1.6线段垂直平分线的性质同步练习（含解析）浙教版数学八年级上册

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1.6线段垂直平分线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是13，则线段的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图，在四边形ABCD中，，M，N分别是BC，DC上的点，当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④
6．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为13，则的周长为（ ）
A．19 B．20 C．16 D．21
8．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
9．如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
10．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
11．通过如下尺规作图，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
二、填空题
13．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为 ．
14．如图，在菱形中，，垂足为E．若，则 ．

15．如图，在中，边的垂直平分线分别与边和边交于点D和点E，边的垂直平分线分别与边和边交于点F和点G，若的周长为9，且，则的长为 ．
16．如图，在中，是边的垂直平分线，，则的面积为 ．
17．如图，中，，的垂直平分线交于点，交边于点，若，则的周长为 ．
三、解答题
18．如图，已知，请按下列要求解答问题：
(1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的周长是，的周长是，求的长．
19．【问题提出】
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【问题探究】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）试说明：．
解：延长到点E，使，
∵D是的中点（已知），
∴（中点定义），
在和中，
∵，
∴（__________）．
（2）探究得出的取值范围是__________；
【问题解决】
（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
20．如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的周长及的长．
21．如图，已知中，．
(1)尺规作图：作的中线，（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）；
(2)在（1）的基础上，若，，试用含的式子表示的面积．
22．如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长；
(2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．
23．如图，在中，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得的周长等于．（保留作图痕迹，不写作法）
24．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．如果，，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来．
《1.6线段垂直平分线的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A C D A C B D
题号 11 12
答案 C B
1．C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再根据题意得到，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∵的周长是13，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
故选：C．
2．B
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∵，
且，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是轴对称 最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
3．C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解．
【详解】解：由条件可知，
在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
．
故选：C．
4．A
【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得．
【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，即，
∴，
∵，平分，
由三线合一的性质可得：垂直平分，
∴，即，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
5．C
【分析】根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线，解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，
故①成立；②成立；③不成立；④成立．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论．
【详解】由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴的周长．
故选：D．
7．A
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，，
，
的周长为13，
，
的周长，
故选：A．
8．C
【分析】首先证明△BOF≌△DOE，得出OE＝OF，再证明△BOF∽△BAD，得出，然后再根据勾股定理，得出BD的长，进而得出BO的长，再结合相似比，算出FO的长，即可得出EF的长，从而得出选项．
【详解】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD，
∴＝，
∵BD＝＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5×＝cm，
∴EF＝2FO＝cm．
故选：C
【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，根据勾股定理求BD的长是解本题的关键．
9．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键．
要使快递站到的距离相等，说明快递站在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答．
【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等，
∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处．
故选B．
10．D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识；
根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案.
【详解】解：A、∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴四边形是筝形；
B、∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是筝形；
C、∵，，，
∴，
∴，，
∴四边形是筝形；
D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形；
故选：D.
11．C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断．
【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形．
故选：C．
12．B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长．
【详解】解：中，，直线垂直平分，
，
的周长为32，
，
的周长是，
故选：B．
13．
【分析】本题考查线段垂直平分的性质，由线段垂直平分线的性质推出，，得到的周长．
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长．
故答案为：．
14．30
【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，连接，先证明是等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出平分，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，

∵，，
∴，
∵在菱形中，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
故答案为：30．
15．7
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
同理可得：，
的周长为9，
，
，
，
，
故答案为：7．
16．12
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及三角形的面积，熟知线段垂直平分线的性质及三角形的面积公式是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得出，再结合长及三角形的面积公式求出的面积，据此可求出的面积．
【详解】解：是边的垂直平分线，,
，
又,,
,
.
故答案为：12．
17．15
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质可，从而利用等腰三角形的性质可得，进而利用三角形外角的性质可得，然后结合已知可得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长为15，
故答案为：15，
18．(1)见解析；
(2)的长为．
【分析】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质．
（1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可；
（2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长．
【详解】（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图：
（2）解：∵的周长是，
∴，
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
答：的长为．
19．（1）对顶角相等；；（2）；（3）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题．
（1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明；
（2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围；
（3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长．
【详解】（1）解：延长到点E，使，
∵D是的中点（已知），
∴（中点定义），
在和中，
∵，（对顶角相等）
∴；
故答案为：对顶角相等；．
（2）由题意可得：，
∵，
即，
∴．
故答案为：．
（3）延长交的延长线于点F，如图：
∵，，
∴
在和中．
∴，
∴，，
∵，
∴垂直平分
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)的周长为，
【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证；
（2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是斜边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
（2）解：∵是斜边的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周长为.
∵
∴，
即，
解得：．
21．(1)见解析；
(2)
【分析】本题考查作图基本作图，列代数式，三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作线段的垂直平分线垂足为，连接即可；
（2）根据的面积的面积求解．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：，，
的面积的面积．
22．(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角．
（1）先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求；
（2）先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求．
【详解】（1）解：作法：先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求；
（2）解：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角，
②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即，
③作，
④作的角平分线，
⑤在上取点，使，
⑥过点作，分别交、于点、点，
23．见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的崔嵬作图，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的尺规作图步骤作的垂直平分线即可．
【详解】解：如图，点即为所求，
24．见解析
【分析】本题考查全等三角形，线段垂直平分线的性质，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质．
根据题意，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，将已知三角形划分为三个全等的三角形即可．
【详解】解：如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则、和大小、形状都相同．
证明：∵，，
∴，
如图，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接，则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴、和大小、形状都相同．
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