5.1认识方程 浙教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.1认识方程浙教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.有一道条件缺失的题：“一项工程，甲队单独做需要天完成，乙队单独做需要天完成，，然后两队合作，则还需要几天完成任务？”这个问题的答案是：设两队合作还需要天完成任务，由题意，得．根据上面的信息判断，缺失的条件是( )
A. 若甲队先单独做工程的一半 B. 若乙队先单独做工程的一半
C. 若甲队先单独做天 D. 若乙队先单独做天
2.如图，“”“”“”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架天平也保持平衡，如果在“？”处只放“”，那么应放“”的个数是( )
A. B. C. D.
3.整式的值随的取值不同而不同，如表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为( )
A. B. C. D.
4.多项式和为实数，且的值由的取值决定，下表是当取不同值时多项式对应的值，则关于的方程的解是( )
A. B. C. D.
5.下面式子中，不是方程的是( )
A. B. C. D.
6.下列方程中，解是的是( )
A. B. C. D.
7.已知是关于的方程的解，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
8.如果关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为( )
A. B. C. D.
9.方程，处被墨水盖住了，已知方程的解是，那么处的数字是( )
A. B. C. D.
10.下列方程中是二项方程的是 ．
A. B.
C. D.
11.下列各式中：是方程的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.已知是关于的方程的解，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若是方程的解，则的值是______．
14.若是关于的方程的解，则 ．
15.如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为______．
16.观察下列方程：
的解是；
的解是；
的解是；
根据观察得到的规律，写出解是的方程是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
王老师设计了一个如图所示的运算小程序．
当输入的数为何值时，第一次运算结果是正数，且输出的数等于？如果设输入的数是，请你列出一个含有未知数的方程．
当输入的数为何值时，第一次运算结果是负数，再次运算，得到输出的数等于？如果设输入的数是，请你列出一个含有未知数的方程．
18.本小题分
关于的方程：
的解是；
的解是；
的解是．
根据以上材料，解答下列问题：
观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于的方程的解： ．
比较关于的方程与上面各式的关系，猜想它的解是 ．
请验证第问猜想的结论．
19.本小题分
如图，、是线段上的两点，，点、分别是、的中点，且，求、的长。
20.本小题分
如下表，方程、方程、方程、方程是按照一定规律排列的一列方程：
序号 方程 方程的解
______
______
将上表补充完整；
写出表内这列方程中的第为正整数个方程和它的解．
21.本小题分
已知实数，满足方程．
若，求的值；
若，是上述关于的方程的两个不相等的实数解，且，求的值．
22.本小题分
对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．
根据规定，计算：______；
已知为非负整数，满足以下方程：
若方程，则的所有取值为______；
解方程：．
如果我们对连续求根整数，直到结果为为止例如：对连续求根整数次，，这时候结果为同理对连续求根整数，至少次之后结果为试求至少需要进行次连续求根整数运算后结果才为的所有正整数中最小的整数．
23.本小题分
已知方程的解与关于的方程的解互为倒数，求的值．
24.本小题分
根据以下条件列方程，并求出方程的解．
某数的比它本身小，求这个数．
一个数的倍与的和等于这个数与的差．
25.本小题分
小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，并尝试解决了相关问题．下面是小明的探究过程，请补充完整：
当时，；
当时， ；
当时， ．
在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的两条不同类型的性质．
直接写出关于的方程为常数，解的个数及对应的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】【分析】
首先根据图示可知，，，据此判断出、与的关系，然后判断出结果．
本题主要考查了等量代换问题，判断出、与的关系是解答此题的关键．
【解答】
解：根据图示可得，
，
，
由、可得，
，，
，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：当时，，
，
当时，；
，
；
故选：．
由表格可知，当时，，进而得到，即可得出结果．
本题考查方程的解，解答本题的关键要明确：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
4.【答案】
【解析】略
5.【答案】
【解析】解：根据方程的概念逐项分析判断如下：
因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以不符合题意；
因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以不符合题意；
因为，虽然含有未知数，但为不等式，不符合方程的定义，所以符合题意；
因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以不符合题意．
故选：．
根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，逐一分析各选项是否符合条件．
本题主要考查了方程的定义，熟练掌握概念是关键．
6.【答案】
【解析】解：解得，故A符合题意；
解方程得，故B不符合题意；
解得，故C不符合题意；
解得，故D不符合题意．
故选A．
7.【答案】
【解析】提示：将代入，得，即因为，所以将代入，得，即所以，解得．
8.【答案】
【解析】解：，
解得，
关于的方程有非负整数解，
，
解得：，且为整数，
关于的不等式组整理得
不等式组的解集为，
，
解得：，
且为整数，
，
于是符合条件的所有整数的值之和为：，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
把代入已知方程，可以列出关于的方程，通过解该方程可以求得处的数字．
此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
【解答】
解：把代入方程，得，
解得．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二项方程的定义，注意二项方程的左边只有两项，一项含未知数，一项是常数，右边为根据二项方程的左边只有两项，右边是，结合选项进行判断即可．
【解答】
解：、不是二项方程，故本选项错误；
B、不是二项方程，故本选项错误；
C、原方程整理为，是二项方程，故本选项正确；
D、不是二项方程，故本选项错误．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了方程的定义，判断一个式子是方程必须同时具备两点，一是等式，二是含有未知数．方程就是含有未知数的等式，据此定义可得出正确答案．
【解答】
解：根据方程的定义可得是方程；
不是等式，不是方程；
不是等式，就不是方程．故有个式子是方程．
12.【答案】
【解析】解：是关于的方程的解，
，
解得：，
的值为．
故选：．
把代入方程得到关于的一元一次方程，求解即可．
本题考查方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值和解一元一次方程，解题的关键是代入值列出关于的方程，
13.【答案】
【解析】解：将代入，
得，
解得，
则
．
故答案为：．
将代入，得到关于的一元一次方程并求解，从而计算的值即可．
本题考查方程的解、代数式求值，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】本题考查了方程的解的定义、解一元一次方程，把代入方程得出一个关于的方程，解方程即可，熟练掌握方程的解的定义是解此题的关键．
【详解】解：是关于的方程的解，
，
解得：，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：方程，
解得：，
把代入第二个方程得：，
去分母得：，
解得：，
故答案为：
求出第一个方程的解得到的值，代入第二个方程计算即可求出的值．
此题考查了同解方程，同解方程就是方程解相同的方程．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，的解是；
的解是；
的解是；
根据规律，的解是，
即的解是．
故答案为：．
根据规律作答即可．
本题考查方程的解，找到方程与其解的变化规律是解题的关键．
17.【答案】【小题】

【小题】

【解析】 略
略
18.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
把代入等式，左边右边．

【解析】
解：根据材料可知，关于的方程的解为．
故答案为．

关于的方程的解是．
故答案为．
略
19.【答案】解：因为，
所以设。按照比例关系，那么，。
所以的长度就是与长度之和，即；
同理，的长度为与长度之和，所以。
由于点是的中点，根据中点将线段平分的性质，那么。
因为，所以。
同理，点是的中点，所以。又因为，所以。
已知，观察图形可知的长度可以表示为因为和相加时，部分被重复计算了一次，所以要减去。
将前面求出的，，代入可得方程。
先对左边进行计算，，即。
两边同时乘以，得到。
因为，，所以。
又因为，，所以。
【解析】【分析】
解题的关键在于根据线段的比例关系设出未知数，然后利用中点的性质表示出相关线段的长度。
20.【答案】，
【解析】，
解得；
，
解得，
补表如下：
序号 方程 方程的解


序号每增加，方程的解增加，
第为正整数个方程，解为，
第为正整数个方程和它的解分别为，．
分别求两个一元一次方程的解，然后补表即可；
根据表格推导一般性规律即可．
本题考查了解一元一次方程，规律探究．熟练掌握解一元一次方程，并推导一般性规律是解题的关键．
21.【答案】或；

【解析】
，
，
或．
，
，，
，
代入韦达定理得：，
．
将代入，进而得出答案；
将原式变形得，根据已知条件可得，，结合韦达定理，即可得出答案．
本题主要考查分式的加减法、方程的解，灵活运用韦达定理、完全平方公式是解题的关键．
22.【答案】；
，，，，；
，，；
．
【解析】，
；
故答案为：；
，
，
，
可取，，，，；
故答案为：，，，，；
二次根式有异议，
，
，
，，
，，
，，
，，
且，
，，；
令，，，，其中，，，，均为正整数，，，，均不为，
，即，
，即，
，即，
，即，
的最小值为，即需要进行次连续求根整数运算后结果才为的所有正整数中最小的整数为．
根据无理数大小的估算方法求解即可；
根据新定义列出关于的不等式，求解的整数值即可；
先求出的取值范围，估算出和的取值范围，然后代入方程内验证，求得的整数值；
逆向推理，求出四次连续求根整数运算的数的取值范围，求其最小值即可．
本题主要考查了新定义，根据新定义列出关于未知数的不等式是本题解题的关键．
23.【答案】．
【解析】解：，
去括号，得，
解得：．
方程的解与关于的方程的解互为倒数，
也是方程的解，
，
去分母，得，
解得：．
解一元一次方程，可得，根据题意可知，方程的解与关于的方程的解互为倒数，由此可得也是方程的解，所以可得，根据解一元一次方程的方法求解即可．
本题考查了解一元一次方程，倒数，方程的解，掌握解一元一次方程的方法，倒数定义是解题的关键．
24.【答案】【小题】
．
【小题】
．

【解析】 略
略
25.【答案】【小题】

【小题】
当时，函数的图象过点，， 当时，函数的图象过点，， 函数的图象如图所示．
由图象可知， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数图象关于直线对称．性质不唯一，合理即可
【小题】
关于的方程为常数，， 令，则图象过点， 当直线过点时，，， 此时，关于的方程为常数，有一个解； 当直线平行于直线时，，时，关于的方程为常数，有一个解； 当直线平行于直线时，，时，关于的方程为常数，有一个解． 综上，当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解； 当或时，方程没有解．

【解析】 略
略
略
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