5.2等式的基本性质 浙教版（2024）初中数学七年级上册同步练习（含详细答案解析）

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5.2等式的基本性质浙教版（ 2024）初中数学七年级上册同步练习
分数：120分 ; 考试时间：120分钟； ;命题人：
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，都是实数，且，，那么与的关系是( )
A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 相等 D.
2.小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，如图所示，天平都保持平衡若设“”与“”的质量分别为，，则下列关系式正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知，，则代数式的值是 ．
A. B. C. D.
4.下列等式变形错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.下列等式变形正确的是( )
A. 由，得
B. 由，得
C. 由，得
D. 由，得
6.下列变形中，正确的是( )
A. 由，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由，得
7.已知，，，下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
8.下列等式变形错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9.下列说法，正确的是．
A. 若，则
B.
C. 一个圆被三条半径分成面积比为：：的三个扇形，则最小扇形的圆心角为
D. 钟表上的时间是点分，此时时针与分针所成的夹角是
10.已知非零实数，满足，且，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.已知实数，，均不为，且，下列命题是假命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
12.对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是一元二次方程的根，则．
其中正确的( )
A. 只有 B. 只有 C. D. 只有
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知，则整式的值为 ．
14.观察图，若天平保持平衡，在图天平的右盘中需放入 个才能使其平衡．
15.如图，标有相同字母的物体的质量相同，若的质量为克，则当的质量为______克时，天平处于平衡．
16.有八个球编号是至，其中有六个球一样重，另外两个球都轻克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次比重，第二次比轻，第三次和一样重．那么，两个轻球的编号是 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
请欣赏一首诗：
太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；
一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；
剩下十五围着我，共有多少请算清．
你能用方程来解决诗中的问题吗？
18.本小题分
“曹冲称象”是流传很广的故事．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入块同样的条形石，船上只留个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工的体重均为千克，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：块等重的条形石的重量个搬运工的体重块等重的条形石的重量个搬运工的体重．
因为已知每个搬运工的体重均为千克，设每块条形石的重量是千克，则可列方程________________________．
解这个方程得，_________．
实际上由题也可直接得到，一块条形石的重量_________个搬运工的体重．
最终可求得，大象的体重为_________．
19.本小题分
已知，，且，求证：．
20.本小题分
健康饮食餐盘是一种以图画呈现饮食指南的方式，图画中各类食物区块的面积，表示一个人每日所应摄取各类食物的份量某研究机构对于一般人如何搭配谷类、蛋白质、蔬菜、水果这四大类食物的摄取份量，以健康标语说明这四大类食物所应摄取份量的关系如图，并绘制了健康饮食餐盘如图请根据上述信息回答下列问题，写出你的解题过程：
请根据图的健康标语，判断一个人每日所应摄取的水果和蛋白质份量之间的大小关系；
将图的健康饮食餐盘简化为一个长方形，且其中四大类食物的区块都为长方形，如图所示若要符合图的健康标语，在纸上画出图的图形，其中餐盘长为厘米，宽为厘米，则、是否可能同时为正整数？若可能，求出、的值；若不能，请说明理由．
21.本小题分
习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程，
解：方程两边同时除以得，
第一步，
第二步，
第三步，
嘉嘉的解答过程从第______步开始出现错误的；
请给出这道题的正确解答过程．
22.本小题分
综合与实践
问题提出：数学实践活动课上，老师提出了一个问题：请你借助一架天平和若干个克的砝码测量出一个牙杯和一个牙刷的重量．
实验探究：准备若干个相同的牙杯和若干个相同的牙刷每个牙杯的重量相同，每个牙刷的重量也相同，设一个牙杯的重量为克，经过实验，小明将信息记录在下表：
记录 天平左边 天平右边 天平状态 牙杯的总重量 牙刷的总重量
记录 个牙杯，个克的砝码 个牙刷 平衡 ______
记录 个牙杯 个牙刷和个克的砝码 平衡 ______
解决问题：
用含的代数式表示出表中的两空即牙刷的总重量；
根据表中的数据利用一元一次方程的知识求出一个牙杯的重量和一个牙刷的重量，设计方案：
根据中的结论，若将天平左边放置只牙杯，则天平右边需放置______个牙刷和个克的砝码可使天平平衡．
23.本小题分
已知．
判断与是否相等，并说明理由；
当，，求的值．
24.本小题分
解方程：．
解：当时，解得；
当时，解得．
所以原方程的解是或．
解方程：；
解方程：；
探究：当分别为何值时？方程．
无解；
只有一个解；
有两个解．
25.本小题分
小周学习“等式的基本性质”后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗小周的具体过程如表所示：
将等式变形
得第步
所以第步
哪一步等式变形产生错误
请你分析产生错误的原因。
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查代数式求值的知识和等式的性质根据，，得出的值，再根据整体代入法求出代数式的值．
【解答】
解：，，
，
，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】解：若，则，变形正确，故选项A不符合题意；
B.若，则，当时成立，但若，则和可为任意值，等式仍成立，因此无法确定，变形错误，故选项B符合题意；
C.若，则，变形正确，故选项C不符合题意；
D.若，则，因，两边同除成立，变形正确，故选项D不符合题意．
故选：．
根据等式的性质对各选项进行判断即可．
本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、由，等式两边减去，得，故变形错误，不符合题意；
B、由，等式两边加，得，故变形正确，符合题意；
C、由，等式两边减去，再减去，得，故变形错误，不符合题意；
D、由，等式两边除以，得，故变形错误，不符合题意；
故选：．
等式两边同时加或减同一个数或式子，结果仍相等，即如果，那么；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等；即如果，那么；如果，那么；根据等式的两个性质进行判断即可．
本题考查了等式的两个性质：熟练掌握该知识点是关键．
6.【答案】
【解析】解：、方程两边所减不是同一式子，故本选项错误；
B、应当两边同时除以，故本选项错误；
C、应当两边同时除以，故本选项错误；
D、两边同时除以即可得到，故本选项正确；
故选：．
根据等式的性质进行判断即可．
本题考查了等式的性质，等式性质、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立．
7.【答案】
【解析】因为，，
所以，故A选项结论正确，不符合题意；
因为，，
所以，故B选项结论正确，不符合题意；
因为，所以．
因为，所以，
所以，所以，
所以，故C选项结论错误，符合题意；
因为，所以．
因为，
所以，
所以，故D选项结论正确，不符合题意．
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的基本性质．
根据等式的性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立，可得答案．
【解答】
解：、若，则，正确；
B、若，则 ，正确；
C、若，则，正确；
D、若，则，时，两边都除以无意义，错误；
故选D．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了等式的性质、度分秒的换算、扇形圆心角以及钟面角的概念，计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．
依据等式的性质、度分秒的换算、扇形圆心角以及钟面角的概念进行计算，即可得出正确结论．
【解答】
解：若，当时，成立，当时，不一定成立，故A选项不正确；
B.，故B选项错误；
C.一个圆被三条半径分成面积比：：的三个扇形，则最小扇形的圆心角为，故C选项错误；
D.钟表上的时间是点分，此时时针与分针所成的夹角是，故D选项正确；
故选D．
10.【答案】
【解析】解：非零实数，满足，
，
，
，
，
，
；
，
．
11.【答案】
【解析】解：、把代入，得到，因此，故A不符合题意；
B、由，得到，代入，整理得：，得到，故B不符合题意；
C、由，得到，把代入上式，即可得到，故C不符合题意；
D、如果，，代入，得到，此时，因此此命题是假命题，故D符合题意．
故选：．
由等式的性质进行计算，即可判断
本题考查命题与定理，等式的性质，关键是掌握等式的性质．
12.【答案】
【解析】解：若，则是原方程的解，即方程至少有一个根，由一元二次方程的实数根与根的判别式的关系可知：，故正确，符合题意；
方程有两个不相等的实根，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故正确，符合题意；
若是一元二次方程的根，
则根据求根公式得：，
，
故正确，符合题意；
故选：．
根据一元二次方程实数根与根的判别式的关系，其中有两个实数根、有两个不相等的实数根、无解，以及求根公式和等式的性质逐个排除即可．
本题主要考查一元二次方程的实数根与根的判别式的关系，以及根的定义和等式性质，牢固掌握相应关系并灵活应用是解题关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求代数式的值，解决本题的关键是运用整体代入的思想来解题；
观察已知和待求，可发现含有相同字母，且指数相同，故将待求式化为含有的形式；接下来结合已知整体代入到化简后的待求式，进一步化简消去求值即可得出结果．
【解答】
解：，
，
．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等式的性质的应用，解题的关键是理解等式的性质．设的质量为，的质量为，的质量为，根据图列出等式，再由等式的性质参照图进行答题即可．
【解答】
解：设的质量为，的质量为，的质量为，
则，即．
所以．
所以在图天平的右盘中需放入个才能使其平衡．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由条件可知，
的质量为克，
的质量为克，
故答案为：．
由题意得，，则，据此可得答案．
本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是关键．
16.【答案】
【解析】解：比重，
与中至少有一个轻球，
比轻，
与至少有一个轻球，
和一样重可知两个轻球的编号是．
故答案为：．
由比重可知与中至少有一个轻球，由比轻可知与至少有一个轻球，和一样重可知两个轻球的编号是．
本题考查的是等式的性质：
等式性质，等式的两边加或减同一个数或式子结果仍相等；
等式性质，等式的两边同乘或除以同一个数除数不为结果仍相等．
17.【答案】只
【解析】略
18.【答案】
【解析】略
19.【答案】，等式的两边都乘以，得，，，，．，，，，即．
【解析】略
20.【答案】解：因为蔬菜和水果合计占一半，所有蔬菜水果谷类蛋白质，
蔬菜谷类，
水果蛋白质；
答：水果和蛋白质份量相同；
存在，，，理由如下，
由可知，图中水果和蔬菜两个矩形的宽的和为厘米，蛋白质和谷类的长为厘米，
水果的面积为，谷类的面积为，蔬菜的面积为，蛋白质的面积为，
，，
，
，，
，同时为正整数，则，．
【解析】根据图中的关系列出等式即可求解；
根据图的关系列出方程即可求解．
本题考查了等式的性质和二元一次方程，列代数式，解题关键是根据题意列出方程．
21.【答案】第一；
见解析．
【解析】根据解一元二次方程的计算的步骤可知：
嘉嘉是第一步，
故答案为：第一；
原方程移项得：，
分解因式，
即或，
所以，．
根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
根据因式分解法解答即可．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
22.【答案】；；
一个牙杯的重量为克，一个牙刷的重量为克；
．
【解析】根据题意得：
记录的牙刷的总重量为：，
记录的牙刷的总重量为：，
故答案为：；；
根据题意得：一个牙刷的重量为克或克，
可列出方程为，
解得克，
一个牙刷的重量为．
答：一个牙杯的重量为克，一个牙刷的重量为克；
设右边需要放只牙刷，
根据题意得：，
解得
故答案为：．
根据天平左右两边的重量相等，列出代数式即可；
根据记录和记录可得出一个牙刷的重量为克或克，列出方程，求解即可得到答案；
设右边需要放只牙刷，根据题意得，解方程即可得到答案．
本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用，等式的性质，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23.【答案】解：，
理由如下，
，
，
，
，
，
；
解：把，代入，
得到：，
，
，
，
．
【解析】首先根据等式的基本性质把等式的两边同时乘以分母的最小公倍数，可得，然后再根据等式的基本性质把等式的两边同时加上可得；
把，代入，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可．
本题考查了等式的性质、解一元一次方程，解决本题的关键是根据等式的基本性质进行变形．
24.【答案】或；
或；
当时，方程无解；当时，方程只有一个解；当时，方程有两个解．
【解析】，
移项得：，
去绝对值得：或，
解得或；
，
去绝对值得：或，
解得或；
，
当时，方程无解；
当时，方程只有一个解；
当时，方程有两个解．
先移项得到，利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程；
先利用绝对值的意义得到或，然后分别解两个一次方程；
利用绝对值的意义讨论：当或或时确定方程的解的个数即可．
本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，掌握解含绝对值符号的一元一次方程的解法是解题的关键．
25.【答案】【小题】解：第步得出错误的结论．
【小题】其原因是等式的两边同除以了一个可能等于零的．

【解析】 本题主要考查了等式的基本性质．
掌握等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立是关键．
本题主要考查了等式的基本性质．
掌握等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立是关键．
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