿折叠，点C恰好与点D重合，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌握翻折变换的性质．如图，运用翻折变换的性质证明；进而证明，即可解决问题．
【详解】解：由折叠可得：，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：C．
【变式训练7-1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解．
【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,
故选：C．
【变式训练7-2】（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【变式训练7-3】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
∴．
在中，，，
∴．
故选：．
题型八：三角形内角和的综合应用（解答题）
【例题8】如图，在中，，．
(1)求的度数；
(2)平分交于，于点，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的性质等知识.
（1）根据三角形的内角和定理即可求解；
（2）根据角平分线可得，由垂直可得是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
∴；
（2）解：，平分，
∴，
∵，即，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【变式训练8-1】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点， ，．
(1)与有怎样的位置关系？请说明理由；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)平行，理由见解析；
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据同位角相等，两直线平行，即可判定；
（2）由，可得，，接着证明，得到，然后在中，求得，最后求得的度数，利用对顶角相等，即可得到答案．
【详解】（1）解：平行，理由如下：
，
；
（2）解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式训练8-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，，连接，，，交于点，且平分．
(1)与相等吗？为什么？
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线定义、三角形内角和定理的应用．
()利用平行线的性质找到内错角关系结合角平分线定义推导角相等；通过三角形外角定理建立等量关系；
()结合垂直条件确定直角三角形，利用内错角相等求出相关角，再通过角平分线定义和第()题结论计算目标角．
【详解】（1）解：与相等
理由：
∵，
∴，
又∵平分，
∴.
∴
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
由()知，
∴．
【变式训练8-3】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且．
(1)试判断和的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，且，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
（1）先证出，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得；
（2）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
由（1）已得：，
∴．
【变式训练8-4】（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接．
(1)求的度数．
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）由三角形的外角性质可求得，再由角平分线的定义即可求的度数；
（2）结合（1）可求得，利用同位角相等，两直线平行即可判定．
【详解】（1）解：∵，，是的外角，
∴，
∵平分，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练8-5】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，．
(1)求证：；
(2)若比大．求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由平行线的性质与角平分线的定义推出．再由，得到，则．
（2）设，则，．由平行线的性质得到．由角平分线的定义得到，则．进而得到，解方程求得x值，再结合三角形内角和定理进行求解即可得．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，则，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵比大，
∴，
即，
解得．
∴，
∴．
