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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版
专题1.3.1证明五大题型（一课一练）
（第1课时 证明的相关求解）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．真命题可能是定理
C．公理就是定理，定理也是公理
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
【答案】C
【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键．
公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可．
【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意；
B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意；
C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意；
D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（ ）
A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个
【答案】B
【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球．
【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况：
最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球，
最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同，
即最少要摸：个球，
故选：B．
3．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（ ）张
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案．
【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，
此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌，
利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，
此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌，
利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，
此时还剩（张）蓝牌，
利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，
此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，
利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，
此时还剩张蓝牌，
则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，
此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束．
故张浩手中最后有银牌：（张）．
故选：D．
4．，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】此题考查了推理与论证，若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意．
【详解】若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意，
同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，．
故选：C．
5．布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（ ）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹
C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
【答案】D
【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决．
【详解】由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以，布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿．
故选：D．
6．判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（ ）
A．2 B．0 C． D．-5
【答案】B
【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，即可进行判断．
【详解】解：∵．
当时，此时“若，则”是真命题；
当时，，若，则，此时命题“若，则”是假命题．
故选：B．
7．下列可以作为定理的有（ ）
①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理；
相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；
25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理；
三角形的内角和为，经过证明是正确的，所以④可以作为定理．
故选：A．
8．甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次．
甲猜：乙第三名、丙第五名；
乙猜：戊第四名、丁第五名；
丙猜：甲第一名、戊第四名；
丁猜：丙第一名、乙第二名；
戊猜：甲第三名、丁第四名．
老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题主要考查了逻辑推理．熟练掌握找出突破口，是解题的关键．
先根据每个名次中都有人猜对，猜第二名是乙的只有一个同学，则乙是第二名，然后依次类推即可得出答案．
【详解】∵每个名次都有人猜对，第二名乙只有丁猜到，
∴乙只能是第二名，不能是第三名；
∴甲是第三名，不可能是第一名；
∴只有丙是第一名，丙不可能是第五名，只有丁是第五名；
∴丁不可能是第四名，故第四名只能是戊．
故第一名是丙，第二名是乙，第三名是甲，第四名是戊，第五名是丁．
故选：C．
9．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【分析】阅读证明可以得到答案．
【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则，
故选：A．
10．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
【答案】C
【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．
【详解】证明：因为，（已知），
所以，（等式的性质）；
因为（已知），
所以（等量代换）．
所以（等量代换）．
∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．
故选C．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．下列命题可以作定理的有 个．
①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；
③是方程的根；④三角形的内角和是．
【答案】2
【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题．
【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理；
②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理；
③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理；
④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理；
∴可以作定理的有2个
故答案为：2
12．定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和．
【答案】 依据 三角形内角和定理及平角的定义 两个内角
【分析】本题考查定理和命题，根据三角形的内角和定理以及平角的定义推出三角形的外角的性质，作答即可．
【详解】解：定理可以作为证明后续命题的依据，根据三角形内角和定理及平角的定义，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：依据，三角形内角和定理及平角的定义，两个内角
13．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手 次．
【答案】2
【分析】本题考查了逻辑推理能力，根据握手次数进行推导是解题的关键．共有5个人，A同学握手4次，则A与B、C、D、E每人握手一次，则B、C握手一定不是与D握手，依此类推即可确定．
【详解】解：共有5个人，A同学握手4次，
A与B、 C、 D、 E每人握手一次，
D同学握手1次，
B、C握手一定不是与D握手，
B握手3次，D握手1次，
B握手3次一定是与A、 C、 E的握手，
C握手2次，
C是与A和B握手，
E一共握手2次，是与A和B握手．
故答案为：2．
14．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）．
【答案】③
【分析】本题考查了三角形内角和定理，反证法，举反例，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据反证法，可证明①②④正确，通过举反例，可证明③错误．
【详解】解：①若三角形的三个内角至多只有一个锐角，则三个内角中至少有2个钝角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以①正确；
②若三角形的三个内角最少有2个直角，那么三个内角的和就大于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以②正确；
③因为三角形的三个内角可以都等于，所以③错误；
④若三角形的三个内角都小于，那么三个内角的和就小于，与三角形三个内角的和等于矛盾，所以④正确．
故答案为：③．
15．用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ．
【答案】
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解： “已知，．求证：”．第一步应先假设．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
16．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下：
原料 时间 工序 原料 原料 原料
上漆
描绘花纹
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
【答案】
【分析】根据分析，甲按、、的顺序，乙中途不会出现停顿进行解答即可．
【详解】甲按、、的顺序，完成这三件原料的描金工作最少需要（小时），
故答案为：．
17．电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）．
【答案】B、D、F、G
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷， A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案．
【详解】解：由题图中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。 用假设法推理如下：①假设A是雷，则由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；与C下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则A不可能是雷；
②假设B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；与D下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则B是雷；
③假设A不是雷，B是雷，则由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷．
故答案为：B、D、F、G．
18．甲，乙，丙，丁，戊，已六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位发言．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是 ．
【答案】甲或乙
【分析】由题意易得丙的演讲位置有可能是第二位或者第三位，假设丙在第三位，由于第四位演讲者是戊，所以不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，故丙在第二位演讲，进而可确定丁在第一位，由此问题可求解．
【详解】解：由题意得：当丁在第一位发言，则丙的可能位置为第二或第三位，假设丙在第三位，由于第四位演讲者是戊，所以不管怎么排都不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，故丙在第二位演讲，当丁在第三位演讲时，也不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，故丁排在第一位，然后由三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，且仅有一位演讲者处在甲和乙之间，所以排在第三位演讲者是甲或乙；
故答案为甲或乙．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
(1)若，则；
(2)对于任意实数，一定有；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
【答案】(1)假命题，见解析；
(2)假命题，见解析；
(3)真命题，证明见解析；
(4)假命题，见解析．
【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可
根据真命题和假命题的定义判断并说明即可．
【详解】（1）解：是假命题，反例：
当时，
，，
∴结论不成立；
（2）解：是假命题，反例：
当时，
，
∴结论不成立；
（3）解：是真命题，证明：
设两个连续的正奇数为，（为正整数），
则
∵为正整数，
∴是8的倍数，
∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
（4）解：是假命题，反例：
当四边形为等腰梯形时结论不成立．
20．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型．
写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明．
【详解】解：已知：，，
求证：，
证明：，
．
，
，
，
．
21．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
【详解】（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题2证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
命题3证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
【答案】答案见详解
【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明；
【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
选择①③作为条件，②作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
选择②③作为条件，①作为结论．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
23．如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证；
（2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度数．
24．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．
证明：，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，，（已证）
．（不等式的传递性）
(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；
证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）
(2)请你尝试证明：若，则．
(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质．
（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题；
（2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题；
（3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）；
故答案为：，；
（2）证明：，
不等式两边同加上，得，
不等式两边同时除以2，得；
（3）解：真命题，
证明：设这三个自然数分别是，，，其中，
，
能被3整除，
这三个自然数的和能被3整除．
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版
专题1.3.1证明五大题型（一课一练）
（第1课时 证明的相关求解）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．下面关于公理和定理的说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．真命题可能是定理
C．公理就是定理，定理也是公理
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
2．布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（ ）
A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个
3．张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（ ）张
A． B． C． D．
4．，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（ ）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹
C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
6．判断命题“若，则”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的可以是（ ）
A．2 B．0 C． D．-5
7．下列可以作为定理的有（ ）
①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．甲、乙、丙、丁、戊五位同学在一次数学竞赛中得了前五名，发奖前老师要他们猜一猜各人所得的名次．
甲猜：乙第三名、丙第五名；
乙猜：戊第四名、丁第五名；
丙猜：甲第一名、戊第四名；
丁猜：丙第一名、乙第二名；
戊猜：甲第三名、丁第四名．
老师说：每个名次都有人猜对了，那么，获得第一名的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
10．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．下列命题可以作定理的有 个．
①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除；
③是方程的根；④三角形的内角和是．
12．定理可以作为证明后续命题的 ，根据 ，可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的 的和．
13．好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手 次．
14．关于三角形的内角，有下列说法：①至少有两个锐角，②最多有一个直角，③必有一个角大于，④至少有一个角不小于．其中不正确的说法是 （填序号）．
15．用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ．
16．描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现甲、乙两位工匠要完成，，三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹．每道工序所需的时间单位：小时如下：
原料 时间 工序 原料 原料 原料
上漆
描绘花纹
则完成这三件原料的描金工作最少需要 小时．
17．电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）．
18．甲，乙，丙，丁，戊，已六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位发言．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
(1)若，则；
(2)对于任意实数，一定有；
(3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数；
(4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形．
20．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．
21．如图，现有以下3个论断：①；②；③．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)请写出所有的真命题；
(2)请选择其中一个命题加以证明．
22．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
23．如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
24．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．
例如：证明命题“如果，，那么”是真命题．
证明：，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，（已知）
在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质）
，，（已证）
．（不等式的传递性）
(1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）；
证明：且，均为正数，（已知）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质）
不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质）
．（不等式的传递性）
(2)请你尝试证明：若，则．
(3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
