第三章《一元一次不等式》培优卷—浙教版八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·杭州月考）下列不等式说法中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．若三个连续正整数的和小于39，设中间一个正整数为n，则下面列出的不等式正确的是( ).
A．n+1+n+n-1<39 B．n+n-1+n-2<39
C．n+2+n+1+n<39 D．2n+1+2n-1+2n-3<39
3．（2023八上·鄞州期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2024八上·浙江期中）运行某个程序如图所示．若规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·婺城期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
6．（2025八上·余姚期末）若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
7．（2024八上·开福开学考）若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是( )
A． B． C． D．
8．（2023八上·黄冈开学考）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
9．（2024八上·衢江期末）我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
10．（2024七下·渝中期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·宁波竞赛） 已知 都是整数，且 ，那么 的最大值是 .
12．（2023八上·宁波月考）若不等式有解，则实数最小值是 ．
13．（2024七下·路桥期末） 在实数范围内规定新运算 " " . 已知不等式 的解集是 ， 则 的值是 .
14．（2023八上·苍南月考）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是 ；使代数式的值小于20的最大整数x是 ．
15．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
16．（2024八上·杭州期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 题才有机会进入邀请赛．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·平湖期末）解下列关于x的不等式（组）：
（1）
（2）．
18．（2024八上·钱塘期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
19．（2024八上·鄞州期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．
（1）求A模型和B模型的单价．
（2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
20．（2023八上·萧山期中）某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元．
（1）A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？
（2）为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，厨具店一共有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润．
21．（2024八上·余姚期中）对m、n定义一种新运算“ ”，规定：m n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5 6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2 3＝1，3 （﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“ ”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m n＝n m”都成立，试探究a、b应满足的关系．
22．（2024八上·哈尔滨开学考）阅读以下材料：对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题：
（1）＝ ，若，则的范围为 ；
（2）①如果，求；
②根据①，你发现了结论“如果，那么 （填，，的大小关系）”；
③运用②的结论，填空：
若，则 ．
23．（2024八上·新会开学考）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
24．（2024八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，右图表是近两周的销售情况： 销售时段徽章（个）钥匙扣（个）销售收入（元）第一周43130第二周55200
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
素材2 该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个．
问题解决
任务1 请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价
任务2 该商店至少采购徽章多少个？
任务3 请结合素材2中的信息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴选项B符合题意；
∵，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴，
∴
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【分析】
不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
2．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
设中间一个正整数为n
∴前面一个数为：n－1，后面一个数为：n+1
∴n+1+n+n-1<39
故答案为：A
【分析】根据连续正整数，设中间一个正整数为n，则前面一个数为：n－1，后面一个数为：n+1，根据题意列出不等式即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；一元一次不等式的特殊解；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴可分两种情况：
①若
当时，解得：，；
当时，解得：；；
②若
当时，解得：，；
当时，解得：，；
又方程有三个整数解，
可得：或，
∵绝对值具有非负性，
∴，
∴a=1．
故答案为：B．
【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解并结合绝对值的非负性即可求解．
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
由①得，，
由②得，，
∴的取值范围是，
故答案为：A ．
【分析】根据题意，输入x，第一次计算结果为，第二次计算为，由此联立不等式组求解即可．
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式组的整数解为1，2，
∴，且，
则，．
∵，为整数，
∴，，8，9，
∴满足条件的（m，n）共有3对．
故选：C.
【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题．
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
【分析】本题首先求出不等式组中x的取值范围，然后根据“x无解”确定k＞-1；随后将关于x的方程变形，因为方程的解为自然数，而最小的自然数是0，这样就可以进一步确定k的取值范围。最后在k的取值范围内分别计算出k的整数对应的x的值，满足x是整数的值对应的k的值就是“符合条件的整数 的值”，最后求和即可。
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：，
由①＋②，得：7x＋7y＝7m＋14，
∴x＋y＝m＋2，
∵x＋y≤1，
∴m＋2≤1，解得：m≤ 1，
解不等式5x m＞0，得：x＞，
解不等式x 4＜ 1，得：x＜3，
故不等式组的解集是：＜x＜3，
∵不等式组只有3个整数解，
∴ 1≤＜0，解得 5≤m＜0，
∴ 5≤m≤ 1，
∴符合条件的整数m的值的和为 5 4 3 2 1＝ 15，
故答案为：D.
【分析】先利用加减消元法求出x＋y＝m＋2，再结合可得m＋2≤1，解得：m≤ 1，再利用不等式的性质及不等式组的解法求出＜x＜3，再结合“不等式组只有3个整数解”可得 1≤＜0，解得 5≤m＜0，可得 5≤m≤ 1，最后将符合条件的整数m的值相加即可.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设，
则x=2k+1，y=2-3k，
∵x、y为非负数，
∴，
解得：；
∵W=3x+4y，
∴W=3(2k+1)+4(2-3k)=-6k+11，
∴k=，
∴，
解得：7≤W≤14，
∴W的最大值m=14，最小值n=7，
∴m+n=14+7=21.
故答案为：D.
【分析】设，用含k的代数式表示x、y，根据x、y为非负数可得关于k的不等式组，解不等式组可求得k的范围，将所求代数式用含k的代数式表示出来，根据k的范围可得关于W的不等式组，解不等式组可求得W的范围，结合题意可得m、n的值，于是m+n可求解.
9．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他答对道题，则答错或不答有道题，
依题意得：，
解得：，
答：他至少答对22道题，
故答案为：D．
【分析】设他答对道题，根据“ 共道抢答题， 得分不低于分 ”列不等式解题即可．
10．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①∵[-0.5]=-1，[-0.5]+{-0.5}=-0.5，
，故①错误；
②，
，
∴或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为6，6，8，故③正确；
④∵x=[x]+{x}，∴{x}=x-[x]，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故答案为：A
【分析】根据新定义，对上述①②③④进行分析判断即可；
11．【答案】1167
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：∵d<50，
∴a的最大值是49，
∵c<4d，
∴c的最大值是195，
∵b<3c，
∴b的最大值是584，
∵a<2b，
∴a的最大值是1167，
故答案为：1167.
【分析】根据不等式的性质求出d的最大值，求出c的最大值，求出b的最大值，求出a的最大值即可.
12．【答案】4
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：当x＜1时， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，
∴＜1，
∴ a＞6；
当1≤x≤3时，
∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
当x＞3时，原不等式变形为
2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴实数a的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】分情况讨论：当x＜1时，可缓解绝对值，可得到不等式的解集为x≥，代入可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当1≤x≤3时，可得到x≥7-a，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；当x＞3时可得到x≤，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；根据a的取值范围，可得到a的最小值.
13．【答案】-4
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】根据题意可得：可变形为：2x-m≥2，
解得：x≥，
∵ 不等式 的解集是 ，
∴，
解得：m=-4，
故答案为：-4.
【分析】先根据题干的定义列出不等式并求出其解集x≥，再结合“不等式 的解集是 ”可得方程，最后求出m的值即可.
14．【答案】1；7
【知识点】一元一次不等式的特殊解；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当时，，
∵，
∴当时，输出的值为1，
，
移项合并得，
系数化1得，
∴x最大整数=7．
故第1空答案为：1；第2空答案为：7．
【分析】首先根据程序计算当时，代数式2x+5的值，然后根据是否小于20，确定输出的值即可；再解不等式，求出最大整数解即可。
15．【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对题才有机会进入邀请赛，
根据题意得：，
解得：，
∴至少需要答对题才有机会进入邀请赛，
故答案为：．
【分析】
由题意知留空比答答错多得1.5分，则得分答对题目数留空题目数，结合得分不少于分，可列出关于x的一元一次不等式并求出满足条件的整数解即可．
17．【答案】（1）解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组解集是；
（2）解：，
，
当时，，
原不等式化为：，
，
；
当时，，
原不等式化为：，
，
，
不等式解集为或．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求出两个不等式的解集，然后根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到”解题即可．
（2）分为a>0，a<0两种情况，去绝对值、移项、合并同类项、系数化为1解不等式即可．
（1）解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组解集是；
（2）解：，
，
当时，，
原不等式化为：，
，
；
当时，，
原不等式化为：，
，
，
不等式解集为或．
18．【答案】（1）解：∵方程组，
解得：，
∵ 方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（1）得，
∴，
∵为整数，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组；绝对值的概念与意义；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）利用“加减消元法”解方程组得出，由方程组的解满足的条件得到关于的不等式组并解之即可；
（2）结合（1）中的取值范围判断出，，然后利用绝对值的意义进行化简即可；
（3）利用不等式的基本性质可得，结合（1）所求的范围知，继而可得整数的值．
19．【答案】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元
（2）解：设购买A模型m个，则购买B模型个，依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．
∵，
∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据题意列二元一次方程组，解题即可；
（2）设购买A模型m个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，得到关于m的一元一次不等式组，求出m的取值范围，然后得到购买方案，再根据总价=单价×数量可求出方案所需费用，比较解题即可．
20．【答案】（1）解：设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为 （x-20）元，
根据题意，得10x+20（x-20）＝5600，
解得x＝200，
∴x-20＝180，
答：每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元．
（2）解：设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲（50-a） 台，
，
解得25≤a≤28，
∵a为整数，
∴a＝25、26、28，
方案1：A型号25台，B型号25台，
方案2：A型号26台，B型号24台，
方案6：A型号27台，B型号23台，
方案4：A型号28台，B型号22台；
（3）解：方法一：每台A型电饭煲利润：300-200＝100元，
每台B型电饭煲利润：260-180＝80元，
方案1利润：100×25+80×25＝4500元，
方案5利润：100×26+80×24＝4520元，
方案3利润：100×27+80×23＝4540元，
方案4利润：100×28+80×22＝4560元，
∴方案5：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，
方法二：每台A型电饭煲利润：300-200＝100元，
每台B型电饭煲利润：260-180＝80元＜100元，
∴A型电饭煲的数量越多，获利越多，
∴方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为 （x-20）元，根据“ 共花费5600元 ”列出方程并解之即可；
（2）设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲（50-a） 台，根据：总资金不超过9560元和A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，列出不等式组，求出其整数解即可；
（3）分别求出（2）中每种方案的利润，再比较即可.
21．【答案】（1）解：①由题意，∵2 3＝1，3 （﹣1）＝10，
∴可得方程组．
∴解得
∴a＝1，b＝2．
②由题意，∵a＝1，b＝2，
∴不等式组可化为
∴
又∵上面的不等式组有且只有两个整数解，
∴2≤＜3．
∴23≤t＜26
（2）解：由m n＝n m，
∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5．
∴ma﹣nb﹣na+mb＝0．
∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0．
∴（a+b）（m﹣n）＝0．
又∵m，n为任意数，
∴（m﹣n）不一定等于0．
∴a+b＝0
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）①根据定义的新运算和二元一次方程组求解，、的值；
②根据定义的新运算和不等式组的解法，，解不等式组的解集，根据已知条件不等式组有且只有两个整数解求出的值；
（2）根据定义新运算，根据 ，通过移项、合并同类项、以及任意数m、n，求出a与b的关系.
22．【答案】（1），
（2）①，
又，
，
，解得：，
②；③
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：，
，
，解得：，
故答案为：，，
（2）解：②当时，，即：，
又，即：，
，即：，
，
当时，和时，同理可证：，
③，
，即：，解得：，
，
故答案为：①；②；③．
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可；
（2）①利用题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可；
②利用题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可得到；
③利用题干中的定义及计算方法列出方程组，再求解即可.
（1）解：，
，
，解得：，
故答案为：，，
（2）解：①，
又，
，
，解得：，
②当时，，即：，
又，即：，
，即：，
，
当时，和时，同理可证：，
③，
，即：，解得：，
，
故答案为：①；②；③．
23．【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴。
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故答案为：C。
【分析】（1）对选项中的各个不等式和不等式组进行求解，然后再根据题干要求，确定即可。
（2）根据题干信息，可得，求出a的解集，然后再根据已知条件：，求出b、c关于a的关系式，然后再将以上关系式代入 ，求出，最后再结合a的取值，即可求出M的最小值。
（3）根据已知条件，解方程组：解方程组，求出m、n关于k的值，然后再根据，，求出，然后再根据K的取值特性，求出k的值；最后再根据P、Q之间的包含关系：，进而求出k的，由此即可得到答案。
（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故选C；
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
24．【答案】解：任务1：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元；
任务2：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，
根据题意，得，
解得，
答：该商店至少采购徽章10个；
任务3：根据题意，得，
解得，
∵，且a为正整数，
∴a可以为10，11，12，
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元），
∵，
∴在这些采购方案中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，该商店获利最高．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意设亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，由题中的相等关系“4徽章收入+3钥匙扣收入=130，5徽章收入+5钥匙扣收入=200”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
任务2：根据题意，设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，由题中的不等关系"a个徽章的进货费用+(50-a)个钥匙扣的进货费用≤710"列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义即可求解；
任务3：根据题意，由利润＝单件利润×数量列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义可得a的值，分别计算总利润并比较大小即可判断求解．
1 / 1第三章《一元一次不等式》培优卷—浙教版八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024八上·杭州月考）下列不等式说法中，不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴选项B符合题意；
∵，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴，
∴
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【分析】
不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
2．若三个连续正整数的和小于39，设中间一个正整数为n，则下面列出的不等式正确的是( ).
A．n+1+n+n-1<39 B．n+n-1+n-2<39
C．n+2+n+1+n<39 D．2n+1+2n-1+2n-3<39
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
设中间一个正整数为n
∴前面一个数为：n－1，后面一个数为：n+1
∴n+1+n+n-1<39
故答案为：A
【分析】根据连续正整数，设中间一个正整数为n，则前面一个数为：n－1，后面一个数为：n+1，根据题意列出不等式即可求出答案.
3．（2023八上·鄞州期末）若关于x的方程有三个整数解，则的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；一元一次不等式的特殊解；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴可分两种情况：
①若
当时，解得：，；
当时，解得：；；
②若
当时，解得：，；
当时，解得：，；
又方程有三个整数解，
可得：或，
∵绝对值具有非负性，
∴，
∴a=1．
故答案为：B．
【分析】根据绝对值的性质可得然后讨论及的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解并结合绝对值的非负性即可求解．
4．（2024八上·浙江期中）运行某个程序如图所示．若规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据题意可得，，
由①得，，
由②得，，
∴的取值范围是，
故答案为：A ．
【分析】根据题意，输入x，第一次计算结果为，第二次计算为，由此联立不等式组求解即可．
5．（2024八上·婺城期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式组的整数解为1，2，
∴，且，
则，．
∵，为整数，
∴，，8，9，
∴满足条件的（m，n）共有3对．
故选：C.
【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题．
6．（2025八上·余姚期末）若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
【分析】本题首先求出不等式组中x的取值范围，然后根据“x无解”确定k＞-1；随后将关于x的方程变形，因为方程的解为自然数，而最小的自然数是0，这样就可以进一步确定k的取值范围。最后在k的取值范围内分别计算出k的整数对应的x的值，满足x是整数的值对应的k的值就是“符合条件的整数 的值”，最后求和即可。
7．（2024八上·开福开学考）若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的含参问题；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】解：，
由①＋②，得：7x＋7y＝7m＋14，
∴x＋y＝m＋2，
∵x＋y≤1，
∴m＋2≤1，解得：m≤ 1，
解不等式5x m＞0，得：x＞，
解不等式x 4＜ 1，得：x＜3，
故不等式组的解集是：＜x＜3，
∵不等式组只有3个整数解，
∴ 1≤＜0，解得 5≤m＜0，
∴ 5≤m≤ 1，
∴符合条件的整数m的值的和为 5 4 3 2 1＝ 15，
故答案为：D.
【分析】先利用加减消元法求出x＋y＝m＋2，再结合可得m＋2≤1，解得：m≤ 1，再利用不等式的性质及不等式组的解法求出＜x＜3，再结合“不等式组只有3个整数解”可得 1≤＜0，解得 5≤m＜0，可得 5≤m≤ 1，最后将符合条件的整数m的值相加即可.
8．（2023八上·黄冈开学考）非负数x，y满足，记，W的最大值为m，最小值n，则（ ）
A．6 B．7 C．14 D．21
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设，
则x=2k+1，y=2-3k，
∵x、y为非负数，
∴，
解得：；
∵W=3x+4y，
∴W=3(2k+1)+4(2-3k)=-6k+11，
∴k=，
∴，
解得：7≤W≤14，
∴W的最大值m=14，最小值n=7，
∴m+n=14+7=21.
故答案为：D.
【分析】设，用含k的代数式表示x、y，根据x、y为非负数可得关于k的不等式组，解不等式组可求得k的范围，将所求代数式用含k的代数式表示出来，根据k的范围可得关于W的不等式组，解不等式组可求得W的范围，结合题意可得m、n的值，于是m+n可求解.
9．（2024八上·衢江期末）我区某初中举行“针圣故里，康养衢江”知识抢答赛，总共道抢答题，对于每一道题，答对得分，答错或不答扣分，选手小华想使得分不低于分，则他至少答对多少道题（ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设他答对道题，则答错或不答有道题，
依题意得：，
解得：，
答：他至少答对22道题，
故答案为：D．
【分析】设他答对道题，根据“ 共道抢答题， 得分不低于分 ”列不等式解题即可．
10．（2024七下·渝中期末）对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若（n是整数），则；
③若，，，则所有可能的值为6，7，8；
④方程的解为或．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①∵[-0.5]=-1，[-0.5]+{-0.5}=-0.5，
，故①错误；
②，
，
∴或，故②错误；
③，，
则所有可能的值为6，6，8，故③正确；
④∵x=[x]+{x}，∴{x}=x-[x]，
即，
，
，
，故④错误；
综上所述；只有一个正确，
故答案为：A
【分析】根据新定义，对上述①②③④进行分析判断即可；
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·宁波竞赛） 已知 都是整数，且 ，那么 的最大值是 .
【答案】1167
【知识点】不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：∵d<50，
∴a的最大值是49，
∵c<4d，
∴c的最大值是195，
∵b<3c，
∴b的最大值是584，
∵a<2b，
∴a的最大值是1167，
故答案为：1167.
【分析】根据不等式的性质求出d的最大值，求出c的最大值，求出b的最大值，求出a的最大值即可.
12．（2023八上·宁波月考）若不等式有解，则实数最小值是 ．
【答案】4
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：当x＜1时， ，-2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥，
∵ x＜1，
∴＜1，
∴ a＞6；
当1≤x≤3时，
∴2(x-1)-3(x-3)≤a，
解得，x≥7-a，
∴1≤7-a≤3，
解之：4≤a≤6；
当x＞3时，原不等式变形为
2（x-1）+3（x-3）≤a，
解之：x≤，
∴＞3，
解之：a＞4，
∴实数a的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】分情况讨论：当x＜1时，可缓解绝对值，可得到不等式的解集为x≥，代入可得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；当1≤x≤3时，可得到x≥7-a，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；当x＞3时可得到x≤，据此可得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围；根据a的取值范围，可得到a的最小值.
13．（2024七下·路桥期末） 在实数范围内规定新运算 " " . 已知不等式 的解集是 ， 则 的值是 .
【答案】-4
【知识点】利用不等式的性质解简单不等式
【解析】【解答】根据题意可得：可变形为：2x-m≥2，
解得：x≥，
∵ 不等式 的解集是 ，
∴，
解得：m=-4，
故答案为：-4.
【分析】先根据题干的定义列出不等式并求出其解集x≥，再结合“不等式 的解集是 ”可得方程，最后求出m的值即可.
14．（2023八上·苍南月考）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是 ；使代数式的值小于20的最大整数x是 ．
【答案】1；7
【知识点】一元一次不等式的特殊解；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当时，，
∵，
∴当时，输出的值为1，
，
移项合并得，
系数化1得，
∴x最大整数=7．
故第1空答案为：1；第2空答案为：7．
【分析】首先根据程序计算当时，代数式2x+5的值，然后根据是否小于20，确定输出的值即可；再解不等式，求出最大整数解即可。
15．（2024八上·江北期末）若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】4
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式的解集为，
∵不等式组至少有2个整数解，
∴，
解得：；
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴
解得：，
即且，
解得：且
∴a的取值范围是，且
∴a可以取：1，3，
∴，
故答案为：4．
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组．先解不等式组可得不等式的解集为，再根据题意可求出a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程可得，解一元一次方程可得：，由分式方程有正整数解，可得不等式组：且，解不等式组可求出a的取值范围，进而求出a的值，再相加可求出答案．
16．（2024八上·杭州期中）“”是美国十年级数学竞赛的缩写．共有道选择题，每一道选择题答对得分，留空得分，答错不得分．预估得分达到分的参赛者有机会被邀请参加美国高中数学邀请赛，那么至少需要答对 题才有机会进入邀请赛．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设答对题才有机会进入邀请赛，
根据题意得：，
解得：，
∴至少需要答对题才有机会进入邀请赛，
故答案为：．
【分析】
由题意知留空比答答错多得1.5分，则得分答对题目数留空题目数，结合得分不少于分，可列出关于x的一元一次不等式并求出满足条件的整数解即可．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·平湖期末）解下列关于x的不等式（组）：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组解集是；
（2）解：，
，
当时，，
原不等式化为：，
，
；
当时，，
原不等式化为：，
，
，
不等式解集为或．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先求出两个不等式的解集，然后根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小找不到”解题即可．
（2）分为a>0，a<0两种情况，去绝对值、移项、合并同类项、系数化为1解不等式即可．
（1）解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
不等式组解集是；
（2）解：，
，
当时，，
原不等式化为：，
，
；
当时，，
原不等式化为：，
，
，
不等式解集为或．
18．（2024八上·钱塘期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解为．
【答案】（1）解：∵方程组，
解得：，
∵ 方程组的解满足为非正数，为负数，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）得，
∴，，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∵不等式的解为，
∴，
解得：，
由（1）得，
∴，
∵为整数，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组；绝对值的概念与意义；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）利用“加减消元法”解方程组得出，由方程组的解满足的条件得到关于的不等式组并解之即可；
（2）结合（1）中的取值范围判断出，，然后利用绝对值的意义进行化简即可；
（3）利用不等式的基本性质可得，结合（1）所求的范围知，继而可得整数的值．
19．（2024八上·鄞州期末）随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元．
（1）求A模型和B模型的单价．
（2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】（1）解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，
依题意得：，
解得：．
答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元
（2）解：设购买A模型m个，则购买B模型个，依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）；
方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）；
方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）．
∵，
∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据题意列二元一次方程组，解题即可；
（2）设购买A模型m个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，得到关于m的一元一次不等式组，求出m的取值范围，然后得到购买方案，再根据总价=单价×数量可求出方案所需费用，比较解题即可．
20．（2023八上·萧山期中）某厨具店购入10台A型电饭煲和20台B型电饭煲进行销售，共花费5600元．已知每台B型电饭煲的进价比A型电饭煲少20元．
（1）A，B两种型号的电饭煲每台进价分别为多少元？
（2）为了满足市场需求，厨具店决定用不超过9560元的资金再次购入这两种型号的电饭锅共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，厨具店一共有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，若50台电饭煲全部售完，已知A型电饭煲售价为每台300元，B型电饭煲售价为每台260元．则用哪种进货方案厨具店获利最大？并请求出最大利润．
【答案】（1）解：设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为 （x-20）元，
根据题意，得10x+20（x-20）＝5600，
解得x＝200，
∴x-20＝180，
答：每台A型电饭煲进价为200元，每台B型电饭煲进价为180元．
（2）解：设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲（50-a） 台，
，
解得25≤a≤28，
∵a为整数，
∴a＝25、26、28，
方案1：A型号25台，B型号25台，
方案2：A型号26台，B型号24台，
方案6：A型号27台，B型号23台，
方案4：A型号28台，B型号22台；
（3）解：方法一：每台A型电饭煲利润：300-200＝100元，
每台B型电饭煲利润：260-180＝80元，
方案1利润：100×25+80×25＝4500元，
方案5利润：100×26+80×24＝4520元，
方案3利润：100×27+80×23＝4540元，
方案4利润：100×28+80×22＝4560元，
∴方案5：购入A型号28台，B型号22台时获利最大，
方法二：每台A型电饭煲利润：300-200＝100元，
每台B型电饭煲利润：260-180＝80元＜100元，
∴A型电饭煲的数量越多，获利越多，
∴方案4：购入A型号28台，B型号22台时获利最大．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台A型电饭煲进价为x元，则每台B型电饭煲进价为 （x-20）元，根据“ 共花费5600元 ”列出方程并解之即可；
（2）设再次购入A型电饭煲a台，B型电饭煲（50-a） 台，根据：总资金不超过9560元和A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲的数量，列出不等式组，求出其整数解即可；
（3）分别求出（2）中每种方案的利润，再比较即可.
21．（2024八上·余姚期中）对m、n定义一种新运算“ ”，规定：m n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5 6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2 3＝1，3 （﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“ ”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m n＝n m”都成立，试探究a、b应满足的关系．
【答案】（1）解：①由题意，∵2 3＝1，3 （﹣1）＝10，
∴可得方程组．
∴解得
∴a＝1，b＝2．
②由题意，∵a＝1，b＝2，
∴不等式组可化为
∴
又∵上面的不等式组有且只有两个整数解，
∴2≤＜3．
∴23≤t＜26
（2）解：由m n＝n m，
∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5．
∴ma﹣nb﹣na+mb＝0．
∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0．
∴（a+b）（m﹣n）＝0．
又∵m，n为任意数，
∴（m﹣n）不一定等于0．
∴a+b＝0
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）①根据定义的新运算和二元一次方程组求解，、的值；
②根据定义的新运算和不等式组的解法，，解不等式组的解集，根据已知条件不等式组有且只有两个整数解求出的值；
（2）根据定义新运算，根据 ，通过移项、合并同类项、以及任意数m、n，求出a与b的关系.
22．（2024八上·哈尔滨开学考）阅读以下材料：对于三个数，，，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；解决下列问题：
（1）＝ ，若，则的范围为 ；
（2）①如果，求；
②根据①，你发现了结论“如果，那么 （填，，的大小关系）”；
③运用②的结论，填空：
若，则 ．
【答案】（1），
（2）①，
又，
，
，解得：，
②；③
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：，
，
，解得：，
故答案为：，，
（2）解：②当时，，即：，
又，即：，
，即：，
，
当时，和时，同理可证：，
③，
，即：，解得：，
，
故答案为：①；②；③．
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可；
（2）①利用题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可；
②利用题干中的定义及计算方法列出不等式组，再求解即可得到；
③利用题干中的定义及计算方法列出方程组，再求解即可.
（1）解：，
，
，解得：，
故答案为：，，
（2）解：①，
又，
，
，解得：，
②当时，，即：，
又，即：，
，即：，
，
当时，和时，同理可证：，
③，
，即：，解得：，
，
故答案为：①；②；③．
23．（2024八上·新会开学考）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．
例如：不等式被不等式“包含”．
（1）下列不等式（组）中，能被不等式“包含”的是 ．
A、 B、 C、 D、
（2）若关于x的不等式被“包含”，若且，求M的最小值．
（3）已知 ，，且k为整数，关于x的不等式P：，Q：，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）C
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19。
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；
不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴。
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故答案为：C。
【分析】（1）对选项中的各个不等式和不等式组进行求解，然后再根据题干要求，确定即可。
（2）根据题干信息，可得，求出a的解集，然后再根据已知条件：，求出b、c关于a的关系式，然后再将以上关系式代入 ，求出，最后再结合a的取值，即可求出M的最小值。
（3）根据已知条件，解方程组：解方程组，求出m、n关于k的值，然后再根据，，求出，然后再根据K的取值特性，求出k的值；最后再根据P、Q之间的包含关系：，进而求出k的，由此即可得到答案。
（1）解：A、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
B、不等式的解集为，
∴不等式不能被不等式“包含”，不符合题意
C、不等式的解集为，
∴不等式能被不等式“包含”，符合题意
D、不等式组无解，
∴不等式组不能被不等式“包含”，不符合题意
故选C；
（2）解：关于x的不等式被“包含”，
∴
解得 ，
又∵，
解得．
∴，
∵，
∴，
∴M的最小值是19．
（3）解：解方程组得
∵，，
∴
解得，
∵k为整数，
∴k的值为，0，1，2；
不等式P：整理得，；不等式Q：的解集为 ，
∵P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”
∴不等式P：的解集为 ，
∴，且，
解得，
∴．
24．（2024八上·柯桥期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素材1 某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，右图表是近两周的销售情况： 销售时段徽章（个）钥匙扣（个）销售收入（元）第一周43130第二周55200
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）
素材2 该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个．
问题解决
任务1 请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价
任务2 该商店至少采购徽章多少个？
任务3 请结合素材2中的信息，帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？
【答案】解：任务1：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，
根据题意，得，
解得，
答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元；
任务2：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，
根据题意，得，
解得，
答：该商店至少采购徽章10个；
任务3：根据题意，得，
解得，
∵，且a为正整数，
∴a可以为10，11，12，
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元）；
当时，总利润为（元），
∵，
∴在这些采购方案中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，该商店获利最高．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据题意设亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元，由题中的相等关系“4徽章收入+3钥匙扣收入=130，5徽章收入+5钥匙扣收入=200”可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
任务2：根据题意，设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个，由题中的不等关系"a个徽章的进货费用+(50-a)个钥匙扣的进货费用≤710"列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义即可求解；
任务3：根据题意，由利润＝单件利润×数量列关于a的不等式，解不等式并结合a的实际意义可得a的值，分别计算总利润并比较大小即可判断求解．
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