中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版
专题1.1.3认识三角形九大题型（一课一练）
（第3课时 三角形的三条重要线段）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形
D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心
2．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
4．已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．的周长等于的周长
6．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．2.4 B．5 C．3 D．4
7．如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
8．如图，已知梯形的上底长15厘米，高的长也是15厘米；三角形和三角形的面积比是，梯形的面积是（ ）平方厘米．
A． B．225 C．300 D．
9．如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．如图，在直角三角形中，，，点P是边上一动点（点P可以与点A，B重合），且．若点M，N分别是，的中点，则的长度为（ ）
A．6.3 B．6.5 C．6.6 D．6.8
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，是的中线，若，则的长为
12．如图，是的中线，，，和的周长差为 ．
13．已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ．
14．如图，是的中线，，，，则的周长比的周长大 （用含的代数式表示）．
15．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为 ．
16．如图所示，长方形的面积为36平方厘米，、、分别为边、、的中点，为边上任意一点，则阴影部分的面积是 平方厘米．
17．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时， ．
18．如图，在中，是边上的高，是的平分线，与交于点H，与交于点G，已知，，则的度数为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？
20．如图，在中，于点，平分交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长．
21．如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接．
(1)求的面积；
(2)求和的周长差．
22．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等．
23．如图①，分别是的边上的高和中线，．
(1)求和的面积．
(2)通过做题，你能发现什么结论？请说明理由．
(3)根据（2）中的结论，解决问题：如图②，是的中线，是的中线，是的中线．若的面积为，求的面积．
24．如图，在中，是高，是的平分线．
(1)若，求：
①的度数；
②的度数．
(2)若，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版
专题1.1.3认识三角形九大题型（一课一练）
（第3课时 三角形的三条重要线段）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的角平分线是射线
B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外
C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形
D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的角平分线、中线和高．根据三角形的角平分线的定义和三角形重心的定义进行判断即可．
【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，所以本选项不符合题意；
B、三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，所以本选项不符合题意；
C、三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，所以本选项不符合题意．
D、三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，所以本选项符合题意；
故选：D．
2．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断．
【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线，
∴，，，故A，B，D正确；
无法证明，故C错误．
故选：C．
3．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（ ）
A．10 B．12 C．14 D．15
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：是△的中线，
，
与的周长差为7，
，
，
，
，
故选：B．
4．已知：如图，分别是和的中线，若的面积是，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的中线，
根据中线的定义可知，进而得出，则此题可解.
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴.
同理，.
故选：A.
5．如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（ ）
A．平分 B．
C． D．的周长等于的周长
【答案】C
【分析】本题考查三角形重心的定义．掌握三角形重心为三边中线的交点是解题关键．根据三角形重心的定义可知为中线，即可选择．
【详解】解：因为的重心为，点在线段上，
所以，故C符合题意；
不一定平分，不一定垂直，只有当时的周长等于的周长，
所以A、B、D都不符合题意．
故选C．
6．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．2.4 B．5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：，，，，
当时，的值最小，
此时：的面积，
，
．
故选：A．
7．如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【分析】本题考查三角形面积公式的应用及等量关系的建立．解题关键在于利用同一三角形面积的不同表达方式建立关于未知边长的等式，从而求解．具体地，根据面积公式：，再代入已知值，即可求解．
【详解】解：，，，
，
，
，
．
故选：A．
8．如图，已知梯形的上底长15厘米，高的长也是15厘米；三角形和三角形的面积比是，梯形的面积是（ ）平方厘米．
A． B．225 C．300 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形面积计算，比的应用，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式．先根据三角形面积公式求出三角形的面积，然后根据比的意义，求出三角形的面积，最后求出梯形的面积即可．
【详解】解：根据题意可知：
，
∵三角形和三角形的面积比是，
∴，
∴．
故选：C．
9．如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义；根据三角形重心的定义，三角形的中线等分面积，得出，再根据等式的性质判断．
【详解】解：∵F是的重心，
∴
∴，
∴；
故选：A．
10．如图，在直角三角形中，，，点P是边上一动点（点P可以与点A，B重合），且．若点M，N分别是，的中点，则的长度为（ ）
A．6.3 B．6.5 C．6.6 D．6.8
【答案】B
【分析】本题考查了垂线段最短，直角三角形的性质，由，得到当P和B重合时，，当时，，由三角形面积公式求出，由线段的中点定义得到．
【详解】解：∵，
∴当P和B重合时，，当时，，
∴边上的高为
∴，
∴，
∵点M，N分别是，的中点，
∴，，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，是的中线，若，则的长为
【答案】4
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
根据中线的性质得到即可得出结果．
【详解】解：是的中线，
，
，
．
故答案为：4．
12．如图，是的中线，，，和的周长差为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
的周长，
的周长，
∵，
∴，
∴和的周长差为，
故答案为：．
13．已知是的中线，若与的周长分别为，，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线的性质，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．证明，进一步计算周长差即可.
【详解】解：如图：
是的中线，
，
∵与的周长分别为，，
①，
②，
得：，
故答案为：9．
14．如图，是的中线，，，，则的周长比的周长大 （用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查列代数式，涉及中线性质，三角形周长等知识，先由中线定义得到，再由三角形周长定义，表示出的周长比的周长差即可得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：是的中线，
，
，，，
，
故答案为：．
15．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分是解题的关键．
先根据三角形的中线的性质求得的面积，再根据三角形中线的性质即可求得的面积．
【详解】解：∵是的中点，的面积为6，
∴的面积为，
∵是边上的中线，
∴的面积等于的面积12．
故答案为：12．
16．如图所示，长方形的面积为36平方厘米，、、分别为边、、的中点，为边上任意一点，则阴影部分的面积是 平方厘米．
【答案】
【分析】此题考查了长方形的性质，以及三角形的中线性质，利用了等量代换及转化的思想，由等底同高得到：三角形的中线将三角形分成的两三角形面积相等，熟练运用此性质是解本题的关键．
连接，，由为的中点，得到，再由长方形的性质得到与垂直，可利用等底同高得到三角形与三角形面积相等，同理得到三角形与三角形面积相等，三角形与三角形面积相等，而这六个三角形面积之和为长方形的面积，等量代换可得出阴影部分为其中的三个不同的三角形面积之和，为长方形面积的一半，求出即可．
【详解】解：连接，，如图所示：
为的中点，
，
，
同理得到，，
，
．
故答案为．
17．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．当，，时， ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的新定义题目，根据计算得出的长，再由计算即可得解，理解新定义是解此题的关键．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
18．如图，在中，是边上的高，是的平分线，与交于点H，与交于点G，已知，，则的度数为 ．
【答案】/5度
【分析】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出，然后由角平分线得到，然后求出，进而求解即可．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴
∵
∴
∵是的平分线
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在中，与相交于点F，试指出分别是哪两个三角形的角平分线？分别是哪两个三角形的中线？是哪些三角形的高？
【答案】分别是的角平分线．分别是的中线．是的高．
【分析】此题考查三角形的角平分线、高和中线的定义，关键是理解三角形的高、角平分线和中线的定义解答．利用三角形的高、角平分线和中线的定义解答即可．
【详解】解：由可知，
分别是的角平分线；
由可知，
分别是的中线；
由可知，
是的高．
20．如图，在中，于点，平分交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，进而求出；
（2）根据三角形的中线的性质得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
平分，
，
；
（2）解：是的中线，
，
，
，
的周长比周长小，
，
，
，
．
21．如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接．
(1)求的面积；
(2)求和的周长差．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】本题考查了三角形的中线性质与面积公式（）的应用，解题关键是灵活运用中线对面积的分割作用及周长差的化简逻辑．
（1）先利用三角形面积公式结合为高求出的面积，再根据F是中点，由中线分三角形面积的性质得到的面积；
（2）先通过为高结合面积求出的长度，再根据F是中点得到，进而分析和的周长差．
【详解】（1）解：是的高，
F为的中点，是的中线，
；
（2）解： 是的高，
，即，
解得．
F是的中点，
，
又是公共边，的周长为，的周长为，
和的周长差为．
22．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求；
（2）根据等高模型解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，点或（）即为所求，
．
23．如图①，分别是的边上的高和中线，．
(1)求和的面积．
(2)通过做题，你能发现什么结论？请说明理由．
(3)根据（2）中的结论，解决问题：如图②，是的中线，是的中线，是的中线．若的面积为，求的面积．
【答案】(1)，
(2)三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了三角形的面积公式，即底高，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
（1）根据三角形中线的定义得到，然后根据三角形的面积公式计算和的面积．
（2）根据计算的结果得到等底等高的三角形的面积相等．
（3）根据等底等高的三角形的面积相等先得到，再得到，则，然后根据结论得到，所以．
【详解】（1）解： 是的边上的中线，
，
，
．
（2）结论：三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．
理由：等底同高的两个三角形的面积相等．
（3）是的中线，的面积为，
，
．
是的中线，
，
．
是的中线，
，
．
24．如图，在中，是高，是的平分线．
(1)若，求：
①的度数；
②的度数．
(2)若，求的长．
【答案】(1)①，②
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和性质、角平分线的定义，三角形的等面积法求线段的长度，即可作答
（1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答．
（2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答．
【详解】（1）（1）解：①∵是高，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵是高，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
