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专题1.3.2证明十大题型（一课一讲）
（第2课时 三角形外角的定义及其性质）
1.三角形外角的相关概念
外角：三角形的一个内角的邻补角，即由三角形的一边和另一边的延长线组成的角。
每个三角形有 3 个外角（每个顶点对应一个外角）。
外角的大小=相邻内角的补角（即 外角 + 相邻内角 = 180°）。
2.三角形外角的基本性质
（1）外角定理（核心性质）：三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和；
（2）外角大于不相邻内角：外角 > 任何一个与之不相邻的内角；
（3）三个外角之和为360°：无论三角形形状如何，三个外角的和恒等于 360°。
题型一：三角形外角的性质之三角板问题
【例题1】（2024九年级下·广东·学业考试）将一副直角三角板如图所示位置摆放，使含有角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边在同一条直线上．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（2024九年级下·安徽宣城·期末）如图所示是由一副直角三角板叠放在一起得到的图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（）
A． B． C． D．
【变式训练1-4】（2024·湖南·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边平行，与交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-5】（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线a上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-6】（24-25七年级下·山东聊城·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为 ．
题型二：三角形外角性质的实际应用
【例题2】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图1所示是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌，给该标志牌的端点标上字母如图2所示，若点在一条直线上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）
【变式训练2-5】（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ．
题型三：三角形的外角与平行线的综合
【例题3】（2024·湖南·一模）如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知，，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-4】（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，直线，则 ．
题型四：三角形的外角与角平分线的结合
【例题4】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，是的外角的平分线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，中，是边上的高，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-4】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ．
【变式训练4-5】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，于平分与交于点，则的大小为 度．
题型五：三角形内角等分线和外角等分线综合
【例题5】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练5-1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】（25-26七年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则 ．
【变式训练5-4】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ．
【变式训练5-5】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知为中的平分线，为的外角的平分线，与交于点 D，若，则 ．
题型六：三角形中特殊多边形的角度和
【例题6】（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式训练6-1】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图．等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，将点A，B，C，D，E，F依次首尾相连组成一个封闭图形，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-5】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（ ）
A．100° B．200° C．180° D．210°
题型七：三角形解外角答题综合
【例题7】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，是高，是角平分线，它们相交于点F．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
【变式训练7-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分的外角，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想．
【变式训练7-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，E为的延长线上一点，交于点F，，，求的度数．
【变式训练7-3】（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接．
(1)求的度数．
(2)若，求证：．
【变式训练7-4】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的度数．
【变式训练7-5】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，，C点在上，，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求和的大小．
题型八：三角形外角中折叠问题
【例题8】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度．
【变式训练8-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为 ．
【变式训练8-2】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ．
【变式训练8-3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度．
【变式训练8-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ．
【变式训练8-5】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的度数为 ．
题型九：三角形外角中多结论问题
【例题9】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，平分，平分，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【变式训练9-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①③
【变式训练9-2】（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，则下列结论：；；；．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练9-4】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练9-5】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
题型十：解答题压轴之三角板中探究问题
【例题10】（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）【动手探究】
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）：
(1)若，则的度数为________．
(2)若，则的度数为________．
(3)由（2）猜想与的数量关系，并说明理由．
(4)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【变式训练10-1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含30°角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中60°角的顶点B放在直线上，过30°角的顶点．作直线的平行线，直线始终位于直线的上方．
探究发现：
（1）如图1，若，则的度数为________°．
（2）若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间．
①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由；
②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点恰好落在上，得到三角形（点的对应点分别为），连接．若，请求的度数．
深入探究：
（3）若直角三角板的直角顶点不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系．
【变式训练10-2】（24-25七年级下·广东汕头·期末）【问题背景】
综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动．
如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，．
(1)【探索发现】
如图2，林老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则 ．（填写度数）
(2)如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线、上，且使直角顶点与重合（以下称为点R），求的度数；
(3)【迁移运用】
如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系；
(4)【拓展创新】
在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒，
①三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），存在三角板的一条边与直线平行，请直接写符合条件的t值；
②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值．
【变式训练10-3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图1，一副三角板的直角顶点重合，边，在直线上，其中，，．
(1)请直接写出：_________．
(2)如图，将三角板沿着直线向右平移得到三角板，直线与直线相交于点．
若点在线段上（不包括端点），求与的数量关系；
若，求的度数．
【变式训练10-4】（24-25七年级下·福建厦门·期末）一副三角板、按如图1方式摆放，，，，，直线．点A在直线a上，点B、点C与点D均在直线b上，，与直线a交于点P．
(1)求的度数；
(2)连接为的角平分线．
①如图2，当点F在上，证明；
②将沿着直线b平移，记，若射线与直线交于点Q且夹角为，探究在平移过程中与的关系．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.3.2证明十大题型（一课一讲）
（第2课时 三角形外角的定义及其性质）
1.三角形外角的相关概念
外角：三角形的一个内角的邻补角，即由三角形的一边和另一边的延长线组成的角。
每个三角形有 3 个外角（每个顶点对应一个外角）。
外角的大小=相邻内角的补角（即 外角 + 相邻内角 = 180°）。
2.三角形外角的基本性质
（1）外角定理（核心性质）：三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和；
（2）外角大于不相邻内角：外角 > 任何一个与之不相邻的内角；
（3）三个外角之和为360°：无论三角形形状如何，三个外角的和恒等于 360°。
题型一：三角形外角的性质之三角板问题
【例题1】（2024九年级下·广东·学业考试）将一副直角三角板如图所示位置摆放，使含有角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边在同一条直线上．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角性质，对顶角的性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”的性质是解题的关键．利用三角形的外角性质求出，再利用对顶角相等求解即可．
【详解】解：由题意，得，，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练1-1】（24-25九年级下·山东菏泽·阶段练习）将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理，先根据三角形的外角得出，再根据平行线的性质得出，最后根据三角形内角和定理得出答案即可．
【详解】解：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练1-2】（2024九年级下·安徽宣城·期末）如图所示是由一副直角三角板叠放在一起得到的图形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
由三角形的外角性质可求得，从而可求得的度数．
【详解】解：∵是的外角，
，
，
，
故选：C．
【变式训练1-3】（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【变式训练1-4】（2024·湖南·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边平行，与交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．设与交于点，由题意可得：，，，推出，最后根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：设与交于点，
由题意可得：，，，
，
，
故选：D．
【变式训练1-5】（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线a上，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角板中角度计算，对顶角性质，平行线性质，三角形外角性质，解题的关键在于灵活运用相关知识．
根据三角板中角度计算，对顶角性质，推出，再结合平行线性质得到，最后利用三角形外角性质求解，即可解题．
【详解】解：如图：
三角板的直角顶点C放在直线a上，，
，
，
，
；
故选：B．
【变式训练1-6】（24-25七年级下·山东聊城·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查的是等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形，三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
利用等腰直角三角形的性质求出，再利用对顶角和三角形的外角求解即可
【详解】解：如图所示，
在直角三角形中，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
题型二：三角形外角性质的实际应用
【例题2】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线性质（互补角）、三角形外角性质，解题关键是利用平行线求出．根据平行线先求出，再借助三角形外角与内角的关系计算即可．
【详解】解：如图，，
，
，
，
故选：B．
【变式训练2-1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图1所示是综合实践活动小组同学们为学校配电房绘制的一张“有电危险”标志牌，给该标志牌的端点标上字母如图2所示，若点在一条直线上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据三角形外角的性质即可求解，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
【详解】解：∵
∴，
故选：C．
【变式训练2-2】（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
延长，交于点M，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数，即可解答．
【详解】解：延长，交于点M，如图
∴，
∴，
∴．
故选C．
【变式训练2-3】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是由以上知识点推出．
延长交于，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到，求出，由三角形内角和定理求出，由，得到，即可得到答案．
【详解】解：延长交于，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
，
当时，
，
，
不可能取到的度数为．
故选：B．
【变式训练2-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）
【答案】减少
【分析】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到与，，之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：连接，并延长至M，如图所示：
依题意，，
∴，
∴，
∴，，
∴
，
要使，则减少了，
若只调整的大小，
则
，
因此应将减少度；
故答案为：减少
【变式训练2-5】（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）超市的小推车能更有效地增加角落的收纳空间，十分便捷．将它抽象出来的平面图形如图所示．已知，，若，，则的度数为 ．
【答案】/110度
【分析】通过作辅助线 ，利用平行线的传递性得到 ，再结合平行线的性质和已知垂直条件，求出的度数．本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，内错角相等；平行线间的传递性等 ）是解题的关键．
【详解】解：过点作交的延长线于点，
，
，
，即，
故答案为：．
题型三：三角形的外角与平行线的综合
【例题3】（2024·湖南·一模）如图，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【变式训练3-1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线性质、三角形外角性质等知识，熟记平行线性质及三角形外角性质，数形结合是解决问题的关键．
由，根据两直线平行内错角相等得到，在中，是的一个外角，代值求解即可得到答案，
【详解】
解：，
，
在中，是的一个外角，则，
∵，
，
故选：C．
【变式训练3-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，，，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角的性质得出答案即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【变式训练3-3】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，某条行车路线共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的．已知，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．延长交于，依据，即可得到，，再根据是的外角，即可得出求出答案即可．
【详解】解：如图，延长交于，
，
，
，
又是的外角，
．
故选：A．
【变式训练3-4】（2025八年级上·全国·专题练习）如图所示，直线，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．
根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：如图，
∵
∴
∵
∴
故答案为：
题型四：三角形的外角与角平分线的结合
【例题4】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，是的外角的平分线，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外角性质的应用，能根据三角形的外角性质得出是解题的关键．由角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，是的外角的平分线，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：C．
【变式训练4-1】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，中，是边上的高，是的角平分线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质、角平分线的定义．先求出，根据角平分线的定义得，再运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵，是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练4-2】（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和求出，则由角平分线的定义得到，进而可由三角形外角的性质得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的外角的平分线，
∴，
∴，
故选：B．
【变式训练4-3】（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，再根据平分得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴．
∵是的外角，，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
故选：B．
【变式训练4-4】（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ．
【答案】/60度
【分析】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义．
作射线，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案．
【详解】解：作射线，如图，
由三角形外角的性质得到：，
又，，，
则，
平分，
，
，
即．
故答案为：．
【变式训练4-5】（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，于平分与交于点，则的大小为 度．
【答案】110
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义，求出的度数，垂直得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
故答案为：110
题型五：三角形内角等分线和外角等分线综合
【例题5】（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查角平分线的定义、三角形内角与外角的性质等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键．
利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算即可．
【详解】解：∵与的平分线相交于点，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，即；
同理：，
，
……
．
故选A．
【变式训练5-1】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题的关键是掌握一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
根据角平分线的定义得到，，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线，
∴，，
∴．
故选：A．
【变式训练5-2】（25-26七年级上·河北衡水·开学考试）如图，在中，，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点得，的平分线与的平分线交于点，得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的一半是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，同理可得，从而判断出后一个角是前一个角的一半，然后表示出即可．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
即，
，
，
，
，
，，
以此类推，，
．
故选：B．
【变式训练5-3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，分别平分，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，若，则 ．
【答案】/25度
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角定理，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角定理是解题的关键．首先根据角平分线的定义及平角的定义证明，然后根据三角形外角定理得，据此求解．
【详解】解：∵，分别平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为： ．
【变式训练5-4】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ．
【答案】/3度
【分析】利用角平分线的性质以及三角形外角与内角的关系，逐步推导得出与的数量关系，进而求出．本题主要考查三角形外角性质、角平分线定义，熟练掌握三角形外角与内角的关系，以及通过递推得出与的数量关系是解题关键．
【详解】解：平分，平分，
，．
又，，
，
∴．
同理可得．
∴．
∴．
∵，，则．
故答案为：．
【变式训练5-5】（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知为中的平分线，为的外角的平分线，与交于点 D，若，则 ．
【答案】/32度
【分析】本题考查了角平分线与三角形的外角性质，熟练运用外角性质将角度转化是解题的关键．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，结合角平分线的定义可得，然后整理即可得解．
【详解】解：∵为中的平分线，为的外角的平分线，
∴，，，
∴，
∴
即，
∵，
∴．
故答案为：
题型六：三角形中特殊多边形的角度和
【例题6】（24-25八年级下·黑龙江双鸭山·开学考试）如图，的度数是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角可得，，，然后求和解答即可．
【详解】解：如图，设交点为O，
则，，，
∴，
故选：B．
【变式训练6-1】（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了外角的性质和三角形的内角和定理，先根据两次外角性质得到相关角的关系，再根据三角形的内角和即可得到答案；
【详解】解：如图：，
，
∵，
∴，
故的度数是，
故选：B．
【变式训练6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图．等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】如图，延长，交于点G，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【变式训练6-3】（24-25八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，将点A，B，C，D，E，F依次首尾相连组成一个封闭图形，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，延长交于点H，延长交于点G，连接，根据外角性质得出，，，，然后得出，求出结果即可．熟练掌握三角形外角的性质等于和它不相邻的两个内角之和，是解题的关键．
【详解】解：延长交于点H，延长交于点G，连接，如图所示：
根据三角形外角的性质得：，
，
，
，
∴，
∴．
故选：A．
【变式训练6-4】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质．根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】解：如图：
∵，，
∴．
故选：A．
【变式训练6-5】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（ ）
A．100° B．200° C．180° D．210°
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键．
根据，，，即可求出．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴
．
故选：C．
题型七：三角形解外角答题综合
【例题7】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，是高，是角平分线，它们相交于点F．
(1)求的度数．
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角形高线，角平分线，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据高线的定义，得到，三角形的内角和定理求出的度数即可；
（2）根据三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义，求出的度数，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵在中，，，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴．
【变式训练7-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分的外角，且交的延长线于点E．
(1)若，，求的度数；
(2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论；
（2）证明，结合，，可得结论．
【详解】（1）解：由条件可知，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
由条件可知，
又∵，
∴
，
即．
【变式训练7-2】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，平分，E为的延长线上一点，交于点F，，，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，角平分线的定义，
先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后根据三角形外角的性质求出，最后根据三角形外角的性质得出答案.
【详解】解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∵是的外角，,
∴,
∴.
∵是的外角，,
∴,
∴.
故答案为：.
【变式训练7-3】（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接．
(1)求的度数．
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
（1）由三角形的外角性质可求得，再由角平分线的定义即可求的度数；
（2）结合（1）可求得，利用同位角相等，两直线平行即可判定．
【详解】（1）解：∵，，是的外角，
∴，
∵平分，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练7-4】（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．
（1）由平行线的性质得到，，，等量代换可得，即可得解；
（2）根据三角形的内角和求出，即得，根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式训练7-5】（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，，C点在上，，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求和的大小．
【答案】(1)证明过程见解析部分；
(2)，．
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由两直线平行，内错角相等可得，再结合题意得出，即可得证；
（2）由平行线的性质结合三角形外角的定义及性质即可求出的度数，再由三角形内角和定理并结合平行线的性质即可得出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
题型八：三角形外角中折叠问题
【例题8】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，，，将纸片的一角折叠，使点C落在点，若，则的度数为 度．
【答案】116
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，理解折叠的性质，掌握三角形内角和定理，外角和的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理可得，根据折叠的性质可得，由三角形的外角的性质可得，再由是的外角，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵折叠，
∴，
设交于点，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为： ．
【变式训练8-1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和同时成为“准直角三角形”，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的新定义，三角形内角和及外角性质，设，由，可得，由折叠可得，当为“准直角三角形”时，或，解得或，分别代入计算各角的度数，根据“准直角三角形”的定义判断即可求解，解题的关键是读懂“准直角三角形”的定义及分类讨论思想的应用．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，
∴，
当为“准直角三角形”时，或，
∴或，
∴或，
①当时，即，
∴，
∴，
∴，
此时，，
∴不是“准直角三角形”；
②当时，即，
∴，
∴，
∴，
此时，
∴是“准直角三角形”；
综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的的度数为，
故答案为：．
【变式训练8-2】（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．由折叠的性质可得，由可得，由三角形外角性质可得，即可求解．
【详解】解：折叠的性质可得，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，
故答案为：．
【变式训练8-3】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图所示，在数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片沿向上折叠，点落在点处，当时， 度．
【答案】
【分析】本题考查三角形中求角度，涉及平行线性质、折叠性质、外角性质等知识，熟练掌握三角形中求角度的方法是解决问题的关键．先由平行线得到，再由折叠性质得到，从而求出，再由三角形外角性质求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
【变式训练8-4】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，将、按照如图所示折叠，若，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，折叠性质，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．由折叠可得，，利用三角形的外角性质与三角形内角和定理可求得的度数，的度数，从而可求解．
【详解】解：由折叠知：，．
，
．
，
，
，
．
．
故答案为：．
【变式训练8-5】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使点落在边上的点处，则的度数为 ．
【答案】/24度
【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识进行倒角，属于中考常考题型．根据三角形内角和定理得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
沿折叠得到，
，
是的一个外角，
．
故答案为：．
题型九：三角形外角中多结论问题
【例题9】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，平分，平分，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④．
【详解】解：∵，即，
∴，
平分，平分，
，，
，
，
，①正确；
，，
，，
，
，②正确；
，
，
，③正确；
，
，④错误；
综上，正确的结论是①②③．
故选：B．
【变式训练9-1】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①③
【答案】B
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，平行线的性质，角平分线的定义结合平角的定义，求出，判断①，三角形的外角的性质，结合角平分线的定义推出，判断②，平行线的性质结合三角形的外角的性质，判断③，平行线的性质，等量代换判断④．
【详解】解：∵分别平分，，，
∴，
∴，
∴；故①正确；
∵，，，
∴，
∴；故②错误；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；故③正确；
∵，，，
∴；故④正确；
故选B．
【变式训练9-2】（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于点，交于点，则下列结论：；；；．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质，根据，和，证明结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； 证明，根据的结论，证明结论正确； 根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，正确；
∵平分，
∴，，
∴，即，
∴，即，
∴，正确；
由， ，
∵，
∴，
由得，，
∴，
∴，正确；
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，正确，
综上：正确，
故选：．
【变式训练9-3】（24-25八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点O，的外角的平分线所在直线与的平分线交于点D，与的外角的平分线交于点E．有下列结论∶①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，由角平分线的定义可得，即可判定①；由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定②；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定③；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定④；由三角形外角的性质，角平分线的定义可判定⑤；综合即可得出答案．
【详解】解：∵是的平分线，是的外角的平分线，
∴，故①正确；
，的平分线交于点，
，，
又∵，
，
，故②正确；
平分，
，
，，，
，
，
，故③正确；
如图，
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，故④正确；
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
综上正确的有：①②③④⑤．
故选：D．
【变式训练9-4】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【详解】解：∵，的平分线交于点，
∴，，
∴，
∴，
故①正确，符合题意；
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故④正确，符合题意；
综上正确的有：①②③④．
故选：D．
【变式训练9-5】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，中，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；④．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．①根据，和，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明，根据①的结论，证明结论错误；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
【详解】解：①，
，
，
，
，
，故①正确；
②平分，
，
又，
，
，
，故②正确；
③∵，
∴，
，
，
由①得，，
，
；故③错误；
④，
又，
，
，，
∴，
，
，故④正确；
综上分析可知，①②④正确，故B正确．
故选：B．
题型十：解答题压轴之三角板中探究问题
【例题10】（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）【动手探究】
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，；）：
(1)若，则的度数为________．
(2)若，则的度数为________．
(3)由（2）猜想与的数量关系，并说明理由．
(4)当且点E在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，理由见解析；
(4)存在，，理由见解析．
【分析】本题主要考查了平行线的判定及直角三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（2）根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；
（3）根据以及，进行计算即可得出结论；
（4）分五种情况进行讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别求得角度．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解： ，理由如下：
∵，
又∵，
∴，
∴；
（4）解：存在，，理由如下：
当时，如图：
∵，
∴，
∵，
∴；
当时，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，如图：
∵，
∴，
∴；
当时，如图：
∵，
∴，
∴；
当时，延长，交的延长线于点，如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式训练10-1】（24-25七年级下·山西阳泉·期末）综合与探究
问题情境：
数学活动课上，勤思小组的同学们利用两条直线（点M始终位于点N的左侧，点P始终位于点Q的左侧）和含30°角的直角三角板进行了如下探究活动：将三角板中60°角的顶点B放在直线上，过30°角的顶点．作直线的平行线，直线始终位于直线的上方．
探究发现：
（1）如图1，若，则的度数为________°．
（2）若直角三角板的直角顶点C位于直线与之间．
①如图1，若的角度未知，试猜想和之间存在的数量关系，并说明理由；
②如图2，将三角板沿直线向右平移，使直角顶点恰好落在上，得到三角形（点的对应点分别为），连接．若，请求的度数．
深入探究：
（3）若直角三角板的直角顶点不在直线与之间，请直接写出和之间的数量关系．
【答案】（1）30；（2）①与互余，理由见解析；②；（3）．
【分析】本题考查了直线平行的性质、图形平移的性质及三角形外角的性质，解题关键是：
（1）利用即可求解；
（2）①延长交于R，利用即可求解；②利用图形平移的性质及三角形外角的性质即可求解：；
（3）作出图象，利用直线平行的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1），
，
故答案为：30；
（2）①猜想：与互余，理由如下：
如图，
延长交于R，
，
，
，
∴，
，
即与互余；
②由平移的性质可知，，，
，
；
（3）（i）如图，
∵，
，
即；
（ii）如图，
设与交于T，
同理，，
即；
综上，．
【变式训练10-2】（24-25七年级下·广东汕头·期末）【问题背景】
综合与实践活动课上，林老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动．
如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，．
(1)【探索发现】
如图2，林老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则 ．（填写度数）
(2)如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线、上，且使直角顶点与重合（以下称为点R），求的度数；
(3)【迁移运用】
如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系；
(4)【拓展创新】
在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒，
①三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），存在三角板的一条边与直线平行，请直接写符合条件的t值；
②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)①6或24秒或36秒；②8秒或17秒或23秒
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角板中的角度问题，三角形外角的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是平行线的性质和判定定理．
（1）根据平行线的性质求解即可；
（2）如图，过点作，得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可；
（3）由，得到，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（4）①根据题意分两种情况讨论，当旋转至时，当旋转至时，分别根据平行线的性质求解即可；
②根据题意分3种情况讨论，然后根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）如图，
，
，
，
；
故答案为：
（2）解：如图，过点作，
，
．
，，
，，
，．
；
（3）解： 如图，延长，于，交于．
，
．
由题意得：，，，
．
是的外角，
，
，
；
（4）解：①a、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）
b、如图，
当旋转至时，，旋转角，
（秒）；
当时，此时正好旋转了半周
∴（秒）
符合条件的t值为6或24秒或36秒；
②a、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
，
，
．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为8秒．
b、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，，
，
，
．
，．
平分，
，
解得：（秒）．
符合条件的t值为17秒．
c、如图，
当三板旋转到的位置，三板旋转到的位置时，则：
，，，，
．
平分，
，
，
，
，
解得：（秒）
符合条件的t值为23秒．
综上所述，符合条件的t值为8秒或17秒或23秒．
【变式训练10-3】（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图1，一副三角板的直角顶点重合，边，在直线上，其中，，．
(1)请直接写出：_________．
(2)如图，将三角板沿着直线向右平移得到三角板，直线与直线相交于点．
若点在线段上（不包括端点），求与的数量关系；
若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)；的度数为或．
【分析】（）利用三角形的外角性质即可求解；
（）由，，则，然后把，代入求解即可；
分如图，当点在线段上时，如图，当点在延长线上时，分别通过平行线的性质，三角形的内角和定理等知识即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：当点在线段上（不包括端点）时，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
如图，当点在线段上时，
∵，
∴设，则，
由平移性质可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
如图，当点在延长线上时，
由上得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上可知：的度数为或．
【变式训练10-4】（24-25七年级下·福建厦门·期末）一副三角板、按如图1方式摆放，，，，，直线．点A在直线a上，点B、点C与点D均在直线b上，，与直线a交于点P．
(1)求的度数；
(2)连接为的角平分线．
①如图2，当点F在上，证明；
②将沿着直线b平移，记，若射线与直线交于点Q且夹角为，探究在平移过程中与的关系．
【答案】(1)
(2)①见解析②
【分析】本题主要考查平分线的性质，三角形外角的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）延长交直线于点，求出，由三角形外角的性质可求出的度数；
（2）①由平行线的性质得出，设，可得，由三角形外角的性质得出，再代入计算可得结论；
②设，则，得，，由得，再根据三角形定理可得结论．
【详解】（1）解：延长交直线于点，如图，
∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
即；
（2）解：①如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
设,
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
②如图，
设，则，
同理可得，，
∴，
∵，
∴
又，
∴，
∴
∴，
∴．
