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专题1.3.1证明五大题型（一课一讲）
（第1课时 证明的相关求解）
1.证明的相关概念
证明：通过逻辑推理，从已知条件或公理出发，推导出结论的过程。
命题：可以判断真假的陈述句，由条件（前提）和结论组成。
题型一：写出一个命题的已知、求证以及证明过程
【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
【变式训练1-2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
【变式训练1-3】（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
题型二：已知证明过程填写理论依据
【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，．
求证：．
证明：假设所求证的结论不成立，
即____________________．
过点A作直线，使与所成的与相等，则__________，
所以直线与直线不重合．
但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立．
所求证的结论成立．
【变式训练2-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明过程．
已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，
∴∠1＝∠C(__________________)，
∴AB∥CD(________________________)．
【变式训练2-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：．
证明：∵、是的两条高线（ ），
（ ）
（ ），
．
．
【变式训练2-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：．
证明：∵（ ），
∴___________（ ）
∴___________（ ）
∴（已知），
∴（ ）
∴，
∴（ ）
题型三：以几何为背景的推理与论证
【例题3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：．
【变式训练3-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，．求证：平分．
【变式训练3-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，于点C，于点D，．求证：．
【变式训练3-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，EP，FP分别平分．求证：．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ．
题型四：以代数为背景的推理与论证
【例题4】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ．
①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
③9、5、8、3四个数字都不正确；
④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ．
【变式训练4-2】（24-25七年级下·北京·期末）某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）：
车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊
快充桩充电时间 30 40 50 80 100
慢充桩充电时间 130 180 120 120 210
（1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为 ；
（2）这5辆车完成充电的总用时最短为 ．
【变式训练4-3】（24-25九年级下·北京·阶段练习）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具
大桌 5 3 2
小桌 3 2 1
（1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟．
（2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
【变式训练4-4】（2025·湖南长沙·二模）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ．
【变式训练4-5】（2025八年级上·江苏泰州·期中）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值．
【变式训练4-6】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且．
题型五：逻辑推理与论证
【例题5】（2024八年级下·湖南长沙·期中）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读
【变式训练5-1】（24-25八年级上·全国·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练5-2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【逻辑推理】警察抓住了4个偷东西的嫌疑人，其中一个人是主谋．在审问时，丁说：甲是主谋．丙说：我不是主谋．乙说：丁是主谋．甲说：我不是主谋．这四个人中只有一个人说了真话．真正的主谋是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式训练5-3】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）推理：谁是小雷锋？
学校表彰了 4 位同学，其中有一人是主动打扫了图书馆卫生的“小雷锋”．甲说：“我没打扫图书馆卫生．”
乙说：“是丁打扫的图书馆卫生．” 丙说：“我没打扫图书馆卫生．” 丁说：“是甲打扫的图书馆卫生．”
已知他们 4 人中只有 1 人说了真话，则主动打扫图书馆卫生的是 ．
【变式训练5-4】（25-26七年级上·云南昆明·开学考试）四位老师分别任教语文、数学、科学、音乐学科．
李老师说：我不教语文；王老师说：我不教数学；张老师说：我是音乐老师；陈老师说：我既不是数学老师，也不是科学老师．
陈老师教( )，王老师教( )，李老师教( )．
【变式训练5-5】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）甲，乙，丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，发现甲共当裁判11局，乙，丙分别进行了18局，16局比赛，在这半天的训练中，甲，乙，丙三人共进行了 局比赛．
【变式训练5-6】（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）一栋公寓楼有5 层，每层有一或两套公寓、楼内共有8 套公寓，住户J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里，已知：（1）J住在两套公寓的楼层，（2）K住在P 的上一层，（3）二层只有一套公寓，（4）M、N住在同一层，（5）O、Q不同层，（6）Q 不住在一层或二层，（7）L住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一层或第五层，（8）M在第四层；那么J住在第 层．中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.3.1证明五大题型（一课一讲）
（第1课时 证明的相关求解）
1.证明的相关概念
证明：通过逻辑推理，从已知条件或公理出发，推导出结论的过程。
命题：可以判断真假的陈述句，由条件（前提）和结论组成。
题型一：写出一个命题的已知、求证以及证明过程
【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数．
【答案】见解析
【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键．
先写出已知，求证，再证明即可．
【详解】解：已知：是两个连续的自然数．
求证：是偶数．
证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数．
当n是偶数时，是偶数．
综上所述，是偶数．
即两个连续自然数的积是偶数．
【变式训练1-1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和，据此补全定理，再写出对应的已知和求证，根据三角形内角和定理和平角的定义证明即可．
【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和．
已知：是的一个外角．
求证：．
证明：如图所示，在中，，
∵，
∴．
【变式训练1-2】（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
(1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式；
(2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程）
【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
(2)见解析
【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键．
（1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可；
（2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明．
【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
（2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且．
求证：．
证明：．
．
又和是同位角，
∴．
【变式训练1-3】（24-25七年级下·山东泰安·期中）证明三角形的内角和为．要求：根据题意画出图形，结合画出的图形写出已知和求证，并尝试证明．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和的证明，平行线的性质，利用平行线的性质，将三角形的三个内角集中到同一个顶点，再由平角为，证明即可．
【详解】解：已知：如图，，
求证：；
证明：过点作，如图，
∵，
，
，
，
三角形内角和．
题型二：已知证明过程填写理论依据
【例题2】（24-25八年级下·全国·课后作业）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，．
求证：．
证明：假设所求证的结论不成立，
即____________________．
过点A作直线，使与所成的与相等，则__________，
所以直线与直线不重合．
但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立．
所求证的结论成立．
【答案】、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可．
【详解】解：假设所求证的结论不成立，
即．
过点A作直线，使与所成的与相等，则，
所以直线与直线不重合．
但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立．
所求证的结论成立，
故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，．
【变式训练2-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）完成下面的证明过程．
已知：如图，∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．求证：AB∥CD．
证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(_____________)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_____________)，
∴∠1＝∠C(__________________)，
∴AB∥CD(________________________)．
【答案】互余的定义；互余的定义；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】因为∠1和∠D互余，∠C和∠D互余．得出∠C=∠1，从而证得AB∥CD．
【详解】证明：∵∠1和∠D互余(已知)，
∴∠1＋∠D＝90°(互余的定义)．
∵∠C和∠D互余(已知)，
∴∠C＋∠D＝90°(_互余的定义)，
∴∠1＝∠C(同角的余角相等)，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
【变式训练2-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，的两条高线、相交于点O．求证：．
证明：∵、是的两条高线（ ），
（ ）
（ ），
．
．
【答案】已知；三角形高的定义；三角形外角的性质
【分析】根据三角形高的定义得到，根据三角形外角的性质得到，则．
【详解】证明：∵、是的两条高线（已知），
∴（三角形高的定义）
∵（三角形外角的性质），
∴．
∴，
故答案为：已知；三角形高的定义；三角形外角的性质．
【变式训练2-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：．
证明：∵（ ），
∴___________（ ）
∴___________（ ）
∴（已知），
∴（ ）
∴，
∴（ ）
【答案】已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义
【分析】先证明得到，根据垂直的定义得到，则，即可证明．
【详解】证明：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知），
∴（垂直的定义）
∴，
∴（垂直的定义），
故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义．
题型三：以几何为背景的推理与论证
【例题3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，是的平分线，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先根据三角形外角的性质求出，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
【变式训练3-1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，．求证：平分．
【答案】见详解
【分析】根据三角形内角和定理以及外角的性质，求出，，进而即可得到结论．
【详解】证明：∵在中，，
∴，，
∴，
∴平分．
【变式训练3-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，于点C，于点D，．求证：．
【答案】见详解
【分析】根据垂直的定义得到，等量代换可得，再根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式训练3-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，EP，FP分别平分．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质可得，结合角平分线的定义，即可得到结论．
【详解】证明分别平分（已知），
，
（角平分线的定义）．
（已知），
（两直线平行，同旁内角互补）．
．
【变式训练3-4】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，与分别交于点G，H，与交于点I．则 ．
【答案】
【分析】此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意掌握等高三角形面积的比等于其对应底的比性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，，由在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，可设，继而求得，以及的面积，则可求得的面积，然后由等高三角形面积的比等于其对应底的比，求得答案．
【详解】解：根据题意，，
如图所示，连接，
设，
在长方形中，E是的中点，F是的一个三等分点，
，，，
，
设点到的高为，点到的高为，
∴，
∴，
，
，
又，
，，
，
故答案为：．
题型四：以代数为背景的推理与论证
【例题4】（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码： ．
①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
③9、5、8、3四个数字都不正确；
④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
【答案】2401
【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知找到切入点，再推断求解即可．
【详解】解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确，
即密码中没有9、5、8、3四个数字；
由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确；
由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位；
若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位．
则数字0在第三位，
即正确的密码是2401，
故答案为：2401．
【变式训练4-1】（24-25七年级下·福建厦门·期末）数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是数字类的逻辑推理，利用规则进行列表，从而可得答案.
【详解】解：五人依次记为，从开始报数：
如下表：
（小明） （小华）
第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数
第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数
第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手
第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数
第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数
第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数
∵小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”
∴游戏结束时对应的数字是；
故答案为：
【变式训练4-2】（24-25七年级下·北京·期末）某公司设有三个充电桩，分别为两个快充桩和一个慢充桩，每个充电桩在同一时间仅为一辆车提供充电服务，且每辆车充电完成前，充电过程不得中断．现有5辆电动汽车需要充电，每辆车的充电需求如下表（不考虑车辆交接等其他因素）：
车辆编号 甲 乙 丙 丁 戊
快充桩充电时间 30 40 50 80 100
慢充桩充电时间 130 180 120 120 210
（1）若甲车必须使用慢充桩，则其他4辆车完成充电的总用时最短为 ；
（2）这5辆车完成充电的总用时最短为 ．
【答案】 140 120
【分析】本题考查的是逻辑推理，先由甲车必须使用慢充桩，需要分钟，再确定两个快充的安排即可；由丙，丁的慢充时间最短为，选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长，选择丁慢充；再进一步安排即可.
【详解】解：甲车必须使用慢充桩，需要分钟，
另外两个快充一个安排乙，戊或一个安排丙，丁；
∴其他4辆车完成充电的总用时最短为；
∵丙，丁的慢充时间最短为，
∴选择丙或丁慢充，而丁的快充时间长，
∴选择丁慢充；
一个快充安排甲，乙，丙；另一个快充安排戊，
此时所花时间最短为；
故答案为：140；120
【变式训练4-3】（24-25九年级下·北京·阶段练习）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示：
步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具
大桌 5 3 2
小桌 3 2 1
（1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要 分钟．
（2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
【答案】 7 12
【分析】本题考查了推理论证，实际问题的方案设计，事件的统筹安排，有理数的混合运算，尽可能让①和②在同一时段进行时解此题的关键．
（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，由此计算即可得解；
（2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，画出流程图，结合流程图即可得解．
【详解】解：（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，为（分钟），
故答案为：7；
（2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
，
由流程图可得，将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，
故答案为：12．
【变式训练4-4】（2025·湖南长沙·二模）某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了．婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字；乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻；香香记得：中间的数字不是8．根据以上信息，可以确定密码是 ．
【答案】258
【分析】本题主要考查推理与论证；先列出所有可能的排列，再根据题意逐一排除即可求出结果．
【详解】解：根据题意，列出所有可能的排列：
密码由2、5、8组成，共有6种排列：
258，285，528，582，825，852
根据婷婷的条件：2不在末位；
排除末位为2的排列：
∴剩余候选：258，285，528，825，
应用乐乐的条件：5和8相邻，
∴剩余候选：258，285
应用香香的条件：中间位不是8，
最终剩余：258；
故答案为：258．
【变式训练4-5】（2025八年级上·江苏泰州·期中）已知A，B，C，D，E代表1至9中不同的数字，，求的最大值．
【答案】
【分析】此题主要考查了数的十进制，根据两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小，推出它们乘积的最大值与最小值，然后计算它们的差即可得解．已知，因为两个数的和一定时，两个数越接近，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小．验证，8时均无解，当时，，，此时符合题意且积最大，再把它们相乘即可求解．
【详解】解：首先两个数的和一定时，两个数的差越小，乘积越大，所以越大，乘积越大，
当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，，此时符合题意且积最大，
此时积为：．
【变式训练4-6】（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且．
【答案】满足条件的所有正整数n为
【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案．
【详解】解：由于是正整数，且满足，
，
，
当时，令，
则，
当时，其中，
令，
则，
综上所述，满足条件的所有正整数n为．
题型五：逻辑推理与论证
【例题5】（2024八年级下·湖南长沙·期中）小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（ ）
A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画
C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读
【答案】C
【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即可．
【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书，
所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，
因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书，
所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，
故选C．
【变式训练5-1】（24-25八年级上·全国·期末）六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局．
【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过，
所以与D赛过的是A、C、E、F四人；
与C赛过的是B、D、E、F四人；
又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局，
所以与A赛过的是D、B、F；
而与B赛过的是A、C、F；
所以F共赛了4局．
故选：D．
【变式训练5-2】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【逻辑推理】警察抓住了4个偷东西的嫌疑人，其中一个人是主谋．在审问时，丁说：甲是主谋．丙说：我不是主谋．乙说：丁是主谋．甲说：我不是主谋．这四个人中只有一个人说了真话．真正的主谋是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查推理与论证．假设甲说的是真话，甲不是主谋．据此进行推理即可得到答案．
【详解】解：假设甲说的是真话，甲不是主谋．
乙说的是假话，丁不是主谋，
丙说的是假话，丙是主谋，
丁说的是假话，甲不是主谋，
即丙是主谋，合理，
故选：C．
【变式训练5-3】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）推理：谁是小雷锋？
学校表彰了 4 位同学，其中有一人是主动打扫了图书馆卫生的“小雷锋”．甲说：“我没打扫图书馆卫生．”
乙说：“是丁打扫的图书馆卫生．” 丙说：“我没打扫图书馆卫生．” 丁说：“是甲打扫的图书馆卫生．”
已知他们 4 人中只有 1 人说了真话，则主动打扫图书馆卫生的是 ．
【答案】丙
【分析】本题考查了逻辑推理．解题的关键在于找出矛盾关系，再结合只有一人说了真话这一条件来推断出实际情况．
【详解】解：∵甲说 “我没打扫图书馆卫生”，丁说 “是甲打扫的图书馆卫生”，
∴甲和丁的话相互矛盾．
∴甲和丁之中必有一个人说的是真话，一个人说的是假话．
∵ 4 人中只有 1 人说了真话，而真话在甲和丁之中，
∴乙和丙说的都是假话．
∵乙说 “是丁打扫的图书馆卫生” 是假话，
∴不是丁打扫的．
∵丙说 “我没打扫图书馆卫生” 是假话，
∴是丙打扫的图书馆卫生．
综上，主动打扫图书馆卫生的是丙．
故答案为：丙．
【变式训练5-4】（25-26七年级上·云南昆明·开学考试）四位老师分别任教语文、数学、科学、音乐学科．
李老师说：我不教语文；王老师说：我不教数学；张老师说：我是音乐老师；陈老师说：我既不是数学老师，也不是科学老师．
陈老师教( )，王老师教( )，李老师教( )．
【答案】 语文 科学 数学
【分析】本题考查的是逻辑推理的应用，确定陈老师教的是语文成为解题的关键．
根据题意，张老师说：我是音乐老师．陈老师说：我既不是数学老师，也不是科学老师．由此可知，四个学科只剩下教语文；所以陈老师教的是语文；还剩下教数学和教科学；王老师说：我不教数学，那么王老师教的科学；最后剩下的教数学的，李老师说：我不教语文，因此李老师教的数学；据此即可解答．
【详解】解：根据分析可知，四位老师分别任教语文、数学、科学、音乐．李老师说：我不教语文．王老师说：我不教数学．张老师说：我是音乐老师．陈老师说：我既不是数学老师，也不是科学老师．那么，李老师教的是数学，王老师教的是科学，张老师教的是音乐，陈老师教的是语文．
故答案为：语文，科学，数学．
【变式训练5-5】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）甲，乙，丙三人进行羽毛球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行，半天训练结束时，发现甲共当裁判11局，乙，丙分别进行了18局，16局比赛，在这半天的训练中，甲，乙，丙三人共进行了 局比赛．
【答案】
【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．先确定了乙与丙打了局，甲与丙打了局，乙与甲打了局，进而确定三人一共打的局数．
【详解】解：甲当了局裁判，
乙、丙之间打了局，
又乙、丙分别进行了局、局比赛，
乙与甲打了局，丙与甲打了局，
甲、乙、丙三人共打了局，
故答案为：．
【变式训练5-6】（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）一栋公寓楼有5 层，每层有一或两套公寓、楼内共有8 套公寓，住户J、K、L、M、N、O、P、Q共8人住在不同公寓里，已知：（1）J住在两套公寓的楼层，（2）K住在P 的上一层，（3）二层只有一套公寓，（4）M、N住在同一层，（5）O、Q不同层，（6）Q 不住在一层或二层，（7）L住在她所在层仅有的公寓里，且不在第一层或第五层，（8）M在第四层；那么J住在第 层．
【答案】5
【分析】本题考查了逻辑推理能力，读懂题意是解题的关键．
通过已知条件逐步筛选，确定每个人的居住楼层，最终确定J的居住楼层．
【详解】解：由（4）和（8）得出M和N在四层，故第四层有2套公寓，由（2）得K只能在2或3层，又由（7）得出L住在只有一套公寓的楼层，且不在第一、五层，再结合（3）第二层只有一套公寓，可知L在第二层或第三层； 假设L在第二层：由（2）K在P的上一层，因第四层已满（M、N），K不能在第五层（否则P在第四层）；K也不能在第三层（否则P在第二层，与L同层，但第二层仅一套公寓），此假设不成立， 故L只能在第三层，且第三层只有一套公寓，K在二层只有一户，P则在一层，又由（5）和（6）知道O只能在一层，Q在五层，这是只有五层还有一套公寓，所以J只能住在五层．
故答案为：5．
