1.7角平分线的性质同步练习（含解析）浙教版数学八年级上册

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1.7角平分线的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．只用无刻度的直尺就能作出的图形是（ ）
A．延长线段至C，使 B．过直线L上一点A作L的垂线
C．作已知角的平分线 D．从点O再经过点P作射线
2．如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　）
A．11 B． C． D．
3．如图，在中，的平分线交于点O，连接，过点O作，的面积是16，周长是8，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
5．如图，平分，点P在上，，则点P到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
6．如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，若，则的面积是（ ）
A．48 B．24 C．28 D．36
8．如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上
9．如图，在的外角的平分线上任取一点P，作，，垂足分别为点E、F．则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
10．如图，在中，，根据作图痕迹可知的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．已知：如图，为三角形纸片内部一点，连接，沿把纸片剪成三个三角形：，再使在一条直线上，若顶点（相同点用进行区分）都在直线上，且，则点为的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
12．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
二、填空题
13．如图，是的角平分线，于，的面积是，，，则 ．

14．如图是某地区三个仓库的示意图，记为A，B，C三地，分别连接，形成一个三角形．若想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，则中转仓的位置应选在 ．
15．如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上．
16．如图，是的角平分线，于点E，的面积是40，，则 ．
17．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为 ．
三、解答题
18．如图，与都是以A为顶点的等腰直角三角形，点B、A、E在一条直线上，延长交于F，连接．
(1)判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)求证：平分．
19．如图，点B，C分别在的两边上，点D是内一点，，，垂足分别为E，F，且，．求证：．
20．如图，在四边形中，平分，，求证：．
21．如图，已知，，垂足分别为E，F，相交于点D，若．
(1)求证：≌；
(2)若，求的度数．
22．已知（如图），按下列要求画图：
(1)的中线；
(2)的角平分线；
(3)的高线；
23．如图，在中.
(1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若，，的面积为12，求的面积
24．如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，平分与x轴交于点C．
(1)如图1，若，求证：；
(2)如图2，若点A的坐标为，点E为上一点，且，求的长；
(3)如图3，若，过C作于点F，点H为线段上一动点，点G为线段上一动点，在运动过程中，始终满足，试判断之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
《1.7角平分线的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A B B B B B B
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】本题考查的知识点是尺规作图中的基本作图，用没有刻度的直尺作图应用在尺规作图，没有刻度的直尺只能画线而不能度量，根据特征对四个选项进行判别．
【详解】解：A选项，没有刻度的直尺能延长线段，但不能画；
B选项，作垂线还需要圆规；
C选项，作角平分线还需要圆规；
D选项，只用无刻度的直尺可以作射线．
故选：D．
2．B
【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．
根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．
【详解】解：过点作，，
为的角平分线，
，
，，
，
为中点，
，
设，，则，
，
．
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质．过点O作于点F，根据角平分线的性质可得，再由以及的周长是8，即可求解．
【详解】解：如图，过点O作于点F，
∵分别为的角平分线，，，
∴，
∴，
∵的面积是16，
∴，
∴，
∴，
∵的周长是8，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，，
，
，
．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得，即可求解．
【详解】解：过点P作于点E，
∵平分，，，
∴，
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
过点作交于点，得到和，然后利用三角形面积的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点作交于点，
∵是的角平分线，，
又∵，
∴
．
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键．
过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．B
【分析】根据角平分线的判定推出M在的角平分线上，即可得到答案．
【详解】解：如图：
，，，
在的角平分线上，
故选B．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
9．B
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的三边关系，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得，再结合三角形的任意两边之和大于第三边求解即可．
【详解】解：是的平分线，，，
，
，
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了基本作图，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和求出，然后根据作图得是的一条角平分线，再利用角平分线的定义求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
由作图可知是的一条角平分线，
∴．
故选：B．
11．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的判定定理等知识点，掌握平行线上的两点距离相等成为解题的关键．
根据平行的性质可得点、到直线的距离相等，即点到的距离相等，然后根据角平分线的判定定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴点、到直线的距离相等，即点到的距离相等，
∴点O为三条角平分线的交点．
故选B．
12．B
【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：作于E，如图，
由题意得平分，而
∴，
∴的面积．
故选：B．
13．
【分析】本题考查了角平分线的性质，“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”．过点作，垂足为，根据角平分线性质可得，根据三角形的面积，即可求出的长度．
【详解】解：过点作，垂足为，
是的角平分线，，
，
的面积是，，，
，
即，
，
故答案为：．
14．的平分线的交点处（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，三角形两个角的平分线的交点到三角形的三边距离相等．
根据角平分线的性质进行分析，即可作答．
【详解】解：∵想在三角形内建立一个货物中转仓，使其到的距离相等，
∴中转仓的位置应选在的平分线的交点处．
故答案为：的平分线的交点处（答案不唯一）
15．5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键．
根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答．
【详解】解：∵点P在的平分线上，于点于点，
∴．
故答案为5．
16．
【分析】此题考查了角平分线的性质定理．作于点，设为根据角平分线的性质定理得到，根据的面积是40列方程并解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点，
设为
∵是的平分线，
∴
，
即，
解得．
故答案为：
17．2
【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
由题意可知：于F，由线段的和差可得，根据角平分线的性质求出即可解答．
【详解】解：由题意可知：于F，
∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵平分，
∴，即点到BC的距离为2．
故答案为2．
18．(1)，，理由见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可；
（2）作于G，作于H，根据全等三角形对应边上的高相等得，再由角平分线的判定定理得出平分．
【详解】（1）解：，，理由如下：
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：作于G，作于H，如图，
∵，
∴，
∴平分．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质，角平分线的判定定理，判断出是解本题的关键．
19．见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线性质．熟练掌握即可解题．
连接，先利用已知条件证明，即可证明．
【详解】证明：连接，
，，，
．
．
是的平分线，
又，，
．
20．见解析
【分析】过点分别作，的垂线，垂足为，，首先根据垂直的性质及角平分线的性质，可证得，，再根据平角的性质，可证得，据此即可证得，即可证得结论．
【详解】证明：如图：过点分别作，的垂线，垂足为，，
，
平分，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂直的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】由于点E，于点F，相交于点D，得，，而，即可根据“”证明≌；
由，，求得，由于点F，于点E，且，证明平分，则
【详解】（1）证明：于点E，于点F，相交于点D，
，，
在和中，
，
≌
（2）解：，，
，
由得≌，
，
于点F，于点E，且，
点D在的平分线上，
平分，
，
的度数是
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）根据三角形中线的定义，连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线．取的中点D，然后连接即可；
（2）根据角平分线的定义，三角形一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线．以D为顶点作角平分线，使平分交于M点；
（3）根据三角形高的画法，过C点作于N点．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：如图，为所作；
（3）解：如图，为所作；
23．(1)见解析
(2)21
【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求：
（2）解：如图，过点作交与点，作交与点，
平分，
，
的面积为12，
∴，
∴，
，，
．
24．(1)见解析
(2)
(3)，见解析
【分析】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，可证，由等腰三角形的性质可得，即可求解；
（3）由“”可证，可得，由“”可证，可得，即可求解；
添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
如图3，在的延长线截取，连接，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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