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第一章：三角形的初步知识培优训练试题答案
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析： 设三角形的第三边为x.
由题意：5-3＜x＜5+3，
即2＜x＜8，只有3符合
故选择：A.
2.答案：D
解析：A、等腰直角三角形，两底角相等，都是45°，但它们不是对顶角，故选项A错误，是假命题；
B、120°角的补角是60°，是锐角，故选项B错误，是假命题；
C、两直线平行时，同位角才相等，故选项C错误，是假命题；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题.
故选择：D.
3.答案：C
解析：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，
∴DE=CD=2，
∵△ABD的面积=·AB·DE=·AB×2=7
∴AB=7.
故选择：C.
4.答案：B
解析：用来证明命题“则”是假命题的反例可以是：，
∵ ，但是，
故选择：B.
5.答案:D
解析:∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选择：D．
6.答案：C
解析：延长至E，使，连接CE．
在与中，
，
，
，
在中，，
即，
故选择：C．
7.答案：B
解析：∵E是BC的中点，∴，
又∵，
∴，
又∵点D是AB的中点，
∴，
同理，
∴图中阴影部分的面积为，
故选择：B．
8.答案：B
解析：如图所示，延长AB至M，使BM=DQ，连接CM，
△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴，
，
，
在△CBM和△CDQ中，
，
∴△CBM≌△CDQ(SAS)，
，
，
，
，
∴，
在△CPQ与△CPM中，
，
∴△CPQ≌△CPM(SSS)，
．
故选择：B．
9.答案：A
解析：如下图，过点C作，交BD延长线于点F，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴
故选择：A．
10.答案：B
解析：∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=180°-70°-60°=50°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×70°=35°，
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-35°=55°，
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=55°-50°=5°，故①正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBG=∠ABC=×50°=25°，
∴∠EBF=∠FBG+∠EBC=25°+5°=30°，
∴BF=2EF，故②正确；
延长BE，AC交于点H，
在△ABE和△AHE中
∴△ABE≌△AHE（ASA）
∴BE=HE，
∴点E是BH的中点，
只有当∠BCH=90°时，CE=BE，故③错误；
在AB上截取AM=AD，
在△AMF和△AFD中
∴△AMF≌△AFD（SAS）
∴∠AFM=∠AFD=∠BFE=90°-30°=60°，
∴∠BFM=180°-∠AFM-∠BFE=180°-60°-60°=60°，
∴∠BFM=∠BFG，
在△BFM和△BFG中
∴△BFM≌△BFG（ASA）
∴BM=BG，
∴AB=AM+BM=AD+BG，故④正确；
∴正确结论有3个.
故答案为：B.
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：、、为三角形三边的长，
原式
．
故答案为：
12.答案：
解析：∵，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
13.答案:
解析:∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB.
∵AB=AC， AD=AD，
∴△ADC≌△ADB（SAS）.
∴∠ADC=∠ADB=126°，
∵∠ADB+∠ADE=180°，
∴126°+∠ADE=180°，解得∠ADE=54°，
∴∠CDE =∠ADC-∠ADE=126°-54°=72°.
故答案为：
14.答案：
解析：由折叠的性质得到：，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
15.答案：3
解析：过D分别作、的垂线，垂足分别为E、F，作于点G，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
16.答案：12
解析：过P作与 于K，于连接
∵平分 平分，
∴，，
∴
∵的面积
∴
∴，
∵的面积的面积
∴的面积的面积的面积的面积
，
∴
∴，
∴的周长，
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）由三角形三边关系可得，在中，，，
则，即
又∵是整数，
∴，
（2）解：∵是的中线，
∴，
由的周长为10可得，，则，
△的周长，
18.解析：（1）根据三角形的三边关系得：，即．
∵为偶数，
∴，
∴的周长为；
（2）解：∵的三边长分别为3，5，a，
∴，解得，
∴
．
19.解析：∵和相交于点O，
∴．
在和中，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
20.解析：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠CAB＝180° ∠B ∠C＝100°，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90° ∠C＝40°，
∴∠DAE＝∠CAE ∠CAD＝50° 40°＝10°．
（2）∠DAE＝ （∠C ∠B），
理由：∵∠CAB+∠B+∠C=180°，
∴∠CAB =180°-∠B-∠C，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE＝ ∠CAB＝
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90° ∠C，
∴∠DAE＝∠CAE ∠CAD
21.解析：（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点D在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∴
22.解析：（1）∵∠B=40°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=80°，
∴∠CAD=90°-∠C=10°，
∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°；
（2）∵三角形的内角和等于180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C，
∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=∠C-∠B．
23.解析：（1）点Q的速度与点的速度相等，都是
经1s后，
，
，
，
点D为AB的中点，
，
，
在和中，
∴；
（2）解：，
，
点是的中点，
，
点的运动时间为：，
点Q运动的时间为
点Q运动的速度是：
当点Q的速度为时，能够使；
24.解析：（1），理由如下：
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在△ACD和△CBF中，
∴△ACD≌△CBF(ASA)，
∴，
∵点D为BC的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当点D在线段CB上（不与C,B重合）时，线段BF,BD,AC之间的数量关系为，理由如下：
∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
在△ACD和△CBF中，
∴△ACD≌△CBF(ASA)，
∴，
∵，
∴．
（3）解：①如图，当点D在线段CB的延长线上运动时，
同（1）得∴△ACD≌△CBF(ASA)，
∴,
∵，
∴；
②如图，当点D在线段BC的延长线上运动时，
同（1）得∴△ACD≌△CBF(ASA)，
∴,
∵，
∴．
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第一章：三角形的初步知识培优训练试题
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．10
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角 B．一个角的补角是钝角
C．同位角相等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
3．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=2，△ABD的面积为7，则AB的长为（ ）
A．3.5 B．5 C．7 D．9
4．下列选项中a的值，可以作为命题是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AD平分．则的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，已知△ABC的面积为12，D、E、F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点，AE,BF,CD交于点G，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8.如图，正方形的边长为1，上各有一点P、Q，如果△APQ的周长为2，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G，BD平分∠ABC交AC于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD．正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．已知是三角形的三边长，化简：
12．如图所示，则
13．如图，AD平分∠BAC，AB=AC，BD的延长线交AC于点E，若∠ADB=126°，则∠CDE度数为________
14.如图，在中，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有，则____________
15．如图，在中，是的角平分线，则BD的长度为 cm．
16.如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是_________________
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）在△ABC中，AB=8,AC=1．
（1）若BC是整数，求BC的长．
（2）已知AD是△ABC的中线，若△ACD的周长为10，求△ABD的周长．
18．（本题6分）按要求完成下列各小题．
(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；
(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．
19．(本题8分）如图， ，，点D在边上，．求证：．
20．（本题8分）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数；
（2）探索∠DAE与∠C－∠B的关系，并说明．
21.（本题10分）如图，在中，，于点，，点在上，．(1)求证：平分；(2)求证：．
22.（本题10分）（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．
（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．
23.（本题12分）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动．
(1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明；
(2)若点Q的速度与点的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使.
24.（本题12分）在中，，D是直线CB上的一个动点，连接AD，过点C作AD的垂线，垂足为点E，过点B作AC的平行线交直线CE于点F．
(1)基础探究：如图1，当点D为BC的中点时，请直接写出线段BF与AC的数量关系．
(2)能力提升：如图2，当点D在线段CB上（不与C,B重合）时，探究线段BF,BD,AC之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．
(3)拓展探究：如图3，当点D在线段CB或者BC的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段BF，BD，AC之间的数量关系．
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