第四章《图形与坐标》培优卷—浙教版八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子.如图，棋盘中心方子的位置用(-1，0)表示，右下角方子的位置用(0，-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是( ).
A．(-2，1) B．(-1，1) C．(1，-2) D．(-1，-2)
【答案】B
【知识点】轴对称图形；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据图中右下角方子位置判断坐标系的原点是右下角方子上方一个单位处，即中间一行最右边圆子处，如图．
当棋子放在（-1，1）处时，构成一个轴对称图形．
故答案为：B.
【分析】先根据题中点的坐标建立适当平面直角坐标系，再用成轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等确定第4枚圆子的位置，从而得到第4枚圆子坐标.
2．（2024八上·龙马潭开学考）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，∴可建立如下所示的平面直角坐标系，
可得 C的坐标为（2，-3）.
故答案为：B.
【分析】根据表示叶片“顶部”A，B两点的坐标可确定原点的位置，然后建立适当的平面直角坐标系，再根据点C在平面直角坐标系中的位置即可求解．
3．一个图案上各点的横坐标都不变，纵坐标变为原来的相反数，但图案却未发生任何变化.下列叙述中，正确的是( ).
A．原图案各点一定都在x轴上
B．原图案各点一定都在y轴上
C．原图案是轴对称图形，对称轴是x轴
D．原图案是轴对称图形，对称轴是y轴
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵ 在x轴上的点的坐标为（x，0），与题意不相符
∴A选项是错误的.
∵在y轴上的点的坐标为（0，y），与题意不相符
∴B选项是错误的.
∵ 关于x轴对称的点的特征：横坐标不变， 纵坐标变为原来的相反数 ，与题意相符
∴C选项是正确的
∵ 关于y轴对称的点的特征：纵坐标不变， 横坐标变为原来的相反数，与题意不相符
∴D选项是错误的.
故答案为：C.
【分析】由平面直角坐标系上的点的特点为可知选项A、B错误的；由关于对称轴对称的点的特征可知选项D是错误的，选项B是正确的.
4．（2024八上·江油开学考）将线段在平面直角坐标系中平移，已知点，，将线段平移后，其两个端点的对应点分别为，，则它的平移情况是（ ）
A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵，，平移后点的对应点分别为，
∴A，B两点横坐标变化情况为：，，
A，B两点纵坐标变化情况为：，，
∴线段向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度．
故答案为：C．
【分析】根据平移规律是“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”判断即可．
5．小明为画一个零件的轴截面(图①)，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图②所示的直角坐标系.若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是( ).
A．(5，30) B．(8，10) C．(9，10) D．(10，10)
【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥y轴于D，
则BD=5，CD=50÷2-16=9，OA=OD-AD=40-30=10．
∴点P坐标为：(9，10)
故答案为：C.
【分析】过点C作CD⊥y轴于D，根据各点位置及线段之间的关系即可求出答案.
6． 若点M(x，y)坐标满足 则点M所在的象限是( )
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第二象限或第三象限 D．无法确定
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
xy=-1
当x>0时，y<0
当x<0时，y>0
点M所在的象限是第二象限或第四象限
故答案为：B
【分析】根据可得xy=-1，则当x>0时，y<0，当x<0时，y>0，点M所在的象限是第二象限或第四象限。
7．（2024八上·杭州期中）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，
∴，
解得：，
∴a的取值范围是，
的取值范围在数轴上表示如图：
故答案为：C．
【分析】先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可．
8．（2024八上·潮安期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故答案为：D．
【分析】利用等腰三角形的判定方法和性质及点坐标的定义分析求解即可.
9．（2025八上·滨江期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，连接
当点在上时：
和关于对称
，即
得：
当点在的延长线上时，同理可得
故答案为：A．
【分析】分为当点在上，点在的延长线上两种情况，过点作于，连接，证明，即可得到，然后根据勾股定理得到，解题即可．
10．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第三章《位置与坐标》单元测试卷）如图，一个点在第一象限及x轴.y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，5） C．（5，0） D．（5，5）
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】3秒时到了（1，0）；8秒时到了（0，2）；15秒时到了（3，0）；24秒到了（0，4）；35秒到了（5，0）；48秒到了（0，6）；63秒到了（7，0）；∴那么第63秒后质点所在位置的坐标是（7，0）．
故答案为：C
【分析】抓住已知条件：一个点在第一象限及x轴.y轴上运动，且每秒移动一个单位，观察可得出点的移动和时间的关系，找出规律，即可解答。
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图所示是一组密码的一部分.为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”.目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”，若“今”所对应的字为“努”，那么破译“正做数学”的真实意思是 .
【答案】祝你成功
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是对应文字横坐标加1，纵坐标加2、
根据图形可知，“今”“天”“考”“试”四个字所在的位置分别为（3，2），（5，1），（1，5），（6，6），得到密码钥匙是（（x+1，y+2）．
∵“正”“做”“数”“学”四个字的位置分别为（4，2），（5，6），（7，2），（2，4），其对应四个字所在位置是（5，4），（6，8），（8，4），（3，6），真实意思是“祝你成功”．
故答案为：祝你成功.
【分析】根据文字所在位置总结规律即可求出答案.
12．（2024八上·玉州期末）平面直角坐标系中有点、，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 .
【答案】或
【知识点】点的坐标；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=，
∵以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，
可得：AC＝5或BC＝5，
①如图，当∠C1AB＝90°时，AC1＝5，
过点C1作y轴的垂线段，交y轴于点E，
∴∠EAC1＋∠BAO＝90°，
∵C1E⊥EA，
∴∠EAC1＋∠EC1A＝90°，
∴∠BAO＝∠AC1E，
在△C1EA和△AOB中，
，
∴△C1EA≌△AOB（AAS），
∴EC1＝AO＝6，EA＝OB＝8，
∴EO＝EA＋AO＝14，
∴C1（6，14）；
②如图，当∠C2BA＝90°时，BC2＝5，
同（1）中得△AOB≌△BDC2（AAS），
∴BD＝AO＝6，C2D＝BO＝8，
∴OD＝OB＋BD＝14，
∴C2（14，8），
综上所述，点C的坐标是（6，14）或（14，8），
故答案为：（6，14）或（14，8）．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再分类讨论：①如图，当∠C1AB＝90°时，AC1＝5，②如图，当∠C2BA＝90°时，BC2＝5，再利用全等三角形的判定方法和性质求出BD＝AO＝6，C2D＝BO＝8，再分别求出ED和OD的长，即可得到点C的坐标.
13． 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别是(-1，-1)，(-3，-1)，把这个正方形先关于x轴对称，再向右平移2个单位，得到正方形A B C D ，则点C的对应点C 的坐标是 .
【答案】(-1，3)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点A，B的坐标分别是(-1，-1)，(-3，-1)，
AB=-1-（-3）=2
四边形ABCD是正方形
BC=CA=2
点C（-3，-3）
正方形先关于x轴对称， 再向右平移2个单位
点C的对应点C 的坐标是(-1，3)
故答案为：(-1，3)
【分析】根据点A，B的坐标分别是(-1，-1)，(-3，-1)可得AB=2，则BC=CA=2，点C（-3，-3）
根据关于x轴对称点的特点， 再向右平移2个单位可得点C的对应点C 的坐标是(-1，3)。
14．（2024八上·中山期中）如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为 ．
【答案】或
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，，
如图，若，
∴，
∴点C的坐标为；
如图，若，
∴，，
∴点C的坐标为；
故答案为：或
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的性质．根据题意可得，，再根据全等三角形的性质可知分两种情况：若，若，利用全等三角形的性质可求出对应边的长度，据此可求出点C的坐标．
15．（2024八上·长兴月考）如图，中，，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C，则点B的坐标为
【答案】（0，8）
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴，如图，
∴
又∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
故答案为：（0，8）.
【分析】过点C作CD⊥x轴，利用"AAS"证明则最后结合点C的坐标即可求解.
16．在直角坐标系中，我们将(-b，-a)称为(a，b)的“关联点”.例如，点(-2，-1)是点(1，2)的关联点.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限.
【答案】二或四
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标
【解析】【解答】解：若两点均在第一象限，贝无解；
若两点均在第二象限，则得a<0，b>0；
若两点均在第三象限，贝无解；
若两点均在第四象限，则导a>0，b<0．
故答案为：二或四
【分析】根据各象限内点的坐标特征分情况讨论，建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·杭州期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）请以轴为对称轴，画出与对称的；
（2）点与点关于轴对称，则 ， ．
（3）如果要使与全等，那么点的坐标是 ．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2），
（3）或或
【知识点】三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）根据题意，得，
∵点与点关于轴对称，
∴，
解得：，
故答案为：，；
（3）如图，与全等，
∴点的坐标是，，.
【分析】（1）根据轴对称的性质，先找到点关于轴对称的点，然后顺次连接对称点即可；
（2）根据两坐标点关于轴对称的性质：横坐标互为相反数，纵坐标相等列出关于的方程组，解方程组即可；
（3）根据全等三角形的性质先作图，结合图形写出点的坐标即可．
（1）解：（1）如图，即为所求．
（2）∵点与点关于轴对称，
∴，
解得：．
故答案为：，．
（3）解：如图，与全等，则点的坐标是，，，
18．（2025八上·镇海区期末）在平面直角坐标系中，每一小格正方形的边长均为 1 ，点 的位置如图所示．
（1）点 的坐标为（ ， ），点 的坐标为（ ， ）．
（2）在坐标系中找一格点 ，使 是以 为腰的等腰三角形．
（3）在图中画出点 关于 轴的对称点 ，并求出 。
【答案】（1）1；0；4；4
（2）解：如图， 点 即为所求；
（3）解：如图， 即为所求，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：(1) 点A的坐标为(1，0)， 点B的坐标为(4，4)
故答案为： 1， 0， 4， 4；
【分析】(1)根据平面直角坐标系即可得点A的坐标和点B的坐标；
(2)根据网格即可在坐标系中找一格点P，使 是以PB为腰的等腰三角形；
(3)根据轴对称的性质即可在图中画出点A关于y轴的对称点 利用网格即可求出
19．为更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视.
（1）在下图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A，B的位置分别表示为.
（2）在(1)建立的平面直角坐标系xOy中，
①表示古树C的位置坐标为 .
②标出另外三棵古树的位置.
③如果"”表示园林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出园林工人从原点О出发巡视6棵古树的路线(画出一条即可).
【答案】（1）解：如图.
（2）解：①古树C的位置坐标为（-1，2）；
故答案为：（-1，2）.
②D（-1，-2），E（1，0），F（1，1）的位置如上图.
③如上图，园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线：
（0，0）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（-1，2）→（-1，-2）→（0，-1）.
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据A（1，2），B（0，-1）建立坐标系即可；
（2）①根据坐标系中C的位置即可求得；
②直接根据点的坐标描出各点；
③根据6棵古树的位置得出运动路线即可．
20．（2023八上·开福开学考）阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”例如：点，令得，，所以不是“郡麓点”；，令得，，所以是“郡麓点”．
（1）请判断点，是否为“郡麓点”：
（2）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；
（3）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数，的值．
【答案】（1）不是“郡麓点“，是“郡麓点”
（2）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
的值为．
（3）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
，为正整数，
或或或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；点的坐标
【解析】【解答】解：（1），令
解得：
∴不是“郡麓点“
，令
解得：
∴是“郡麓点”
故答案为：不是“郡麓点“，是“郡麓点”
【分析】（1）根据“郡麓点”的定义进行判断即可求出答案；
（2）根据“郡麓”点的定义得出t值即可求出答案；
（3）根据“郡麓”点的定义进行计算即可求出答案。
21．（2024七下·江北期末）阅读材料：对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“a型平移”，点称为将点P进行“a型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“a型平移”称为将图形G进行“a型平移”．
例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“-1型平移”．
已知点和点．
（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ；将线段AB进行“-1型平移”后得到线段，线段的中点坐标为 ．
（2）若线段AB进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，求a的取值范围．
（3）已知点，，将线段CD进行“1型平移”后得到的对应线段为，在坐标轴上确定一点M，使得，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一种情况写出求解过程．
【答案】（1）；
（2）解：由定义得线段AB进行“a型平移”后点A、点B的坐标为，
①与y轴有公共点时，解得
②与x轴有公共点时，解得
（3）解：点，，将线段进行“1型平移”后得到的对应线段为，
∴，
∵，，．
∴，
∴，
∴，
①当点在轴上时，设，则：
解得，，
∴；
②当点在轴上时，设，则：，
∴，
解得，，或，
∴，；
综上，点的坐标为，，.
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
所以，线段的中点坐标为；
故答案为：，；
【分析】（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为；将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，将点进行“-1型平移”后的对应点的坐标为，再根据中点坐标公式求解即可；
（2）分类讨论：①与y轴有公共点时线段；②与x轴有公共点时，分别求解即可；
（3）先求出，得，再分点在轴上和轴上两种情况，结合三角形面积公式求解即可.
22．（2024八上·浦江期末）如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的三点坐标分别为．
（1）如图，连接，得到．将沿着轴翻折后连接求的面积与的面积的差．
（2）在上有一点．若对作平移运动，且平移后点的对应点坐标为，画出平移后的三角形，平移后点的坐标是______．
（3）将沿着轴折叠，点的对应点是．若在轴上存在一点，使最小，求点的坐标．
【答案】（1）解：如图，
∵，；，关于轴对称，关于轴对称的点为，
∴与关于轴对称，
∴，
∴的面积与的面积的差等于．
（2）解：如图，即为所求作的三角形；
∵平移到，
∴平移方式为：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；
∵，
∴平移后D的坐标为．
（3）如图，与关于轴对称，
∵，关于轴对称，
∴连接与轴交于点，则，此时最小，
∴．
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画图，然后根据全等求面积差即可；
（2）先确定平移规律：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；然后画图，得到平移后D的坐标；
（3）先画关于轴对称的图形，连接与轴交于点，根据两点间线段最短解题即可．
23．（2023七下·椒江期末）对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．
（1）已知点，，，．
①在上面四点中，与点为“和合点”的是 ▲ ；
②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为 ▲ ；
③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．
（2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：①A，C；
②或；
③∵点在第二象限，点在第四象限，
∴，，，，
∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，
∴，即
解得；
（2）解：∵点是线段上的一动点，且满足，
∴
∴点R到两坐标轴的距离之和为
∵R，S两点为“和合点”，
∴．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【解答】解：（1）①∵，，，∴点A到两坐标轴的距离之和为，
点B到两坐标轴的距离之和为，
点C到两坐标轴的距离之和为，
点D到两坐标轴的距离之和为，
∵点到两坐标轴的距离之和为，
∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C．
故答案为：A，C；
（2）∵点，过点F作直线轴，点G直线l上，
∴设
∴点G到两坐标轴的距离之和为
∵A、G两点为“和合点”
∴，解得
∴点G的坐标为或；
【分析】（1）①利用点A、B、C、D的坐标，分别求出它们到两坐标轴的距离之和，再求出点E到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的定义可作出判断；②过点F作l⊥x轴，点G在直线l上，设点G（-3，a），可得到点G到两坐标轴的距离之和，再根据A、G两点为“和合点”，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点G的坐标；③利用点M在第二象限，点N在第四象限，可得到a，b的取值范围，再根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
（2）利用已知可得到y=x+5，再求出点R到两坐标轴的距离之和为5，根据R，S两点为“和合点”可得到m的取值范围.
24．（2024八上·长沙期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称．
（1）请直接写出B，C两点的坐标；
（2）如图1，分别以为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接，求证：；
（3）如图2，点F为y轴上一动点，点在直线上，若连接E，F，G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，求符合要求的m的值．
【答案】（1），
（2）证明：如图，作，交轴于点，则，
点A、关于轴对称，
∴轴是线段的垂直平分线，
，
∵与是等腰直角三角形，
，
∴，
∴，
，，且，
，
，
，又
，
，又
，
，
∵，
∴．
（3）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
如图，作轴于点，则，
，，
∴，
，，
，
，；
①当时，如图2，
∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上，
∴此时点F与点B重合，点G与点C重合，
∴；
②当时，点F与点B重合，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点C为B、G的中点，
∴，
解得：；
③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，m的值为2或4或6．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵，∴，，
∴，，
∴，，
又∵点C与点A关于y轴对称，
∴
【分析】（1）先根据非负性得到a，b的值，再根据轴对称的性质即可得到点C的坐标；
（2）作，交轴于点，则，先根据垂直平分线的性质得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意的等量代换证明得到，从而根据等腰三角形的性质（三线合一）即可求解；
（3）先根据等腰直角三角形的性质得到，，作轴于点，则，根据三角形全等的判定与性质证明得到，，进而即可得到点L和点E的坐标，从而分类讨论：①当时，②当时，③当时，再根据三角形全等的判定与性质结合线段的运算和角的运算即可求解。
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
又∵点C与点A关于y轴对称，
∴；
（2）证明：如图，作，交轴于点，则，
点A、关于轴对称，
∴轴是线段的垂直平分线，
，
∵与是等腰直角三角形，
，
∴，
∴，
，，且，
，
，
，又
，
，又
，
，
∵，
∴．
（3）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
如图，作轴于点，则，
，，
∴，
，，
，
，；
①当时，如图2，
∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上，
∴此时点F与点B重合，点G与点C重合，
∴；
②当时，点F与点B重合，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点C为B、G的中点，
∴，
解得：；
③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，m的值为2或4或6．
1 / 1第四章《图形与坐标》培优卷—浙教版八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子.如图，棋盘中心方子的位置用(-1，0)表示，右下角方子的位置用(0，-1)表示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形.她放的位置是( ).
A．(-2，1) B．(-1，1) C．(1，-2) D．(-1，-2)
2．（2024八上·龙马潭开学考）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．一个图案上各点的横坐标都不变，纵坐标变为原来的相反数，但图案却未发生任何变化.下列叙述中，正确的是( ).
A．原图案各点一定都在x轴上
B．原图案各点一定都在y轴上
C．原图案是轴对称图形，对称轴是x轴
D．原图案是轴对称图形，对称轴是y轴
4．（2024八上·江油开学考）将线段在平面直角坐标系中平移，已知点，，将线段平移后，其两个端点的对应点分别为，，则它的平移情况是（ ）
A．向左平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
B．向右平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
C．向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度
D．向左平移了1个单位长度，向下平移了2个单位长度
5．小明为画一个零件的轴截面(图①)，以该轴截面底边所在的直线为x轴，对称轴为y轴，建立如图②所示的直角坐标系.若坐标轴的单位长度取1mm，则图中转折点P的坐标表示正确的是( ).
A．(5，30) B．(8，10) C．(9，10) D．(10，10)
6． 若点M(x，y)坐标满足 则点M所在的象限是( )
A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限
C．第二象限或第三象限 D．无法确定
7．（2024八上·杭州期中）若点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024八上·潮安期末）在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（2025八上·滨江期末）在中，，直线交于点，交于点，点关于直线的对称点在边上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2018-2019学年数学北师大版八年级上册第三章《位置与坐标》单元测试卷）如图，一个点在第一象限及x轴.y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…]，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，5） C．（5，0） D．（5，5）
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图所示是一组密码的一部分.为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”.目前，已破译出“今天考试”的真实意思是“努力发挥”，若“今”所对应的字为“努”，那么破译“正做数学”的真实意思是 .
12．（2024八上·玉州期末）平面直角坐标系中有点、，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，则点C的坐标是 .
13． 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别是(-1，-1)，(-3，-1)，把这个正方形先关于x轴对称，再向右平移2个单位，得到正方形A B C D ，则点C的对应点C 的坐标是 .
14．（2024八上·中山期中）如图，点A坐标为，点B坐标为，若在y轴右侧有一点C使得与全等，则点C的坐标为 ．
15．（2024八上·长兴月考）如图，中，，顶点A在x轴负半轴上，B在y轴正半轴上，且C，则点B的坐标为
16．在直角坐标系中，我们将(-b，-a)称为(a，b)的“关联点”.例如，点(-2，-1)是点(1，2)的关联点.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·杭州期中）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）请以轴为对称轴，画出与对称的；
（2）点与点关于轴对称，则 ， ．
（3）如果要使与全等，那么点的坐标是 ．
18．（2025八上·镇海区期末）在平面直角坐标系中，每一小格正方形的边长均为 1 ，点 的位置如图所示．
（1）点 的坐标为（ ， ），点 的坐标为（ ， ）．
（2）在坐标系中找一格点 ，使 是以 为腰的等腰三角形．
（3）在图中画出点 关于 轴的对称点 ，并求出 。
19．为更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视.
（1）在下图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A，B的位置分别表示为.
（2）在(1)建立的平面直角坐标系xOy中，
①表示古树C的位置坐标为 .
②标出另外三棵古树的位置.
③如果"”表示园林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出园林工人从原点О出发巡视6棵古树的路线(画出一条即可).
20．（2023八上·开福开学考）阅读材料并回答下列问题：
当，都是实数，且满足，就称点为“郡麓点”例如：点，令得，，所以不是“郡麓点”；，令得，，所以是“郡麓点”．
（1）请判断点，是否为“郡麓点”：
（2）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求的值；
（3）若以关于，的方程组的解为坐标的点是“郡麓点”，求正整数，的值．
21．（2024七下·江北期末）阅读材料：对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“a型平移”，点称为将点P进行“a型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“a型平移”称为将图形G进行“a型平移”．
例如：将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“-1型平移”．
已知点和点．
（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ；将线段AB进行“-1型平移”后得到线段，线段的中点坐标为 ．
（2）若线段AB进行“a型平移”后与坐标轴有公共点，求a的取值范围．
（3）已知点，，将线段CD进行“1型平移”后得到的对应线段为，在坐标轴上确定一点M，使得，请写出所有符合条件的点M的坐标，并选择一种情况写出求解过程．
22．（2024八上·浦江期末）如图，在平面直角坐标系中，以为顶点的三点坐标分别为．
（1）如图，连接，得到．将沿着轴翻折后连接求的面积与的面积的差．
（2）在上有一点．若对作平移运动，且平移后点的对应点坐标为，画出平移后的三角形，平移后点的坐标是______．
（3）将沿着轴折叠，点的对应点是．若在轴上存在一点，使最小，求点的坐标．
23．（2023七下·椒江期末）对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．
（1）已知点，，，．
①在上面四点中，与点为“和合点”的是 ▲ ；
②若点，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为 ▲ ；
③若点在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．
（2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
24．（2024八上·长沙期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称．
（1）请直接写出B，C两点的坐标；
（2）如图1，分别以为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接，求证：；
（3）如图2，点F为y轴上一动点，点在直线上，若连接E，F，G三点（按逆时针顺序排列）恰好围成一个等腰直角三角形，求符合要求的m的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据图中右下角方子位置判断坐标系的原点是右下角方子上方一个单位处，即中间一行最右边圆子处，如图．
当棋子放在（-1，1）处时，构成一个轴对称图形．
故答案为：B.
【分析】先根据题中点的坐标建立适当平面直角坐标系，再用成轴对称图形的对应点到对称轴的距离相等确定第4枚圆子的位置，从而得到第4枚圆子坐标.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵表示叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为，，∴可建立如下所示的平面直角坐标系，
可得 C的坐标为（2，-3）.
故答案为：B.
【分析】根据表示叶片“顶部”A，B两点的坐标可确定原点的位置，然后建立适当的平面直角坐标系，再根据点C在平面直角坐标系中的位置即可求解．
3．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵ 在x轴上的点的坐标为（x，0），与题意不相符
∴A选项是错误的.
∵在y轴上的点的坐标为（0，y），与题意不相符
∴B选项是错误的.
∵ 关于x轴对称的点的特征：横坐标不变， 纵坐标变为原来的相反数 ，与题意相符
∴C选项是正确的
∵ 关于y轴对称的点的特征：纵坐标不变， 横坐标变为原来的相反数，与题意不相符
∴D选项是错误的.
故答案为：C.
【分析】由平面直角坐标系上的点的特点为可知选项A、B错误的；由关于对称轴对称的点的特征可知选项D是错误的，选项B是正确的.
4．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵，，平移后点的对应点分别为，
∴A，B两点横坐标变化情况为：，，
A，B两点纵坐标变化情况为：，，
∴线段向右平移了1个单位长度，向上平移了2个单位长度．
故答案为：C．
【分析】根据平移规律是“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”判断即可．
5．【答案】C
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥y轴于D，
则BD=5，CD=50÷2-16=9，OA=OD-AD=40-30=10．
∴点P坐标为：(9，10)
故答案为：C.
【分析】过点C作CD⊥y轴于D，根据各点位置及线段之间的关系即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：
xy=-1
当x>0时，y<0
当x<0时，y>0
点M所在的象限是第二象限或第四象限
故答案为：B
【分析】根据可得xy=-1，则当x>0时，y<0，当x<0时，y>0，点M所在的象限是第二象限或第四象限。
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，
∴，
解得：，
∴a的取值范围是，
的取值范围在数轴上表示如图：
故答案为：C．
【分析】先根据第一象限内点的符号特征，列出不等式组，求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出解集即可．
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：以AC、AB为腰的三角形有3个，x轴正半轴上的点不能成立，因为此时ABC三点共线，不能构成三角形；
以AC、BC为腰的三角形有2个；
以BC、AB为腰的三角形有2个．
则点C的个数是7．
故答案为：D．
【分析】利用等腰三角形的判定方法和性质及点坐标的定义分析求解即可.
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作于，连接
当点在上时：
和关于对称
，即
得：
当点在的延长线上时，同理可得
故答案为：A．
【分析】分为当点在上，点在的延长线上两种情况，过点作于，连接，证明，即可得到，然后根据勾股定理得到，解题即可．
10．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】3秒时到了（1，0）；8秒时到了（0，2）；15秒时到了（3，0）；24秒到了（0，4）；35秒到了（5，0）；48秒到了（0，6）；63秒到了（7，0）；∴那么第63秒后质点所在位置的坐标是（7，0）．
故答案为：C
【分析】抓住已知条件：一个点在第一象限及x轴.y轴上运动，且每秒移动一个单位，观察可得出点的移动和时间的关系，找出规律，即可解答。
11．【答案】祝你成功
【知识点】有序数对
【解析】【解答】解：若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是对应文字横坐标加1，纵坐标加2、
根据图形可知，“今”“天”“考”“试”四个字所在的位置分别为（3，2），（5，1），（1，5），（6，6），得到密码钥匙是（（x+1，y+2）．
∵“正”“做”“数”“学”四个字的位置分别为（4，2），（5，6），（7，2），（2，4），其对应四个字所在位置是（5，4），（6，8），（8，4），（3，6），真实意思是“祝你成功”．
故答案为：祝你成功.
【分析】根据文字所在位置总结规律即可求出答案.
12．【答案】或
【知识点】点的坐标；勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=，
∵以AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，
可得：AC＝5或BC＝5，
①如图，当∠C1AB＝90°时，AC1＝5，
过点C1作y轴的垂线段，交y轴于点E，
∴∠EAC1＋∠BAO＝90°，
∵C1E⊥EA，
∴∠EAC1＋∠EC1A＝90°，
∴∠BAO＝∠AC1E，
在△C1EA和△AOB中，
，
∴△C1EA≌△AOB（AAS），
∴EC1＝AO＝6，EA＝OB＝8，
∴EO＝EA＋AO＝14，
∴C1（6，14）；
②如图，当∠C2BA＝90°时，BC2＝5，
同（1）中得△AOB≌△BDC2（AAS），
∴BD＝AO＝6，C2D＝BO＝8，
∴OD＝OB＋BD＝14，
∴C2（14，8），
综上所述，点C的坐标是（6，14）或（14，8），
故答案为：（6，14）或（14，8）．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再分类讨论：①如图，当∠C1AB＝90°时，AC1＝5，②如图，当∠C2BA＝90°时，BC2＝5，再利用全等三角形的判定方法和性质求出BD＝AO＝6，C2D＝BO＝8，再分别求出ED和OD的长，即可得到点C的坐标.
13．【答案】(-1，3)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点A，B的坐标分别是(-1，-1)，(-3，-1)，
AB=-1-（-3）=2
四边形ABCD是正方形
BC=CA=2
点C（-3，-3）
正方形先关于x轴对称， 再向右平移2个单位
点C的对应点C 的坐标是(-1，3)
故答案为：(-1，3)
【分析】根据点A，B的坐标分别是(-1，-1)，(-3，-1)可得AB=2，则BC=CA=2，点C（-3，-3）
根据关于x轴对称点的特点， 再向右平移2个单位可得点C的对应点C 的坐标是(-1，3)。
14．【答案】或
【知识点】点的坐标；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵点A坐标为，点B坐标为，
∴，，
如图，若，
∴，
∴点C的坐标为；
如图，若，
∴，，
∴点C的坐标为；
故答案为：或
【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的性质．根据题意可得，，再根据全等三角形的性质可知分两种情况：若，若，利用全等三角形的性质可求出对应边的长度，据此可求出点C的坐标．
15．【答案】（0，8）
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥x轴，如图，
∴
又∵
∴
∴
在和中
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
故答案为：（0，8）.
【分析】过点C作CD⊥x轴，利用"AAS"证明则最后结合点C的坐标即可求解.
16．【答案】二或四
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标
【解析】【解答】解：若两点均在第一象限，贝无解；
若两点均在第二象限，则得a<0，b>0；
若两点均在第三象限，贝无解；
若两点均在第四象限，则导a>0，b<0．
故答案为：二或四
【分析】根据各象限内点的坐标特征分情况讨论，建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2），
（3）或或
【知识点】三角形全等及其性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）根据题意，得，
∵点与点关于轴对称，
∴，
解得：，
故答案为：，；
（3）如图，与全等，
∴点的坐标是，，.
【分析】（1）根据轴对称的性质，先找到点关于轴对称的点，然后顺次连接对称点即可；
（2）根据两坐标点关于轴对称的性质：横坐标互为相反数，纵坐标相等列出关于的方程组，解方程组即可；
（3）根据全等三角形的性质先作图，结合图形写出点的坐标即可．
（1）解：（1）如图，即为所求．
（2）∵点与点关于轴对称，
∴，
解得：．
故答案为：，．
（3）解：如图，与全等，则点的坐标是，，，
18．【答案】（1）1；0；4；4
（2）解：如图， 点 即为所求；
（3）解：如图， 即为所求，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：(1) 点A的坐标为(1，0)， 点B的坐标为(4，4)
故答案为： 1， 0， 4， 4；
【分析】(1)根据平面直角坐标系即可得点A的坐标和点B的坐标；
(2)根据网格即可在坐标系中找一格点P，使 是以PB为腰的等腰三角形；
(3)根据轴对称的性质即可在图中画出点A关于y轴的对称点 利用网格即可求出
19．【答案】（1）解：如图.
（2）解：①古树C的位置坐标为（-1，2）；
故答案为：（-1，2）.
②D（-1，-2），E（1，0），F（1，1）的位置如上图.
③如上图，园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线：
（0，0）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（-1，2）→（-1，-2）→（0，-1）.
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【分析】（1）根据A（1，2），B（0，-1）建立坐标系即可；
（2）①根据坐标系中C的位置即可求得；
②直接根据点的坐标描出各点；
③根据6棵古树的位置得出运动路线即可．
20．【答案】（1）不是“郡麓点“，是“郡麓点”
（2）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
的值为．
（3）解：方程组的解为，
点是“郡麓点”，
，
，
，
，
解得，
，为正整数，
或或或
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；点的坐标
【解析】【解答】解：（1），令
解得：
∴不是“郡麓点“
，令
解得：
∴是“郡麓点”
故答案为：不是“郡麓点“，是“郡麓点”
【分析】（1）根据“郡麓点”的定义进行判断即可求出答案；
（2）根据“郡麓”点的定义得出t值即可求出答案；
（3）根据“郡麓”点的定义进行计算即可求出答案。
21．【答案】（1）；
（2）解：由定义得线段AB进行“a型平移”后点A、点B的坐标为，
①与y轴有公共点时，解得
②与x轴有公共点时，解得
（3）解：点，，将线段进行“1型平移”后得到的对应线段为，
∴，
∵，，．
∴，
∴，
∴，
①当点在轴上时，设，则：
解得，，
∴；
②当点在轴上时，设，则：，
∴，
解得，，或，
∴，；
综上，点的坐标为，，.
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，
所以，的坐标为；
所以，线段的中点坐标为；
故答案为：，；
【分析】（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为；将点进行“型平移”后的对应点的坐标为，将点进行“-1型平移”后的对应点的坐标为，再根据中点坐标公式求解即可；
（2）分类讨论：①与y轴有公共点时线段；②与x轴有公共点时，分别求解即可；
（3）先求出，得，再分点在轴上和轴上两种情况，结合三角形面积公式求解即可.
22．【答案】（1）解：如图，
∵，；，关于轴对称，关于轴对称的点为，
∴与关于轴对称，
∴，
∴的面积与的面积的差等于．
（2）解：如图，即为所求作的三角形；
∵平移到，
∴平移方式为：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；
∵，
∴平移后D的坐标为．
（3）如图，与关于轴对称，
∵，关于轴对称，
∴连接与轴交于点，则，此时最小，
∴．
【知识点】轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质画图，然后根据全等求面积差即可；
（2）先确定平移规律：向左平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；然后画图，得到平移后D的坐标；
（3）先画关于轴对称的图形，连接与轴交于点，根据两点间线段最短解题即可．
23．【答案】（1）解：①A，C；
②或；
③∵点在第二象限，点在第四象限，
∴，，，，
∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，
∴，即
解得；
（2）解：∵点是线段上的一动点，且满足，
∴
∴点R到两坐标轴的距离之和为
∵R，S两点为“和合点”，
∴．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【解答】解：（1）①∵，，，∴点A到两坐标轴的距离之和为，
点B到两坐标轴的距离之和为，
点C到两坐标轴的距离之和为，
点D到两坐标轴的距离之和为，
∵点到两坐标轴的距离之和为，
∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C．
故答案为：A，C；
（2）∵点，过点F作直线轴，点G直线l上，
∴设
∴点G到两坐标轴的距离之和为
∵A、G两点为“和合点”
∴，解得
∴点G的坐标为或；
【分析】（1）①利用点A、B、C、D的坐标，分别求出它们到两坐标轴的距离之和，再求出点E到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的定义可作出判断；②过点F作l⊥x轴，点G在直线l上，设点G（-3，a），可得到点G到两坐标轴的距离之和，再根据A、G两点为“和合点”，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点G的坐标；③利用点M在第二象限，点N在第四象限，可得到a，b的取值范围，再根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值.
（2）利用已知可得到y=x+5，再求出点R到两坐标轴的距离之和为5，根据R，S两点为“和合点”可得到m的取值范围.
24．【答案】（1），
（2）证明：如图，作，交轴于点，则，
点A、关于轴对称，
∴轴是线段的垂直平分线，
，
∵与是等腰直角三角形，
，
∴，
∴，
，，且，
，
，
，又
，
，又
，
，
∵，
∴．
（3）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
如图，作轴于点，则，
，，
∴，
，，
，
，；
①当时，如图2，
∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上，
∴此时点F与点B重合，点G与点C重合，
∴；
②当时，点F与点B重合，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点C为B、G的中点，
∴，
解得：；
③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，m的值为2或4或6．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵，∴，，
∴，，
∴，，
又∵点C与点A关于y轴对称，
∴
【分析】（1）先根据非负性得到a，b的值，再根据轴对称的性质即可得到点C的坐标；
（2）作，交轴于点，则，先根据垂直平分线的性质得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，再结合题意的等量代换证明得到，从而根据等腰三角形的性质（三线合一）即可求解；
（3）先根据等腰直角三角形的性质得到，，作轴于点，则，根据三角形全等的判定与性质证明得到，，进而即可得到点L和点E的坐标，从而分类讨论：①当时，②当时，③当时，再根据三角形全等的判定与性质结合线段的运算和角的运算即可求解。
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
又∵点C与点A关于y轴对称，
∴；
（2）证明：如图，作，交轴于点，则，
点A、关于轴对称，
∴轴是线段的垂直平分线，
，
∵与是等腰直角三角形，
，
∴，
∴，
，，且，
，
，
，又
，
，又
，
，
∵，
∴．
（3）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
如图，作轴于点，则，
，，
∴，
，，
，
，；
①当时，如图2，
∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上，
∴此时点F与点B重合，点G与点C重合，
∴；
②当时，点F与点B重合，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点C为B、G的中点，
∴，
解得：；
③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，m的值为2或4或6．
1 / 1
