1.3证明同步练习（含解析）浙教版数学八年级上册

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1.3证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．一次数学活动课上，小祥将一副直角三角板按图中方式叠放，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．在中，若，则的外角的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如1图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2图所示是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
7．将一副三角板如图放置，使含角的三角板的一段直角边与含角的三角板的一段直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，中，，，平分，交于点D，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，直线，，．若．则等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是 ．
①只有两个汉字正确且位置正确；
②只有两个汉字正确但位置都不正确；
③只有三个汉字正确但位置都不正确；
④四个汉字都不正确．
14．在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，若，则的度数为 ．
15．如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度．
16．将一副三角板按如图所示的方式放置，则 ．
17．悬臂在生活中应用广泛，图1是一款利用悬臂原理设计的手机支架，图2为其平面示意图，若底座于点O，，则的数量关系是 ．
三、解答题
18．如图，在中，，是的角平分线交于点，过作于点，点在上，且.
(1)求证：；
(2)求证：；
19．如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点D．
【问题解决】
（1）若，求的度数；
（2）若，则 ．
【猜想证明】
（3）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有的式子表示）
【拓展提高】
（4）若把截去，得到四边形，如图②，猜想的数量关系，并说明理由．
20．证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
21．已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C．
(1)如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果；
(2)如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由．
22．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
【简单应用】
（2）如图2，、分别平分．，若，，求的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由．
23．证明：等角的补角相等．
24．如图，，与相交于点O，．求的度数．
《1.3证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B C A D C D B
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，再根据平分得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴．
∵是的外角，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了三角形外角的性质及直角三角板的特殊性，用到的知识点为：三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和.
先根据直角三角板的特殊性求出的度数，再根据是的外角进行解答.
【详解】解：∵图中是一副三角板叠放，
是的外角，
故选： A．
3．D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可．
【详解】是的外角
解得：
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理及外角定义，根据三角形内角和定理得，再结合已知条件，得，即可得出的度数，再根据的外角的度数等于即可得出答案，解题关键是掌握三角形内角和定理．
【详解】解：，
，
，
，
，
的外角的度数为，
故选：B．
5．C
【分析】此题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，三角形的外角性质．由平行线的性质得到，再由三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，，
，
，，
，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
根据平行线的性质可求出，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：A．
7．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，三角板中角度的计算，可证明，得到，再由三角形外角的性质可求出答案．
【详解】解：如图所示，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，先根据三角形内角和得到的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，进而根据三角形外角，即可得到的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义即可得出答案．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
故选D．
10．B
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵平分，平分，
∴．
∵是的外角，是的外角，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
11．C
【分析】此题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质，三角形的外角定理．设直线与交于点，与交于点，先由对顶角的性质得，再由等边三角形的性质得，然后由三角形的外角定理可求出，最后再根据直线可得的度数．
【详解】解：设直线与交于点，与交于点，如图所示：
，
，
为等边三角形，
，
为的一个外角，
，
直线，
．
故选：C．
12．A
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】如图所示，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
故选：A．
13．北京学校
【分析】本题考查逻辑推理，结合①②④可确定第二、第四个字分别为“京”“校”，结合③④确定另外两个字及位置，即可求解．
【详解】解：由①②可得，没有“市”字，
由④可得，没有“一”字，
结合①可得，第二、第四个字分别为“京”“校”，
结合③④可得，有“学”“校”“北”三个字，且“北”字不是左边数第三个字，
综上可得，从左到右四个字分别为：北，京，学，校．
推断正确密码是：北京学校，
故答案为：北京学校．
14．
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角．根据直角三角形两个锐角互余求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，，根据等边对等角可得，，再根据三角形的外角的性质可得：．
【详解】解：，，
，
，，为的中点，
，，
，，
是的外角，
，
同理可得：，
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及平行线性质、折叠性质、外角性质等知识，熟练掌握三角形中求角度的方法是解决问题的关键．先由平行线得到，再由折叠性质得到，从而求出，再由三角形外角性质求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了三角尺度数的计算与三角形外角的性质，理解一副三角板中锐角的度数，结合三角形外角的性质进行解答是解题的关键.
首先理解一副三角板中，一个三角板的两个锐角都是，另一个三角板的两个锐角分别是和，然后根据三角形外角的性质进行解答即可.
【详解】解：如图，由题可得，
∴.
故答案为：.
17．
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线，延长交于点E，延长交于点F，根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，，由此等量代换即可求得答案．
【详解】解：如图，延长交于点E，延长交于点F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证，即可得出结论；
（2）设，在上截取，连接，证，得，，再证，得，然后证，即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：设，
，
，，
则，
在上截取，连接，如图所示：
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，在中，，
，
，
，
；
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明和是解题的关键．
19．（1）
（2）
（3）不变化，理由见解析，结论
（4），理由见解析
【分析】本题考查多边形的内角与外角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握三角形内角和是以及三角形外角的性质是正确解答的关键．
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可；
（2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；
（3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到；
（4）延长交于点A，将问题转化为（3）即可．
【详解】解：（1）∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
（2）∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
（3）不变化，理由如下：
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴
即
（4），理由如下：
如图，延长交于点A，
则
∴，
由（3）可得，
∴．
20．见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可．
【详解】解：已知：如图，，
求证：；
证明：过点作，如图，
∵，
，
，
，
三角形内角和．
21．(1)
(2)不变，
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．通过知识的综合运用，帮助探究出点A、B运动过程中的度数变化规律．
（1）根据题意，研究当时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是利用角平分线性质转化角的关系，结合三角形内角和定理推导．
（2）本题需探究当且平分时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是通过角平分线性质和邻补角关系，建立与的直接联系．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，平分，
∴，
．
∵，
∴
，
∴．
22．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题．
（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到，，列方程组即可得到结论；
（3）由平分的外角，平分的外角，推出，，推出，，由，，推出，即可解决问题.
【详解】（1）证明：在中，，
在中，，
，
；
（2）解：如图2，
、分别平分，，
，，
由（1）的结论得： ，
①②，得，
；
（3）解：如图3，
平分的外角，平分的外角，
，，
，，
，
，
，
．
23．见解析
【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证．
【详解】已知：，，．
求证：．
证明：，（已知），
（等量代换），
（等式的性质）．
（已知），
（等式的性质），
（等量代换）．
24．
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，先根据平行线的性质推出，再利用三角形外角的性质结合，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的外角，，
∴，
∴．
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