浙教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷（范围：1-3章）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·宁波期末）2024年巴黎奥运会中国体育代表团取得了40金27银24铜的优异成绩，下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】此题可根据“如果一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行求解.
2．（2018八上·南充期中）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A．5 B．6 C．11 D．16
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【解答】设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3．（2024八上·杭州期中）下列式子：①﹣2≤0；②3x+2y＞0；③b＝2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6；是不等式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：是不等式的为： ①﹣2≤0； ②3x+2y＞0； ④m≠3； ⑥x+5≤6；
故答案为：B.
【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子”判断即可.
4．（2024八上·拱墅期中）不等式 在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：在数轴上表示左侧的所有实数，不含于解集即为空心点；
故答案位：A．
【分析】在数轴上画不等式的解集时，“小于向左，大于向右”，“有等实心点，无等空心圆”．据此判断即可．
5．（2021八上·衢州期中）为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意；
C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】命题“若a>b，则a2>b2”为假命题应满足a>b，但a2≤b2，据此判断.
6．（2025八上·台州期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵直角三角形没被挡住的是两角和夹边，∴画出一个与原三角形全等的三角形，这两个三角形全等的依据为ASA.
故答案选：C．
【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断.
7．（2025八上·嵊州期末）如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到，即可得到，然后利用三角形的外角的性质解题即可．
8．（2024八上·西湖期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
9．（2024八上·杭州期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点G，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可知，，，从而可得出，得到，即可求解．
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，
结论（2）正确，符合题意；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
结论（1）正确，符合题意；
过点作于，作于，连接，如图：
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
∴结论（3）正确，符合题意；
又，OM=ON=OD=m，
，
结论（4）错误，不符合题意；
故正确的结论有3个，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可得到结论．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2023八上·龙湾期中）用不等式表示“与的差大于2” ．
【答案】5a－6b＞2
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：由题意得：5a 6b＞2，
故答案为：5a 6b＞2．
【分析】由题意列不等式即可求解．
12．（2025八上·诸暨期末）命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是
【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合
∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】把命题的已知和结论互换位置，即可写出其逆命题．
13．（2025八上·温州期中） 两个直角三角形积木 和 按如图所示摆放在水平桌面上， 已知 ， ， 把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点 处， 则
【答案】15°
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC，∠B=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∵ ，
∴∠ACD=60°+45°=105°，
由题意DG∥AC，则∠CDG=180°-105°=75°，
∵直角三角形CDE，∠CDE=90°，
∴∠EDG=90°-75°=15°，
故答案为：15°.
【分析】根据直角三角形的性质及平行线的性质求解角度即可.
14．（2024八上·西湖期中）如图是的角平分线，于点，若，，则的度数是 ．
【答案】10°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90° ．
∵∠C=40°，
∴∠DAC＝90°-∠C=50°，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝120°，
∴∠EAC＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE＝∠EAC ∠DAC＝10°．
故答案为：10°．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC的度数，根据角平分线定义求出∠EAC的度数，然后根据∠DAE＝∠EAC ∠DAC计算即可．
15．（2024八上·临海期中）如图，BD是△ABC的中线，CE是ABCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4.则△DEF 的面积为
【答案】
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ BD是△ABC的中线 ，
∴，
∵CE是△BCD的中线，
∴，
∵DF是△DEC的中线，
∴，
故答案为：.
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可.
16．（2024八上·杭州期中）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则 ．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①点在点左侧，
作，交的延长线于，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
根据题意知，，
设，则，
，
，
∴；
②如图，点在点右侧，作于，
用①中同样的解法可以得到，，
设，，，
，
∴．
故答案为：或．
【分析】
由于点D在射线CB上运动，当点D在点B左侧时，过点E作AC的垂线段交AC的延长线于点H，则可利用一线三等角全等模型证明，则由全等的性质结合已知可继续证明，则可得，再借助已知条件即可计算；当点D在点B右侧时，同理过点E作AC的垂线段EM，则可先证，再证，则、，再借助已知条件计算即可．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·杭州期中）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴解集在数轴上表示如下图所示：
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴解集在数轴上表示如下图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法，按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可.
（1）解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
在数轴上表示解集为：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集为．
18．（2024八上·杭州期中）如图，在正方形网格中点A，B， C均为格点，接要求作图(保留作图痕迹，不写作法)：
（1）作出 ABC关于直线1的对称图形 A'BC'：
（2）求 ABC的面积；
（3）在直线1上找一点D， 使AD+CD最小.
【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解： 的面积
（3）解：如图所示，点D即为所求.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)先做出点A、B、C关于直线l的对称点，然后连接即可；
(2)利用割补法求出三角形的面积即可；
(3)连接 交直线l于点D，则点D即为所作.
19．（2023八上·临海期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．已知△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为20cm，求OA的长．
【答案】（1）解：∵l1垂直平分AB，
∴DA＝DB.
同理，得EA＝EC.
∵△ADE的周长为8cm，
∴DA＋DE＋EA＝8cm，
∴BD＋DE＋EC＝BC＝8cm，即BC的长为8cm
（2）解：如答图，连接OA，OB，OC.
∵l1垂直平分AB，
∴OA＝OB.
同理，得OA＝OC，
∵△OBC的周长为OB＋OC＋BC＝20(cm)，BC＝8cm
∴OC＝OB＝OA＝6cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1) 根据垂直平分线得DA＝DB和EA＝EC，BC即可求得。
(2) 根据垂直平分线得OA＝OB和OA＝OC，进而得出OC＝OB，OA即可求得。
20．（2024八上·浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB.
（1）求证：EF=DF；
（2）若EF=2，求PE的长.
【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：由（1）得：EF=DF
∵EF=2 可以求得 AG=HE=2，
证△APG≌△EPH
∴PG=PH=1
∴PE=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)先通过∠ABE=∠AEB判定AB=AE=AD，再利用等腰三角形的性质证得EF=DF.
(2)由题意可得EF=DF=AG=HE=2，通过AAS判定△APG≌△EPH ，进而得到PG=PH=1，再利用勾股定理计算出 PE的长.
21．（2024八上·拱墅期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求的度数；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，求的长．
【答案】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
由（1）（2）得，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形以及平行线的性质得，由垂直的定义得，据此即可求得的度数；
（2）根据等边三角形以及平行线的性质，结合（1）的结论求出，然后根据等腰三角形的判定即可得证结论；
（3）根据等边三角形的性质得，结合（1）（2）的结论得，，然后由等腰三角形的判定，进行等量代换得，最后求出的值即可.
（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结DE，DF，取的中点为点G．
（1）求证：；
（2）当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．
【答案】（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
，
∵F是BC的中点，
∵G是ED的中点
（2）证明：∵BD、分别是边、上的高线．
，
是的中点，BC=4，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形
（3）解：是的中点，是等边三角形，，
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，进而得到：，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）根据题意可得到：，，进而求出，则，最后根据三角形内角和定理求出的度数，进而即可求证；
（3）根据等边三角形的性质得到：，进而利用勾股定理即可求解.
23．（2024八上·浙江期中）表格是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，
项目：测量小山坡的宽度
活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具进行测量，比如：皮尺、直角三角板、测角仪、标杆等．各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度．
成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：
项目 示意图 测量方案 测得数据
测量小山坡的宽度 在小山坡外面的平地上找一点，立一根标杆，然后再找到点，使 ，，
请你帮助小聪同学所在小组完成下列任务．
（1）任务1：王老师发现小聪同学所在小组的测量方案有问题，请你帮助小聪同学所在小组找到问题并完善测量方案．
（2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度，并说明理由．
（3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路．
【答案】（1）解：问题是：无法需要保证，
完善测量方案：增加条件，点分别在的延长线上．
（2）解：任务2：，
（SAS）．
．
答：小山坡的宽度为360米．
（3）解：如图，先在处立一根标杆，使，确定的方向；
同理使，确定的方向；
然后找到两个方向的交汇处点；
量出的长度，即为小山坡的宽度（测量方案只要符合即可）．
【知识点】全等三角形的实际应用；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）小聪同学所在小组的测量方案不能确定两三角形全等，即缺少一组对应角相等；
（2）根据证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）构造等边三角形求解即可．
（1）解：任务1：问题是：无法需要保证，
完善测量方案：增加条件，点分别在的延长线上．
（2）解：任务2：，
．
．
答：小山坡的宽度为360米．
（3）解：任务3：如图，先在处立一根标杆，使，确定的方向；同理使，确定的方向；然后找到两个方向的交汇处点；量出的长度，即为小山坡的宽度（测量方案只要符合即可）．
24．（2024八上·钱塘期中）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，是的中点，
，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②成立，证明如下：
，是的中点，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先求出，，然后由全等三角形的判定“”证明，即可得；
（2）①根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，由，得，从而得，然后利用勾股定理得，进而得；
②先证明，由（1）的三角形全等可设，，则，，利用勾股定理得到，的值，于是求出，即可证明.
（1）证明：是的中点，
，
于点，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②成立，
证明：如图（1），，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1浙教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷（范围：1-3章）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·宁波期末）2024年巴黎奥运会中国体育代表团取得了40金27银24铜的优异成绩，下列巴黎运动会体育图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018八上·南充期中）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是( )
A．5 B．6 C．11 D．16
3．（2024八上·杭州期中）下列式子：①﹣2≤0；②3x+2y＞0；③b＝2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6；是不等式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．（2024八上·拱墅期中）不等式 在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2021八上·衢州期中）为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·台州期末）如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八上·嵊州期末）如图，等边中，，分别是，，连结，则的度数是( )
A． B． C． D．无法确定
8．（2024八上·西湖期中）将已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·杭州期中）如图，中，，分别以为边在AB的同侧作正三角形，图中四块阴影部分的面积分别为，，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，和的平分线相交于点O，过O点作交于点E，交于点F，过点O作于D，下列四个结论．（1）；（2）；③点O到各边的距离相等；④设，，则，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2023八上·龙湾期中）用不等式表示“与的差大于2” ．
12．（2025八上·诸暨期末）命题“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是
13．（2025八上·温州期中） 两个直角三角形积木 和 按如图所示摆放在水平桌面上， 已知 ， ， 把下端挂有铅锤的细绳的上端拴在直角顶点 处， 则
14．（2024八上·西湖期中）如图是的角平分线，于点，若，，则的度数是 ．
15．（2024八上·临海期中）如图，BD是△ABC的中线，CE是ABCD的中线，DF是△CDE的中线，若△ABC的面积为4.则△DEF 的面积为
16．（2024八上·杭州期中）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·杭州期中）解下列不等式（组），并在数轴上表示出来：
（1）；
（2）．
18．（2024八上·杭州期中）如图，在正方形网格中点A，B， C均为格点，接要求作图(保留作图痕迹，不写作法)：
（1）作出 ABC关于直线1的对称图形 A'BC'：
（2）求 ABC的面积；
（3）在直线1上找一点D， 使AD+CD最小.
19．（2023八上·临海期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O．已知△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为20cm，求OA的长．
20．（2024八上·浙江期中）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成.如图1为赵爽弦图，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，连结AE交BG于点P，连结BE，得到图2，若∠ABE＝∠AEB.
（1）求证：EF=DF；
（2）若EF=2，求PE的长.
21．（2024八上·拱墅期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求的度数；
（2）求证：是等腰三角形；
（3）若，求的长．
22．（2024八上·拱墅期中）如图，在△ABC中，、分别是边、上的高线，取的中点为点F，连结DE，DF，取的中点为点G．
（1）求证：；
（2）当∠A＝60°时，求证：△DEF是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，当BC =4时，求FG的长．
23．（2024八上·浙江期中）表格是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，
项目：测量小山坡的宽度
活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具进行测量，比如：皮尺、直角三角板、测角仪、标杆等．各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度．
成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：
项目 示意图 测量方案 测得数据
测量小山坡的宽度 在小山坡外面的平地上找一点，立一根标杆，然后再找到点，使 ，，
请你帮助小聪同学所在小组完成下列任务．
（1）任务1：王老师发现小聪同学所在小组的测量方案有问题，请你帮助小聪同学所在小组找到问题并完善测量方案．
（2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度，并说明理由．
（3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路．
24．（2024八上·钱塘期中）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、不是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】此题可根据“如果一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行求解.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【解答】设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3．【答案】B
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：是不等式的为： ①﹣2≤0； ②3x+2y＞0； ④m≠3； ⑥x+5≤6；
故答案为：B.
【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子”判断即可.
4．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：在数轴上表示左侧的所有实数，不含于解集即为空心点；
故答案位：A．
【分析】在数轴上画不等式的解集时，“小于向左，大于向右”，“有等实心点，无等空心圆”．据此判断即可．
5．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意；
C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意；
D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意；
故答案为：B.
【分析】命题“若a>b，则a2>b2”为假命题应满足a>b，但a2≤b2，据此判断.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵直角三角形没被挡住的是两角和夹边，∴画出一个与原三角形全等的三角形，这两个三角形全等的依据为ASA.
故答案选：C．
【分析】两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，由此即可判断.
7．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先得到，即可得到，然后利用三角形的外角的性质解题即可．
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：B．
【分析】不等式的性质：不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；根据不等式的性质，按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点G，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
同理，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
过点E作于点G，利用等边三角形的性质和勾股定理可知，，，从而可得出，得到，即可求解．
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，
结论（2）正确，符合题意；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
结论（1）正确，符合题意；
过点作于，作于，连接，如图：
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
∴结论（3）正确，符合题意；
又，OM=ON=OD=m，
，
结论（4）错误，不符合题意；
故正确的结论有3个，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出，即可得到结论．
11．【答案】5a－6b＞2
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：由题意得：5a 6b＞2，
故答案为：5a 6b＞2．
【分析】由题意列不等式即可求解．
12．【答案】如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的题设为：如图一个三角形是等腰三角形，结论为：那么它底边上的高线和中线互相重合
∴该命题的逆命题为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形
故答案为：如果一个三角形一边上的高线与中线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形．
【分析】把命题的已知和结论互换位置，即可写出其逆命题．
13．【答案】15°
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形ABC，∠B=30°，
∴∠ACB=90°-30°=60°，
∵ ，
∴∠ACD=60°+45°=105°，
由题意DG∥AC，则∠CDG=180°-105°=75°，
∵直角三角形CDE，∠CDE=90°，
∴∠EDG=90°-75°=15°，
故答案为：15°.
【分析】根据直角三角形的性质及平行线的性质求解角度即可.
14．【答案】10°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90° ．
∵∠C=40°，
∴∠DAC＝90°-∠C=50°，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝120°，
∴∠EAC＝∠BAC＝60°．
∴∠DAE＝∠EAC ∠DAC＝10°．
故答案为：10°．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC的度数，根据角平分线定义求出∠EAC的度数，然后根据∠DAE＝∠EAC ∠DAC计算即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的中线
【解析】【解答】解：∵ BD是△ABC的中线 ，
∴，
∵CE是△BCD的中线，
∴，
∵DF是△DEC的中线，
∴，
故答案为：.
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形依次求解即可.
16．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①点在点左侧，
作，交的延长线于，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
根据题意知，，
设，则，
，
，
∴；
②如图，点在点右侧，作于，
用①中同样的解法可以得到，，
设，，，
，
∴．
故答案为：或．
【分析】
由于点D在射线CB上运动，当点D在点B左侧时，过点E作AC的垂线段交AC的延长线于点H，则可利用一线三等角全等模型证明，则由全等的性质结合已知可继续证明，则可得，再借助已知条件即可计算；当点D在点B右侧时，同理过点E作AC的垂线段EM，则可先证，再证，则、，再借助已知条件计算即可．
17．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴解集在数轴上表示如下图所示：
（2）解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴解集在数轴上表示如下图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法，按照去括号、移项、合并同类项，系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可.
（1）解：去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
在数轴上表示解集为：
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集为．
18．【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
（2）解： 的面积
（3）解：如图所示，点D即为所求.
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】(1)先做出点A、B、C关于直线l的对称点，然后连接即可；
(2)利用割补法求出三角形的面积即可；
(3)连接 交直线l于点D，则点D即为所作.
19．【答案】（1）解：∵l1垂直平分AB，
∴DA＝DB.
同理，得EA＝EC.
∵△ADE的周长为8cm，
∴DA＋DE＋EA＝8cm，
∴BD＋DE＋EC＝BC＝8cm，即BC的长为8cm
（2）解：如答图，连接OA，OB，OC.
∵l1垂直平分AB，
∴OA＝OB.
同理，得OA＝OC，
∵△OBC的周长为OB＋OC＋BC＝20(cm)，BC＝8cm
∴OC＝OB＝OA＝6cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】(1) 根据垂直平分线得DA＝DB和EA＝EC，BC即可求得。
(2) 根据垂直平分线得OA＝OB和OA＝OC，进而得出OC＝OB，OA即可求得。
20．【答案】（1）证明：∵∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
∵AB=AD
∴AE=AD
∵∠DFA=90°
∴EF=DF
（2）解：由（1）得：EF=DF
∵EF=2 可以求得 AG=HE=2，
证△APG≌△EPH
∴PG=PH=1
∴PE=
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】(1)先通过∠ABE=∠AEB判定AB=AE=AD，再利用等腰三角形的性质证得EF=DF.
(2)由题意可得EF=DF=AG=HE=2，通过AAS判定△APG≌△EPH ，进而得到PG=PH=1，再利用勾股定理计算出 PE的长.
21．【答案】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，，
∴，
由（1）得，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（3）解：∵是等边三角形，
∴，
由（1）（2）得，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形以及平行线的性质得，由垂直的定义得，据此即可求得的度数；
（2）根据等边三角形以及平行线的性质，结合（1）的结论求出，然后根据等腰三角形的判定即可得证结论；
（3）根据等边三角形的性质得，结合（1）（2）的结论得，，然后由等腰三角形的判定，进行等量代换得，最后求出的值即可.
（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知，
∴，
又∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：∵BD、CE分别是边AC、AB上的高线，
，
∵F是BC的中点，
∵G是ED的中点
（2）证明：∵BD、分别是边、上的高线．
，
是的中点，BC=4，
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形
（3）解：是的中点，是等边三角形，，
【知识点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，进而得到：，最后根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；
（2）根据题意可得到：，，进而求出，则，最后根据三角形内角和定理求出的度数，进而即可求证；
（3）根据等边三角形的性质得到：，进而利用勾股定理即可求解.
23．【答案】（1）解：问题是：无法需要保证，
完善测量方案：增加条件，点分别在的延长线上．
（2）解：任务2：，
（SAS）．
．
答：小山坡的宽度为360米．
（3）解：如图，先在处立一根标杆，使，确定的方向；
同理使，确定的方向；
然后找到两个方向的交汇处点；
量出的长度，即为小山坡的宽度（测量方案只要符合即可）．
【知识点】全等三角形的实际应用；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）小聪同学所在小组的测量方案不能确定两三角形全等，即缺少一组对应角相等；
（2）根据证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）构造等边三角形求解即可．
（1）解：任务1：问题是：无法需要保证，
完善测量方案：增加条件，点分别在的延长线上．
（2）解：任务2：，
．
．
答：小山坡的宽度为360米．
（3）解：任务3：如图，先在处立一根标杆，使，确定的方向；同理使，确定的方向；然后找到两个方向的交汇处点；量出的长度，即为小山坡的宽度（测量方案只要符合即可）．
24．【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，是的中点，
，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②成立，证明如下：
，是的中点，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先求出，，然后由全等三角形的判定“”证明，即可得；
（2）①根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，由，得，从而得，然后利用勾股定理得，进而得；
②先证明，由（1）的三角形全等可设，，则，，利用勾股定理得到，的值，于是求出，即可证明.
（1）证明：是的中点，
，
于点，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②成立，
证明：如图（1），，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，
．
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