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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题1.1.1认识三角形七大题型（一课一练）
（第1课时 三角形的定义及三边关系）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．图中以为边的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，图中三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．已知中，，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．已知长度分别为和的两条线段，能和已知的两条线段构成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，小军为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点P，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
7．若是三角形的三边长，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，b，c是的三边长，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
9．如图，将四根长度分别为的木条钉成一个四边形木框，E，F分别是木条的中点，关于①、②两个说法，下列判断正确的是（ ）
①为使其稳定，新增的木条的长度可能是；
②若阴影部分的面积为，则四边形木框的面积为
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错
10．如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A．14 B．16 C．13 D．11
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，根据图形填空．
（1）以为边的三角形是 ；
（2）的三个内角是 ，其中的对边是 ；
（3）以为一个内角的三角形是 ；
（4）图中共有 个三角形．
12．已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形．
13．已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是 ．
14．如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为 ．
15．如图，在四边形中，，，，．若对角线的长是整数，则的长度可能是 ．（写出一个即可）
16．一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ．
17．一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ．
18．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形．
20．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．
(1)按边分类：
三边均不相等的______是不等边三角形；
两条边相等的______是等腰三角形；
三条边相等的______是等边三角形．
(2)按角分类：
都是锐角的______是锐角三角形；
有直角的______是直角三角形；
有钝角的______是钝角三角形．
21．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？
22．已知a，b，c满足．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
23．已知三角形的三边长分别为3、5和m．
(1)若3是该三角形的最短边长，求m的取值范围；
(2)当m为整数时，直接写出三角形周长的最大值和最小值．
24．阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
．
．
．
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知：，求的值；
(2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版
专题1.1.1认识三角形七大题型（一课一练）
（第1课时 三角形的定义及三边关系）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形，
故选：A．
2．图中以为边的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形．
【详解】解：以为边的三角形有，共3个，
故选：C．
3．如图，图中三角形的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的个数．
找出图中所有的三角形，即可得三角形的个数．
【详解】解：图中的三角形有：，，，，，
∴图中共有个三角形，
故选：．
4．已知中，，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的分类，设，则，，根据三角形的内角和是180度分别求出各个角的度数即可判断三角形的种类．
【详解】解：∵
∴设，则，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，，
则这个三角形是是钝角三角形，
故选：C
5．已知长度分别为和的两条线段，能和已知的两条线段构成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用．设构成三角形的第三条边长为，根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求解出第三边长的取值范围．
【详解】解：设构成三角形的第三条边长为，
则，即，
∴第三条线段长可以是，
故选：B．
6．如图，小军为了估计池塘两岸间的距离（即的长），在池塘的一侧选取一点P，测得，，则池塘两岸间的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了构成三角形三边的条件，熟练掌握构成三角形三边的条件是解决本题的关键．
根据构成三角形三边的条件，即“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”由此得到的范围求解即可．
【详解】解：根据构成三角形三边的条件可知，
∵，，
∴，
即，
根据选项可知，只有D选项符合条件，即池塘两岸间的距离可能是
故选：D ．
7．若是三角形的三边长，则化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键．
【详解】解：由三角形的三边关系得，，，，
∴，，，
∴原式，
故选：．
8．已知a，b，c是的三边长，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系得到，结合，得到，进行判断即可．
【详解】解：∵a，b，c是的三边长，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
9．如图，将四根长度分别为的木条钉成一个四边形木框，E，F分别是木条的中点，关于①、②两个说法，下列判断正确的是（ ）
①为使其稳定，新增的木条的长度可能是；
②若阴影部分的面积为，则四边形木框的面积为
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系及三角形中线的应用，解决本题的关键是熟练掌握三角形的三边关系及三角形中线，根据三角形三边关系及三角形中线的定义求解并判断即可．
【详解】解：①由三角形三边关系可得：，且，
，
新增的木条的长度不可能是，
故①错误；
②E，F分别是木条的中点，
故②正确，
故选：B．
10．如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（ ）
A．14 B．16 C．13 D．11
【答案】C
【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】解：已知、、、，
选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立；
选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为；
故选：C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，根据图形填空．
（1）以为边的三角形是 ；
（2）的三个内角是 ，其中的对边是 ；
（3）以为一个内角的三角形是 ；
（4）图中共有 个三角形．
【答案】 6
【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可．
【详解】解：以为边的三角形是；
的三个内角是；其中的对边是；
以为一个内角的三角形是；
图中共有，个三角形；
故答案为：；；；；；
12．已知的三个内角的比是，其中是大于1的正整数，那么按角分类应是 三角形．
【答案】锐角三角形
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，注意结合方程思想解题，难度适中．设一个角为，则两外两个角为，，，根据三角形的内角和定理可列出方程，从而可得出各角的度数，继而可得出答案．
【详解】解：设一个的度数为，则两外两个角为，，
则：，
解得：，即可得三角分别为，，，
故答案为：锐角三角形．
13．已知等腰三角形的一条边等于，另一条边等于，那么这个三角形的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分是腰长和底边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
是底边时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
周长，
综上所述，这个三角形的周长是．
故答案为：．
14．如果三条线段、、，可组成三角形，且，，是偶数，则的值为 ．
【答案】4或6
【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．解题时还要注意题目的要求，要按题意解题．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：．又因为c为偶数，从而可得答案．
【详解】解：∵如果三条线段、、，可组成三角形，且，，
∴，
又∵c为偶数，
∴c的值为4或6．
故答案为：4或6．
15．如图，在四边形中，，，，．若对角线的长是整数，则的长度可能是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形一边的长大于另两边的差，且小于另两边的和是解题的关键．根据，，求出的取值范围即可解题
【详解】解：在中，，
即，
解得，
在中，，
即，
解得，
∴，
∴的长度可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
16．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据“倍长三角形”的定义求出第三边的长，再根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】解：当第三条边的长是2的2倍时，第三条边的长为4，
2，3，4能组成三角形；
当第三条边的长是3的2倍时，第三条边的长为6，
∵，
∴长为2，3，6的三条线段不能组成三角形，
∴第三条边的长为4，
故答案为：4．
17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为 ．
【答案】3或8
【分析】本题考查三角形三边关系．
分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案．
【详解】解：设三角形第三边的长是x，
由三角形三边关系定理得到，
∴，
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
∵，
∴三角形第三边的长是3或8．
故答案为：3或8．
18．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
若，则（舍）；
若，则，
∴边的长为3，
故答案为：3．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形．
【答案】图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有．
【分析】本题考查三角形的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的定义，即可解答．
【详解】解：由图，可知
图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有．
20．把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．
(1)按边分类：
三边均不相等的______是不等边三角形；
两条边相等的______是等腰三角形；
三条边相等的______是等边三角形．
(2)按角分类：
都是锐角的______是锐角三角形；
有直角的______是直角三角形；
有钝角的______是钝角三角形．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形．
（1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案；
（2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案．
【详解】（1）解：按边分类，由图可知：
三边均不相等的是不等边三角形，
两条边相等的是等腰三角形，
三条边相等的是等边三角形，
故答案为：，，；
（2）解：按角分类，由图可知：
都是锐角的是锐角三角形，
有直角的是直角三角形，
有钝角的是钝角三角形，
故答案为：，，．
21．长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？
【答案】有两种选法，理由见解析
【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断．
【详解】解：有两种选法，理由如下：
根据题意分为四种情况：；；；．
在第一种情况中：，能构成三角形；
在第二种情况中：，不能构成三角形；
在第三种情况中：，不能构成三角形；
在第四种情况中：，能构成三角形；
综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法．
22．已知a，b，c满足．
(1)求a，b，c的值；
(2)试问：以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能构成三角形，周长为：
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，无理数的估算，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
（1）根据非负数的性质可求出a、b、c的值；
（2）先估算出，根据三角形三边关系，再把三角形三边相加即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
解得：，，．
（2）解：，
，
、、能构成三角形，
此时三角形的周长为．
23．已知三角形的三边长分别为3、5和m．
(1)若3是该三角形的最短边长，求m的取值范围；
(2)当m为整数时，直接写出三角形周长的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)11，15
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解此题的关键．
（1）由三角形三边关系可得，再结合3是该三角形的最短边长即可得解；
（2）由（1）可得，，结合m为整数可得的最小值为，的最大值为，再根据周长公式计算即可得解．
【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为3、5和m，
∴，即，
∵3是该三角形的最短边长，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∵m为整数，
∴的最小值为，此时周长最小，为，
的最大值为，此时周长最大，为．
24．阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
．
．
．
．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知：，求的值；
(2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解的应用、负整数指数幂、三角形的三边关系．
（1）直接利用完全平方公式进行因式分解，再根据平方的非负性求出x、y的值即可求解；
（2）利用完全平方公式进行因式分解，再根据平方的非负性求得a、b的值，根据三角形的三边关系可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵的三边长a，b，c都是正整数，
∴，即
∴当时，的周长取最大值，最大值为．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
