浙教版数学八年级上册3.5 一元一次不等式组 同步分层练习
一、夯实基础：
1．下列各式中不是一元一次不等式组的是（ ）。
A． B．
C． D．
2．下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八上·温州期中）在数轴上表示不等式-1≤x<1，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2020八上·西湖期末）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·平阳期中）不等式组 的整数解的和为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
6．直接写出下列不等式组的解(填空)：
（1） .
（2） .
（3） .
7．（2024八上·钱塘期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
8．（2024八上·柯桥月考）已知的三条边长为，则x的取值范围是 ．
9．（2024八上·临平月考）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是 ．
10．（2024八上·钱塘期中）解下列不等式（组）．
（1）；
（2）．
二、能力提升：
11．（2025八上·丽水期末）已知不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·婺城期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
13．（2025八上·余姚期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025八上·丽水期末）关于的不等式组只有一个解，则与的关系是 ．
15．（2025八上·镇海区期末）若关于 的不等式组 的整数解有且只有一个，则 的取值范围是 ．
16．（2024八上·宁波期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是 ．
17．（2025八上·鄞州期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解．
18．（2024八上·杭州期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解．
（1）原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ．
（2）根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了．
（3）要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？
三、拓展创新：
19．（2024八上·余姚期中）对m、n定义一种新运算“ ”，规定：m n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5 6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2 3＝1，3 （﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“ ”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m n＝n m”都成立，试探究a、b应满足的关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的概念
【解析】【分析】由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组。
A、；B、；D、，是一元一次不等式组，不符合题意；
C、 ，不是一元一次不等式组。故应选C。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次不等式组的定义，即可完成。
2．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次不等式组，故不符合题意；
B、是一元一次不等式组，故符合题意；
C、是一元二次不等式组，故不符合题意；
D、不是一元一次不等式组，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据不等式组中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次，不等号两边都是整式，判断即可.
3．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解： “≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线．
故在数轴上表示不等式-1≤x＜1如下：
故答案为：A.
【分析】不等式 -1≤x<1 在数轴上表示的是不等式x≥﹣1与x<1的两个不等式的公共部分，据此由图可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据图可得出﹣5＜x≤4.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”即可判断得出不等式的解集.
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
∴，
∴-∴符合条件的整数解为-1，0，1，
∴整数解为：-1+0+1=0.
故答案为：A.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，在其范围内找出所有的整数，再求和即可作答.
6．【答案】（1）x>2
（2）
（3）-1【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1），即x>2
故答案为：x>2
（2），即
故答案为：
（3），即-1故答案为：-1【分析】（1）根据不等式组的解集即可求出答案.
（2）根据不等式组的解集即可求出答案.
（3）根据不等式组的解集即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据取一元一次不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可求出的取值范围.
8．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
9．【答案】
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
10．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的法，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
（1）解：，
，
．
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为．
11．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴
∴
即a>b.
故答案为：A.
【分析】不等式组的解集确定规律“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”，由此列出再根据不等式的基本性质即可作答.
12．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式组的整数解为1，2，
∴，且，
则，．
∵，为整数，
∴，，8，9，
∴满足条件的（m，n）共有3对．
故选：C.
【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题．
13．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵关于x的不等式组有四个整数解，
∴ 该不等式组的解集为8＜x＜2-4a，
∵的四个整数是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】首先根据解不等式的步骤分别解出不等式中每一个不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，结合口诀“大小小大中间找”得到该不等式组的解集，然后找出解集范围内的四个整数解，即可得出a的取值范围．
14．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
由①得：
由②得：
因为关于的不等式组只有一个解，
故答案为：.
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组只有一个解可得从而可得答案．
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式 得，
解不等式 得， 所以
当 时，此不等式组无解，所以
则 与2a异号，
所以此不等式组的整数解为0，则 且 解得
故答案为：
【分析】首先解两个不等式，根据不等式组的整数解有且只有一个，即可得到一个关于a的不等式组，据此可解决问题.
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中有3个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先根据新运算的要求表示出的结果，再列出不等式组并求解出其整数解即可．
17．【答案】解：，
解①得，
移项得：4 x 3 x > 7 6，
合并同类项得： x > 1，
解②得，
去分母得： 3 x + 2 ≥ 4 x 2，
移项得：3 x 4 x ≥ -2 2，
合并同类项得：- x ≥ -4，
系数化为1得：x ≤ 4，
则不等式组的解集为： 1 < x ≤ 4，
则所有整数解为： 2 ， 3 ， 4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】按解一元一次不等式的步骤：去分母、移项、合并同类项，系数化为1，分别解出两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则得出不等式组的解集， 从解集中筛选出所有整数解即可.
18．【答案】（1），
（2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴加糖后确实变甜了；
（3）解：根据题意得：，解得：，
∴a的取值范围为．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为；
【分析】
（1）根据甜度公式分别表示出加糖前后的甜度即可；
（2）利用分式的减法运算作差即可；
（3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式组并求解即可．
（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为；
（2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴加糖后确实变甜了；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
∴a的取值范围为．
19．【答案】（1）解：①由题意，∵2 3＝1，3 （﹣1）＝10，
∴可得方程组．
∴解得
∴a＝1，b＝2．
②由题意，∵a＝1，b＝2，
∴不等式组可化为
∴
又∵上面的不等式组有且只有两个整数解，
∴2≤＜3．
∴23≤t＜26
（2）解：由m n＝n m，
∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5．
∴ma﹣nb﹣na+mb＝0．
∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0．
∴（a+b）（m﹣n）＝0．
又∵m，n为任意数，
∴（m﹣n）不一定等于0．
∴a+b＝0
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）①根据定义的新运算和二元一次方程组求解，、的值；
②根据定义的新运算和不等式组的解法，，解不等式组的解集，根据已知条件不等式组有且只有两个整数解求出的值；
（2）根据定义新运算，根据 ，通过移项、合并同类项、以及任意数m、n，求出a与b的关系.
1 / 1浙教版数学八年级上册3.5 一元一次不等式组 同步分层练习
一、夯实基础：
1．下列各式中不是一元一次不等式组的是（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的概念
【解析】【分析】由几个含有相同未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式叫做一元一次不等式组。
A、；B、；D、，是一元一次不等式组，不符合题意；
C、 ，不是一元一次不等式组。故应选C。
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次不等式组的定义，即可完成。
2．下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次不等式组，故不符合题意；
B、是一元一次不等式组，故符合题意；
C、是一元二次不等式组，故不符合题意；
D、不是一元一次不等式组，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据不等式组中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次，不等号两边都是整式，判断即可.
3．（2023八上·温州期中）在数轴上表示不等式-1≤x<1，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解： “≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆圈向左画折线．
故在数轴上表示不等式-1≤x＜1如下：
故答案为：A.
【分析】不等式 -1≤x<1 在数轴上表示的是不等式x≥﹣1与x<1的两个不等式的公共部分，据此由图可得出答案.
4．（2020八上·西湖期末）解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据图可得出﹣5＜x≤4.
故答案为：D.
【分析】根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”即可判断得出不等式的解集.
5．（2021八上·平阳期中）不等式组 的整数解的和为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．-2
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
∴，
∴-∴符合条件的整数解为-1，0，1，
∴整数解为：-1+0+1=0.
故答案为：A.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，在其范围内找出所有的整数，再求和即可作答.
6．直接写出下列不等式组的解(填空)：
（1） .
（2） .
（3） .
【答案】（1）x>2
（2）
（3）-1【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1），即x>2
故答案为：x>2
（2），即
故答案为：
（3），即-1故答案为：-1【分析】（1）根据不等式组的解集即可求出答案.
（2）根据不等式组的解集即可求出答案.
（3）根据不等式组的解集即可求出答案.
7．（2024八上·钱塘期中）如果一元一次不等式组的解集为，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵一元一次不等式组的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据取一元一次不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”即可求出的取值范围.
8．（2024八上·柯桥月考）已知的三条边长为，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；三角形三边关系
9．（2024八上·临平月考）若关于x，y的方程组的解满足，则k的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组
10．（2024八上·钱塘期中）解下列不等式（组）．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的法，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
（1）解：，
，
．
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为．
二、能力提升：
11．（2025八上·丽水期末）已知不等式组的解为，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵不等式组的解为，
∴
∴
即a>b.
故答案为：A.
【分析】不等式组的解集确定规律“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”，由此列出再根据不等式的基本性质即可作答.
12．（2024八上·婺城期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得，；
解不等式得，；
∵不等式组的整数解为1，2，
∴，且，
则，．
∵，为整数，
∴，，8，9，
∴满足条件的（m，n）共有3对．
故选：C.
【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出，的取值范围，再根据，为整数即可解决问题．
13．（2025八上·余姚期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，，
∵关于x的不等式组有四个整数解，
∴ 该不等式组的解集为8＜x＜2-4a，
∵的四个整数是9，10，11，12，
∴，
解得，
∴a的取值范围是，
故答案为：A．
【分析】首先根据解不等式的步骤分别解出不等式中每一个不等式的解集，再根据不等式组有且只有四个整数解，结合口诀“大小小大中间找”得到该不等式组的解集，然后找出解集范围内的四个整数解，即可得出a的取值范围．
14．（2025八上·丽水期末）关于的不等式组只有一个解，则与的关系是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
由①得：
由②得：
因为关于的不等式组只有一个解，
故答案为：.
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组只有一个解可得从而可得答案．
15．（2025八上·镇海区期末）若关于 的不等式组 的整数解有且只有一个，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式 得，
解不等式 得， 所以
当 时，此不等式组无解，所以
则 与2a异号，
所以此不等式组的整数解为0，则 且 解得
故答案为：
【分析】首先解两个不等式，根据不等式组的整数解有且只有一个，即可得到一个关于a的不等式组，据此可解决问题.
16．（2024八上·宁波期中）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
∵不等式组的解集中有3个整数解，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
先根据新运算的要求表示出的结果，再列出不等式组并求解出其整数解即可．
17．（2025八上·鄞州期末）解下列不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】解：，
解①得，
移项得：4 x 3 x > 7 6，
合并同类项得： x > 1，
解②得，
去分母得： 3 x + 2 ≥ 4 x 2，
移项得：3 x 4 x ≥ -2 2，
合并同类项得：- x ≥ -4，
系数化为1得：x ≤ 4，
则不等式组的解集为： 1 < x ≤ 4，
则所有整数解为： 2 ， 3 ， 4
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】按解一元一次不等式的步骤：去分母、移项、合并同类项，系数化为1，分别解出两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则得出不等式组的解集， 从解集中筛选出所有整数解即可.
18．（2024八上·杭州期中）生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解．
（1）原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ．
（2）根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了．
（3）要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？
【答案】（1），
（2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴加糖后确实变甜了；
（3）解：根据题意得：，解得：，
∴a的取值范围为．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为；
【分析】
（1）根据甜度公式分别表示出加糖前后的甜度即可；
（2）利用分式的减法运算作差即可；
（3）根据加糖后的甜度不低于又不超过，可列出关于a的一元一次不等式组并求解即可．
（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为；
（2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴加糖后确实变甜了；
（3）解：根据题意得：，
解得：，
∴a的取值范围为．
三、拓展创新：
19．（2024八上·余姚期中）对m、n定义一种新运算“ ”，规定：m n＝am﹣bn+5．（a，b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5 6＝5a﹣6b+5．
（1）已知2 3＝1，3 （﹣1）＝10．
①求a、b的值；
②若关于x的不等式组 有且只有两个整数解，求字母t的取值范围；
（2）若运算“ ”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m n＝n m”都成立，试探究a、b应满足的关系．
【答案】（1）解：①由题意，∵2 3＝1，3 （﹣1）＝10，
∴可得方程组．
∴解得
∴a＝1，b＝2．
②由题意，∵a＝1，b＝2，
∴不等式组可化为
∴
又∵上面的不等式组有且只有两个整数解，
∴2≤＜3．
∴23≤t＜26
（2）解：由m n＝n m，
∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5．
∴ma﹣nb﹣na+mb＝0．
∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0．
∴（a+b）（m﹣n）＝0．
又∵m，n为任意数，
∴（m﹣n）不一定等于0．
∴a+b＝0
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】（1）①根据定义的新运算和二元一次方程组求解，、的值；
②根据定义的新运算和不等式组的解法，，解不等式组的解集，根据已知条件不等式组有且只有两个整数解求出的值；
（2）根据定义新运算，根据 ，通过移项、合并同类项、以及任意数m、n，求出a与b的关系.
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