3.3立方根 浙教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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3.3立方根浙教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 ; 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的立方根是( )
A. B. C. D.
2.在，，，，，，相邻两个之间的个数逐次加这个数中，无理数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.如果，那么的值为( )
A. B. C. D.
4.下列实数中，是无理数的( )
A. B. C. D.
5.在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是( )
A. B. C. D.
6.课堂上老师提出一个问题：“一个数是，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“”老师十分惊奇，忙问计算的奥妙小明给出以下方法：
由，，能确定是两位数；
由的个位上的数是，因为，能确定的个位上的数是；
如果划去后面的三位得到数，而，，由此能确定的十位上的数是．
提示：，，，
已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为( )
A. B. C. D.
7.在，，，，，，，每隔一个多一个多一个这个数中，无理数共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.已知的平方根是，的立方根是，则的值是 ．
A. B. C. 或 D. 或
9.如图，，，是数轴上、、对应的实数，化简结果是( )
A. B. C. D.
10.规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”若是“最美实数”，则的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
11.下列各数：，，，，，相邻的两个之间依次多一个，其中无理数有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是，则输出的的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知和是某正数的两个平方根，佳佳通过前面条件计算发现的立方根为无理数，的立方根为 ．
14.若将一个棱长为的立方体体积减少，而保留立方体形状不变，则棱长应减少 用含的代数式表示，若，则棱长应减少 ．
15.若与是同类项，则的立方根是 ．
16.是的算术平方根，，则的立方根为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，均为正整数，且，，求的最小值．
18.本小题分
已知一个正方体的体积是，现在要在它的个角上分别截去个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，问截得的每个小正方体的棱长是多少？
19.本小题分
若，均为正整数，且，，求的最小值．
20.本小题分
已知的平方根是，的立方根是求的平方根；
已知和是正数的平方根，求正数的值．
21.本小题分
阅读理解，观察下列式子：
；
；
；
；
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
由等式，，，所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，，若______，则；反之也成立．
根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
22.本小题分
已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大．
求第二个纸盒的棱长；
第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大多少？
23.本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分
求，，的值；
求的平方根．
24.本小题分
对于结论：当时，也成立．若将看成的立方根，看成的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
25.本小题分
已知的算术平方根是，是的立方根，是的整数部分．
______， ______， ______；
求的立方根；
判断是有理数还是无理数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
的立方根是．
故选：．
利用立方根定义求解即可．
本题考查了立方根的理解，解决本题的关键是熟记立方根的定义．
2.【答案】
【解析】解：是有限小数，属于有理数；
，、是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有，，相邻两个之间的个数逐次加，共有个．
故选：．
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
3.【答案】
【解析】解：由条件可知，
当时，，当时，，
故选：．
根据平方根的定义得出，再根据立方根的定义计算即可得解．
本题考查了平方根、立方根，熟练掌握以上知识点是关键．
4.【答案】
【解析】解：是无理数．
故选：．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
5.【答案】
【解析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键．
【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，
再取立方根，是有理数，
倒回再取的算术平方根为，是无理数，
输出的值为，
故选：．
6.【答案】
【解析】解：根据题意可知为两位数，且个位上的数是，
根据提示：，，
可知，十位上的数是，
可以断定，
的每位数上的数字之和为．
故选：．
根据题意，利用给出的规律，数的立方根的定义解答．
本题考查了立方根，解题的关键是读懂题意发现规律，掌握立方根的定义．
7.【答案】
【解析】解：无理数有，，每隔一个多一个多一个，共个，
故选：．
根据无理数的定义：无理数是无限不循环小数进行判断即可．
本题考查了无理数的定义，算术平方根，立方根等知识，熟练掌握以上知识点是关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平方根和立方根，代数式求值，关键是求出和的值．
分别求出、的值，再代入求出即可，注意分情况讨论．
【解答】
解：，
的平方根是，
即，
的立方根是，
，
当时，，
当时，，
综上所述，的值为或．
故选D．
9.【答案】
【解析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数轴可得，则，，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可．
【详解】解：由数轴可得，
则，，
原式
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：根据“最美实数”的定义若是“最美实数”，则有或，
若，解得，
若，解得，
综上，的值为或，
故选：．
根据“最美实数”的定义，可知或，求出的值即可．
本题考查算术平方根及立方根，理解“最美实数”是关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查无理数，会判断无理数．解题的关键是了解它的三种形式：开方开不尽的数，如：；无限不循环小数，如：相邻两个之间依次多个；含有的数，如：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此逐一判断即可．
【解答】
解：，．是无限循环小数，属于有理数，
是整数，属于有理数，
，，相邻的两个之间依次多一个，共个是无限不循环小数，是无理数．
故选：．
12.【答案】
【解析】本题考查无理数，算术平方根及立方根，根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键．
【详解】解：若开始输入的的值是，则其立方根为，它是有理数；
然后求得的算术平方根是，它是有理数；
则的立方根为，它是无理数，输出答案；
故选：．
13.【答案】
【解析】本题考查无理数，平方根，立方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
由平方根的性质可得，解得的值后代入中，再根据平方根的定义求得的值，然后根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：和是某正数的两个平方根，
，
解得：，
则，
那么，
则的立方根为，
故答案为：．
14.【答案】

【解析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：立方体的棱长为，
立方体的体积为，
立方体体积减少后剩余的体积为，
此时的棱长为，
棱长应减少，
当时，，
若，则棱长应减少，
故答案为：；．
15.【答案】
【解析】与是同类项，
解得则的立方根是．
16.【答案】
【解析】解：是的算术平方根，
，，
解得，，
，
，
的立方根为．
故答案为：．
分别根据是的算术平方根，，求出、的值，再求出的值，求出其立方根即可．
本题考查的是立方根及算术平方根的定义，根据题意列出关于、的方程，求出、的值是解答此题的关键．
17.【答案】解：因为，所以．
因为，所以又因为，均为正整数，
所以的最小值为，的最小值为，
所以的最小值为．

【解析】略
18.【答案】解：依题意得，每个小正方体的体积为，
因为，所以截得的每个小正方体的棱长是．

【解析】略
19.【答案】
【解析】略
20.【答案】；
或
【解析】由题意得，，
解得，，
，
的平方根为，
的平方根为；
和是正数的平方根，
或，
即或，
当时，，，
；
当时，，
；
综上，正数的值为或．
利用平方根和立方根的定义得到，，再解方程求出、，然后计算的值，然后根据平方根的定义求解；
根据平方根的定义得到或，再求出得到的平方根，然后确定的值．
本题考查了立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．记作：也考查了平方根．
21.【答案】；

【解析】由题意可得规律：对于任意两个有理数、，若，则，
故答案为：．
由题意可知：，
解得：．
．
用含、的式子表达规律即可得答案；
根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可，进而求得算术平方根，即可．
本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键．
22.【答案】第二个纸盒的棱长为；
第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大
【解析】第一个正方体纸盒的体积为，
，
，
答：第二个纸盒的棱长为．
第一个纸盒的表面积为，
第二个纸盒的表面积为，
，
答：第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大．
根据正方体的体积等于棱长的立方求出第一个纸盒的体积，再求出第二个纸盒的体积，再利用立方根的定义即可求解；
先求出第一个纸盒的表面积，再求出第二个纸盒的表面积，相减即可．
本题考查了立方根的应用，解题关键是掌握立方根的定义，如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根．
23.【答案】已知的立方根是，
，
，
的算术平方根是，
，
又，
，
，
，
是的整数部分，
，
，，，
解：，，，
，
的平方根是．

【解析】【分析】根据立方根的定义求得的值，根据算术平方根的定义求得的值，估算的大小即可求得的值；
将中，，的值代入代数式，进而根据平方根的定义求得的平方根
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键．
24.【答案】解：和互为相反数，
，
，
解得：，
的平方根是它本身，
，
，
，
的立方根是．

【解析】【分析】根据和互为相反数，可得，从而得到，再由的平方根是它本身，可得，即可求解．
【点睛】本题主要考查了立方根的性质，平方根的性质，熟练掌握立方根的性质，平方根的性质是解题的关键．
25.【答案】，，；
；
是有理数，理由：
由 知，，，
，
是有理数．
【解析】由条件可知，；
，
，
，
故答案为：，，；
由知，，，
，
，
的立方根为；
是有理数，理由如下：
由知，，，
，
是有理数．
利用平方根和立方根的定义，先求出，的值，再利用，估算出，从而确定出的值；
由知，，的值，代入，求出的值，最后利用立方根的定义求出最后结果即可；
由知，，的值，代入，求出的值，即可得出结论．
本题主要考查了无理数的估算，算术平方根和立方根，正确得出，，的值是解答本题的关键．
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