浙教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷（范围：1-4章）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·西湖期末）窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·宁波期末）若a>b成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+33．（2025八上·滨江期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．（2023八上·鄞州期中）若等腰三角形的两边长分别为，，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2024八上·桐乡市期末）已知点在第四象限，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·温州期中）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，直线分别交与于点和，连结，若，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八上·拱墅期中）如图，平分且于点E，，，的周长为32，则的面积为（ ）
A．96 B．48 C．32 D．16
8．（2024八上·嘉兴期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2024八上·慈溪月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），设点的坐标为，连结，以线段为边的第四象限内作等边，直线交轴于点，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023八上·渝北期中）如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·杭州期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ．
12．（2024八上·杭州期中）若点关于y轴的对称点是点，则 ．
13．（2024八上·浙江期中）在数学上用表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围为 ．
14．（2024八上·湖州期中）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD＋AE的值为 ．
15．（2019八上·台州开学考）如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ．
16．（2024八上·路桥期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题：
如图2．正九边形中，边，的延长线交于点B．
（1）则 度；
（2）若，，，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·金华期中）解下列不等式（组）：
（1）；
（2）
18．（2024八上·永康期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点落在格点上，以B为原点建立平面直角坐标系，将关于y轴对称得到．
（1）在网格中建立以B为原点的平面直角坐标系，并画出；
（2）点C关于轴的对称点的坐标为_______；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标．
19．（2018八上·鄞州月考）如图，AB与CB是两条公路，C，D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
20．（2024八上·浙江期中）如图，点在同一直线上，点在直线的同侧，
（1）证明：．
（2）若，求的度数．
21．（2024八上·杭州期中）关于x的方程的方程的解满足．
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值．
22．（2024八上·钱塘期中）为支援抗击新冠肺炎疫情前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为4万元/吨，乙物资单价为3万元/吨，采购两种物资共花费1920万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同型号的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车。按此要求安排A、B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
23．（2024八上·杭州期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
24．（2024八上·钱塘期中）综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）斜边AB的中点处
发现结论：
（1）如图1，三角板的两边，分别与另一块三角板的边，交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边，上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．
问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延伸：
（2）如图2，连接，当，，那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
故答案选：C．
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；逐项分析判断即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
故选项A不符合题意；
故选项B符合题意；
故选项C不符合题意；
故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据 应用不等式的性质，逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A．当，时，，而，条件不成立，故A不符合题意；
B．当，，，且，能说明，且成立，不是反例，故B不符合题意；
C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意；
D．，，，而，条件不成立，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据举反例要求符合命题条件，但不符合命题结论即可．
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别为和，
∴可分两种情况：
①当腰为6cm，底为3cm时，
三边分别为：6，6，3，可以构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为：6+6+3=15（cm）；
②当腰为3cm，底为6cm时，
三边分别为：6，3，3，
∵，
∴边长为3，3，6不能组成三角形.
故答案为：B．
【分析】由题意，根据等腰三角形的性质可分两种情况：①当腰为6cm，底为3cm时，②当腰为3cm，底为6cm时，根据三角形任意两边之和大于第三边并结合三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵
∴
∵点在第四象限，
∴
∴
∴点p坐标为：，
故答案为：C.
【分析】根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正数，纵坐标为负数，据此即可求解.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，直线为线段的垂直平分线，
，．
的周长为，
，
的周长为．
故答案为：B．
【分析】先分析出直线为线段的垂直平分线，进而根据垂直平分线的性质得到AG=CG，最后计算三角形的周长公式进行计算即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ 的周长为，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线以及垂直的定义得，从而推出，得，然后根据等腰三角形的判定得，进而求出，，于是由等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解.
8．【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点，分别为，边上的中点，
∴，，
∵的面积为12，
∴，
故选：A．
【分析】三角形中线平分三角形面积．
9．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形性质，利用”手拉手“全等模型证明，得，从而得，进而得，然后根据含30°的直角三角形的性质得，于是利用勾股定理得，即可求出点坐标．
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解得，
解得，
∵关于的不等式组有且只有5个整数解，
∴这5个整数解是，
∴，
解得，
由方程，可得，
∵方程的解为非负整数，
∴且为整数，
解得且为整数，
∴且为整数，
∴满足条件的整数的值为，
∴符合条件的所有整数的和为3，
故答案为：B
【分析】先分别解不等式，进而结合题意即可得到不等式组的5个整数解是，进而即可得到，再由方程可得，从而结合题意即可得到且为整数，再结合题意即可得到a的值。
11．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴．
∵是边上的高线，
∴是直角三角形，且．
∵是边上的中线，
∴是斜边边上的中线，
∴，
∴．
∴．
故答案为：6．
【分析】
如图，连接，由于平分，则是斜边边上的中线，又因为垂直平分，则，则可得到的长为，最后再利用勾股定理即可求出．
12．【答案】0
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点是点，
，，
，，
，
故答案为：0．
【分析】根据关于轴的两坐标点的性质：横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出的值，最后代入进行计算即可.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵数学上用表示不大于的最大整数，
∴，则的取值范围为，
故答案为： ．
【分析】根据表示不大于的最大整数，结合实例，即可求解．
14．【答案】6或14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD＋AE＝BD＋CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当△ABC 为钝角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当△ABC 为锐角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC＋DE＝10＋4＝14，
综上所述，AD＋AE＝6或14；
故填：6或14；
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，AE＝CE，然后分钝角三角形和锐角三角形两种情况求解即可.
15．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=(x 40)°，
∴∠BAC=∠ACD ∠ABC=2x° (x° 40°) (x° 40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
16．【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）九边形是正九边形，
∴，，
，
正九边形每个外角的度数为：，
即
，
．
故答案为：60；
（2）连接，如图所示：
∵九边形是正九边形，
∴，，
由（1）得：，，
为等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据正九边形的性质可得每个内角度数以及外角度数，再根据等腰三角形的性质求得和的度数，即可判断出，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数；
（2）连接，易得，证明是等边三角形，可判断，整理后即可得到a，b，c满足的数量关系．
17．【答案】（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
把x的系数化为1得，；
（2）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求解；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
把x的系数化为1得，；
（2）解：解不等式，解得，
解不等式，解得，
∴不等式组的解集为．
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）
（3）解：依题意可设点，
则，
解得：，
点的坐标为或．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：点C关于轴的对称点的坐标为；
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，再根据关于y轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数即可求解；
（2）根据关于轴的对称点的纵坐标相等，横坐标互为相反数即可求解；
②依题意可设点，则，进而可得，则可求解．
（1）解：如图所示，即为所求．
；
（2）解：点C关于轴的对称点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：依题意可设点，
则，
解得：，
点的坐标为或．
19．【答案】解：如图所示，点P即为菜市场的位置.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】由角平分线的性质可作∠ABC的角平分线，由线段的垂直平分线的性质可作线段CD的垂直平分线，两线相交于点P，即为所求作的点。
20．【答案】（1）证明：，
∴，
，
，
（SSS）．
（2）解：，
．
，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）通过线段的和差可得BC=EF，再通过证明，即可作答．
（2）先由三角形内角和性质得出，再结合得出，最后运用三角形内角和性质，即可得答．
（1）解：，
∴，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
．
21．【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴
（2）解：，
，
∵不等式的解为，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∵a是整数，
∴
【知识点】解含括号的一元一次方程；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）先解方程求出方程的解，然后把x的值代入不等式计算解题；
（2）根据不等式的解集可得：，解得，然后根据（1）的结论可得：，然后找出整数解即可．
（1）解：，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴；
（2），
，
∵不等式的解为，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∵a是整数，
∴．
22．【答案】（1）解：设甲、乙两种物资各采购了吨，吨，
根据题意，得，
解得：，
∴甲、乙两种物资各采购了300吨，240吨；
（2）解：设安排型卡车辆，则安排型卡车辆，
根据题意，得，
解得：，
∵为正整数，
∴的值为25或26或27，
∴共有3种运输方案如下：
方案一：安排25辆型卡车，25辆型卡车；
方案二：安排26辆型卡车，24辆型卡车；
方案三：安排27辆型卡车，23辆型卡车．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两种物资各采购了吨，吨，根据“采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为4万元/吨，乙物资单价为3万元/吨，采购两种物资共花费1920万元”可列出关于的二元一次方程组并解之即可；
（2）设安排型卡车辆，则安排型卡车辆，根据“甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆型卡车，甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆型卡车，且甲、乙两种物资各采购了300吨，240吨”可列出关于的不等式组并解之得的取值范围，然后由为正整数得出三种不同方案．
（1）解：设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，依题意得：
，
解得，
答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨；
（2）解：设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50－m）辆，依题意得：
，
解得，
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案：
方案一：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；
方案二：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；
方案三：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
23．【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵平分，，，
∴，
∴点P在线段AQ的垂直平分线上，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴点B在线段AQ的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，
，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∵∠BAM=∠QAM-∠BAQ，∠CAQ=∠BAC-∠BAQ，
∴，
又∵，AM=AQ，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴（SAS)，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质证明，可得点P在线段AQ的垂直平分线上，再利用HL证明，可得，可得点B在线段AQ的垂直平分线上，结合两点确定一条直线可得垂直平分 ；
（2）①先证，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，利用四边形的内角和可推出，可得，结合三角形的外角的性质证明，可得结论；
②如图，过作，且，连接，，利用SAS证明，可得，，再利用SAS证明，可得的长度，最后利用勾股定理可得答案．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．【答案】解：（1）①如图1，连接，
∵是等腰直角三角形，是斜边的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，当点共线，且点在点和点之间时，线段长的最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴线段长的最小值为；
如图4，当点共线，且点在点和点之间时，线段长的最大，
同理得，
∴线段长的最大值为；
综上所述， 线段长的最小值和最大值分别为，.
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①连接，根据等腰直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质得到得到，，，从而得，进而证明，于是得；
②根据全等三角形的性质得，则，最后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）当点共线，且点在点和点之间时，线段长的最小，利用含30°的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质得到的值，则求出的值；当点共线，且点在点和点之间时，线段长的最大，同理求出的值，则求出的值.
1 / 1浙教版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷（范围：1-4章）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025八上·西湖期末）窗花是我国民间传统剪纸艺术．新春到来之际，小雪设计了如下一组窗花，其中为轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.
故答案选：C．
【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；逐项分析判断即可得出答案。
2．（2025八上·宁波期末）若a>b成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+3【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：
故选项A不符合题意；
故选项B符合题意；
故选项C不符合题意；
故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据 应用不等式的性质，逐项判断即可.
3．（2025八上·滨江期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A．当，时，，而，条件不成立，故A不符合题意；
B．当，，，且，能说明，且成立，不是反例，故B不符合题意；
C．当，，，而，能够说明，但不成立，故C符合题意；
D．，，，而，条件不成立，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据举反例要求符合命题条件，但不符合命题结论即可．
4．（2023八上·鄞州期中）若等腰三角形的两边长分别为，，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别为和，
∴可分两种情况：
①当腰为6cm，底为3cm时，
三边分别为：6，6，3，可以构成三角形，
∴这个等腰三角形的周长为：6+6+3=15（cm）；
②当腰为3cm，底为6cm时，
三边分别为：6，3，3，
∵，
∴边长为3，3，6不能组成三角形.
故答案为：B．
【分析】由题意，根据等腰三角形的性质可分两种情况：①当腰为6cm，底为3cm时，②当腰为3cm，底为6cm时，根据三角形任意两边之和大于第三边并结合三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
5．（2024八上·桐乡市期末）已知点在第四象限，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵
∴
∵点在第四象限，
∴
∴
∴点p坐标为：，
故答案为：C.
【分析】根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正数，纵坐标为负数，据此即可求解.
6．（2024八上·温州期中）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，直线分别交与于点和，连结，若，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得，直线为线段的垂直平分线，
，．
的周长为，
，
的周长为．
故答案为：B．
【分析】先分析出直线为线段的垂直平分线，进而根据垂直平分线的性质得到AG=CG，最后计算三角形的周长公式进行计算即可.
7．（2024八上·拱墅期中）如图，平分且于点E，，，的周长为32，则的面积为（ ）
A．96 B．48 C．32 D．16
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵ 的周长为，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线以及垂直的定义得，从而推出，得，然后根据等腰三角形的判定得，进而求出，，于是由等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解.
8．（2024八上·嘉兴期中）如图，已知的面积为12，点，分别为，边上的中点，则的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点，分别为，边上的中点，
∴，，
∵的面积为12，
∴，
故选：A．
【分析】三角形中线平分三角形面积．
9．（2024八上·慈溪月考）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边，点为轴正半轴上一动点（），设点的坐标为，连结，以线段为边的第四象限内作等边，直线交轴于点，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据等边三角形性质，利用”手拉手“全等模型证明，得，从而得，进而得，然后根据含30°的直角三角形的性质得，于是利用勾股定理得，即可求出点坐标．
10．（2023八上·渝北期中）如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解得，
解得，
∵关于的不等式组有且只有5个整数解，
∴这5个整数解是，
∴，
解得，
由方程，可得，
∵方程的解为非负整数，
∴且为整数，
解得且为整数，
∴且为整数，
∴满足条件的整数的值为，
∴符合条件的所有整数的和为3，
故答案为：B
【分析】先分别解不等式，进而结合题意即可得到不等式组的5个整数解是，进而即可得到，再由方程可得，从而结合题意即可得到且为整数，再结合题意即可得到a的值。
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·杭州期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于F，，若，则 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴．
∵是边上的高线，
∴是直角三角形，且．
∵是边上的中线，
∴是斜边边上的中线，
∴，
∴．
∴．
故答案为：6．
【分析】
如图，连接，由于平分，则是斜边边上的中线，又因为垂直平分，则，则可得到的长为，最后再利用勾股定理即可求出．
12．（2024八上·杭州期中）若点关于y轴的对称点是点，则 ．
【答案】0
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴的对称点是点，
，，
，，
，
故答案为：0．
【分析】根据关于轴的两坐标点的性质：横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出的值，最后代入进行计算即可.
13．（2024八上·浙江期中）在数学上用表示不大于的最大整数，例如：，，．若，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵数学上用表示不大于的最大整数，
∴，则的取值范围为，
故答案为： ．
【分析】根据表示不大于的最大整数，结合实例，即可求解．
14．（2024八上·湖州期中）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD＋AE的值为 ．
【答案】6或14
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD＋AE＝BD＋CE，
∵BC＝10，DE＝4，
当△ABC 为钝角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当△ABC 为锐角三角形时，
AD＋AE＝BD＋CE＝BC＋DE＝10＋4＝14，
综上所述，AD＋AE＝6或14；
故填：6或14；
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，AE＝CE，然后分钝角三角形和锐角三角形两种情况求解即可.
15．（2019八上·台州开学考）如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝ ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x°，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=40°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD ∠BPC=(x 40)°，
∴∠BAC=∠ACD ∠ABC=2x° (x° 40°) (x° 40°)=80°，
∴∠CAF=100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA
PM=PF，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL)，
∴∠FAP=∠PAC=50°.
【分析】 根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案.
16．（2024八上·路桥期中）你留意过吗？如图1，硬币上出现的这个多边形是正九边形．现请你仔细分析正九边形的相关特征，完成下面的问题：
如图2．正九边形中，边，的延长线交于点B．
（1）则 度；
（2）若，，，则a，b，c满足怎样的数量关系？答： ．
【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）九边形是正九边形，
∴，，
，
正九边形每个外角的度数为：，
即
，
．
故答案为：60；
（2）连接，如图所示：
∵九边形是正九边形，
∴，，
由（1）得：，，
为等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据正九边形的性质可得每个内角度数以及外角度数，再根据等腰三角形的性质求得和的度数，即可判断出，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数；
（2）连接，易得，证明是等边三角形，可判断，整理后即可得到a，b，c满足的数量关系．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·金华期中）解下列不等式（组）：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
把x的系数化为1得，；
（2）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求解；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
（1）解：去括号得：，
移项合并得：，
把x的系数化为1得，；
（2）解：解不等式，解得，
解不等式，解得，
∴不等式组的解集为．
18．（2024八上·永康期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点落在格点上，以B为原点建立平面直角坐标系，将关于y轴对称得到．
（1）在网格中建立以B为原点的平面直角坐标系，并画出；
（2）点C关于轴的对称点的坐标为_______；
（3）若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）
（3）解：依题意可设点，
则，
解得：，
点的坐标为或．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】（2）解：点C关于轴的对称点的坐标为；
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，建立如图所示平面直角坐标系，再根据关于y轴的对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数即可求解；
（2）根据关于轴的对称点的纵坐标相等，横坐标互为相反数即可求解；
②依题意可设点，则，进而可得，则可求解．
（1）解：如图所示，即为所求．
；
（2）解：点C关于轴的对称点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：依题意可设点，
则，
解得：，
点的坐标为或．
19．（2018八上·鄞州月考）如图，AB与CB是两条公路，C，D是两个村庄，现在要建一个菜市场，使它到两个村庄的距离相等，而且还要使它到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场的位置.(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】解：如图所示，点P即为菜市场的位置.
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】由角平分线的性质可作∠ABC的角平分线，由线段的垂直平分线的性质可作线段CD的垂直平分线，两线相交于点P，即为所求作的点。
20．（2024八上·浙江期中）如图，点在同一直线上，点在直线的同侧，
（1）证明：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
∴，
，
，
（SSS）．
（2）解：，
．
，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）通过线段的和差可得BC=EF，再通过证明，即可作答．
（2）先由三角形内角和性质得出，再结合得出，最后运用三角形内角和性质，即可得答．
（1）解：，
∴，
，
，
．
（2）解：，
．
，
．
．
21．（2024八上·杭州期中）关于x的方程的方程的解满足．
（1）求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数a的值．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴
（2）解：，
，
∵不等式的解为，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∵a是整数，
∴
【知识点】解含括号的一元一次方程；一元一次不等式的含参问题
【解析】【分析】（1）先解方程求出方程的解，然后把x的值代入不等式计算解题；
（2）根据不等式的解集可得：，解得，然后根据（1）的结论可得：，然后找出整数解即可．
（1）解：，
，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴；
（2），
，
∵不等式的解为，
∴，
∴，
由（1）可得：，
∴，
∵a是整数，
∴．
22．（2024八上·钱塘期中）为支援抗击新冠肺炎疫情前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为4万元/吨，乙物资单价为3万元/吨，采购两种物资共花费1920万元．
（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？
（2）现在计划安排A，B两种不同型号的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车。按此要求安排A、B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？
【答案】（1）解：设甲、乙两种物资各采购了吨，吨，
根据题意，得，
解得：，
∴甲、乙两种物资各采购了300吨，240吨；
（2）解：设安排型卡车辆，则安排型卡车辆，
根据题意，得，
解得：，
∵为正整数，
∴的值为25或26或27，
∴共有3种运输方案如下：
方案一：安排25辆型卡车，25辆型卡车；
方案二：安排26辆型卡车，24辆型卡车；
方案三：安排27辆型卡车，23辆型卡车．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两种物资各采购了吨，吨，根据“采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为4万元/吨，乙物资单价为3万元/吨，采购两种物资共花费1920万元”可列出关于的二元一次方程组并解之即可；
（2）设安排型卡车辆，则安排型卡车辆，根据“甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆型卡车，甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆型卡车，且甲、乙两种物资各采购了300吨，240吨”可列出关于的不等式组并解之得的取值范围，然后由为正整数得出三种不同方案．
（1）解：设甲物资采购了x吨，乙物资采购了y吨，依题意得：
，
解得，
答：甲物资采购了300吨，乙物资采购了240吨；
（2）解：设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50－m）辆，依题意得：
，
解得，
∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，
∴共有3种运输方案：
方案一：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；
方案二：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；
方案三：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．
23．（2024八上·杭州期中）如图，在等腰直角三角形中，，，点在边上，作于点，连接、．
（1）如图1，若平分，求证：垂直平分．
（2）如图2，点是的中点，直线交于点，连接，
①求证：是等腰直角三角形．
②若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵平分，∴，
∵平分，，，
∴，
∴点P在线段AQ的垂直平分线上，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∴点B在线段AQ的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，
，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∵∠BAM=∠QAM-∠BAQ，∠CAQ=∠BAC-∠BAQ，
∴，
又∵，AM=AQ，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴（SAS)，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质证明，可得点P在线段AQ的垂直平分线上，再利用HL证明，可得，可得点B在线段AQ的垂直平分线上，结合两点确定一条直线可得垂直平分 ；
（2）①先证，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推出，利用四边形的内角和可推出，可得，结合三角形的外角的性质证明，可得结论；
②如图，过作，且，连接，，利用SAS证明，可得，，再利用SAS证明，可得的长度，最后利用勾股定理可得答案．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的垂直平分线；
（2）证明：①∵，，
∴，
∵，，点是的中点，
∴，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
②如图，过作，且，连接，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．（2024八上·钱塘期中）综合与实践：
动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板（，）的直角顶点O放置在另一块直角三角板（，）斜边AB的中点处
发现结论：
（1）如图1，三角板的两边，分别与另一块三角板的边，交于点P，Q（规定：此时点P，Q均在边，上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．
问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延伸：
（2）如图2，连接，当，，那么直角三角板在绕点O旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．
【答案】解：（1）①如图1，连接，
∵是等腰直角三角形，是斜边的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
②由①得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，当点共线，且点在点和点之间时，线段长的最小，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴线段长的最小值为；
如图4，当点共线，且点在点和点之间时，线段长的最大，
同理得，
∴线段长的最大值为；
综上所述， 线段长的最小值和最大值分别为，.
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）①连接，根据等腰直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质得到得到，，，从而得，进而证明，于是得；
②根据全等三角形的性质得，则，最后利用三角形的面积公式即可求解；
（2）当点共线，且点在点和点之间时，线段长的最小，利用含30°的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质得到的值，则求出的值；当点共线，且点在点和点之间时，线段长的最大，同理求出的值，则求出的值.
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