第4章相似三角形（培优）（含答案）
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第4章相似三角形（培优）
一、单选题
1．已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，一个含有45 角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A（﹣3，﹣3）处，将其绕点A旋转，这个45 角的两边所在的直线分别交x轴，y轴的正半轴于点B，C，连结BC，函数y＝ （x＞0）的图象经过BC的中点D，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知 ，四边形 的面积为 若 经过 的重心，则 的面积为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
5．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
6．如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN=EN；②△ABF～△ECD；③tan∠CDE=；④，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
7．如图在 中， ， ， ． 是 上一动点，以 为斜边向右侧作等腰 ，使 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
8．数学课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：∠A=90°，AD=2cm，AB=4cm，斜边重合拼成四边形，如图2所示．接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF， 则的值为 .
9．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，
的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为 ．
10．如图，在△ABC中，，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作交BD的延长线于点E，则的最小值为 .
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，角平分线AE交高CD于F．过E点作EG⊥AB于G．下列结论：①CF=CE；②AC=AG；③EF=EG；④CF：DF=AC：AD．其中正确的结论序号是
12．如图：ΔABC中，AB=AC，D，E是ΔABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E= ，若BE=6，DE=2，则BC=
三、计算题
13．已知xyz≠0且 ，求k的值．
14．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
四、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当 时，自变量x的取值范围；
（4）点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ．
16．如图 ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上， ，垂足为点E， ，垂足为点F.
（1）发现问题：在图 中， 的值为 .
（2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 角 ，如图 所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图 所示，延长CG交AD于点H；若 ， ，直接写出BC的长度.
17．如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后 和 相似？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比例的性质
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
3．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
5．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
8．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定；线段垂直平分线的判定
9．【答案】10
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
10．【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理；确定圆的条件；相似三角形的判定与性质
11．【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
12．【答案】8
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
13．【答案】解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵ ，∴k= =2，②当x+y+z=0时，x+y=-z，z+x=-y，y+z=-x，所以，k=-1，综上所述，k=2或-1．
【知识点】比例的性质
14．【答案】（1）解：，
，
又，
，
．
，B两点在直线上，
，
解得，
一次函数的表达式为．
如图，过点C作于点E，
，
，
易知，
，
，
，，
，
，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）建立方程组，
解得或，
，
如图，过点D作轴于点F，则，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
15．【答案】（1）解：将点B坐标代入得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上，
∴，则，
∴点D的坐标为，
将点D和点B坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为.
（2）解：由得，
∴，，
∴点A的坐标为，
将代入得，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，，
∴．
（3）或
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的性质-对应面积
16．【答案】（1）
（2）解： ，
理由如下：
如图 ，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
， ，
，
， ，
，且 ，
∽ ，
，
即 ，
（3）解：如图 ，过点H作 于点M，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在 中，
，
，且
∽
，
即 ，
，
在 中，
，
的长度为 .
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
17．【答案】解：设经过 秒后 和 相似.
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
① 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 ，
② 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 .
综上所述，经过 秒或 秒后 和 相似.
【知识点】相似三角形的性质
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第4章相似三角形（培优）
一、单选题
1．已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
2．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，一个含有45 角的三角板的其中一个锐角顶点置于点A（﹣3，﹣3）处，将其绕点A旋转，这个45 角的两边所在的直线分别交x轴，y轴的正半轴于点B，C，连结BC，函数y＝ （x＞0）的图象经过BC的中点D，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知 ，四边形 的面积为 若 经过 的重心，则 的面积为（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
5．如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
6．如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且AB=BE，连接CE、DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN=EN；②△ABF～△ECD；③tan∠CDE=；④，其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④
二、填空题
7．如图在 中， ， ， ． 是 上一动点，以 为斜边向右侧作等腰 ，使 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
8．数学课上，小慧用两张如图1所示的直角三角形纸片：∠A=90°，AD=2cm，AB=4cm，斜边重合拼成四边形，如图2所示．接着在CB，CD上取点E，F，连AE，BF，使AE⊥BF， 则的值为 .
9．如图，在正方形中，为的中点，为的中点，
的延长线与的延长线交于点，与相交于点．若，则的长为 ．
10．如图，在△ABC中，，BC＝3，AC＝4，点D是AC边上一动点，过点A作交BD的延长线于点E，则的最小值为 .
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，角平分线AE交高CD于F．过E点作EG⊥AB于G．下列结论：①CF=CE；②AC=AG；③EF=EG；④CF：DF=AC：AD．其中正确的结论序号是
12．如图：ΔABC中，AB=AC，D，E是ΔABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E= ，若BE=6，DE=2，则BC=
三、计算题
13．已知xyz≠0且 ，求k的值．
14．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若，．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求的面积．
四、解答题
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当 时，自变量x的取值范围；
（4）点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ．
16．如图 ，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上， ，垂足为点E， ，垂足为点F.
（1）发现问题：在图 中， 的值为 .
（2）探究问题：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转 角 ，如图 所示，探究线段AG与BE之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）解决问题：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图 所示，延长CG交AD于点H；若 ， ，直接写出BC的长度.
17．如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后 和 相似？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比例的性质
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
3．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形的中位线定理
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
5．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形
8．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定；线段垂直平分线的判定
9．【答案】10
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
10．【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理；确定圆的条件；相似三角形的判定与性质
11．【答案】①②④
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
12．【答案】8
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
13．【答案】解：∵xyz≠0，∴x、y、z均不为0，①当x+y+z≠0时，∵ ，∴k= =2，②当x+y+z=0时，x+y=-z，z+x=-y，y+z=-x，所以，k=-1，综上所述，k=2或-1．
【知识点】比例的性质
14．【答案】（1）解：，
，
又，
，
．
，B两点在直线上，
，
解得，
一次函数的表达式为．
如图，过点C作于点E，
，
，
易知，
，
，
，，
，
，
点C在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的表达式为．
（2）解：由（1）建立方程组，
解得或，
，
如图，过点D作轴于点F，则，
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
15．【答案】（1）解：将点B坐标代入得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上，
∴，则，
∴点D的坐标为，
将点D和点B坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为.
（2）解：由得，
∴，，
∴点A的坐标为，
将代入得，，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，，
∴．
（3）或
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的性质-对应面积
16．【答案】（1）
（2）解： ，
理由如下：
如图 ，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
， ，
，
， ，
，且 ，
∽ ，
，
即 ，
（3）解：如图 ，过点H作 于点M，
四边形ABCD，四边形GECF是正方形，
， ，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在 中，
，
，且
∽
，
即 ，
，
在 中，
，
的长度为 .
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
17．【答案】解：设经过 秒后 和 相似.
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
① 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 ，
② 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 .
综上所述，经过 秒或 秒后 和 相似.
【知识点】相似三角形的性质
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