第3章 圆的基本性质（培优）（含答案）

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第3章 圆的基本性质（培优）
一、单选题
1．Rt△ABC中，AB＝AC，D点为Rt△ABC外一点，且BD⊥CD，DF为∠BDA的平分线，当∠ACD＝15°，下列结论：①∠ADC＝45°；②AD＝AF；③AD+AF＝BD；④BC﹣CE＝2D，其中正确的是（　　）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
2．已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论：
①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB=150°；
④S△APC+S△APB=6+，其中正确的结论有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
3． 如图， 点 E为正方形ABCD内一点， ∠AEB=90°， 将△AEB绕点 B 按顺时针方向旋转90°， 得到△CBG。延长AE交 CG于点 F， 连接DE。下列结论： ①AF⊥CG，②四边形BEFG是正方形， ③若DA=DE， 则2CF=CG； ④若△ADE是等边三角形，其中正确的结论是(　　)
A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．①④
4． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（　　）
A．4 B． C． D．
5．如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB＋CD的最大值（　　）
A．4 B．8 C．10 D．6
6．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在中，，，将边长为1的正方形绕点B旋转一周，连结，点M为的中点，连结，则线段的最大值为　 　．
8．在矩形中，，点在上，点在平面内，，，连按，将线段绕着点顺时针旋转得到，则线段的最大值为　 　．
9．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3，EC＝1，如图所示，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为　 　.
10．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为　 　.
11．如图，在坐标系中，有 ，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知 是由 旋转得到的.请写出旋转中心的坐标是　 　，旋转角是　 　度.
12．如图，已知在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在线段AB上，△CBD绕着点C顺时针方向旋转90°后得到△CAE，点B和点D的对应点分别是点A和点E，点M在线段AB上，且△CEM与△CDM恰好关于直线CM成轴对称，如果AM：MD：DB＝3：5：4，△ABC的面积为24，那么△AME的面积为　 　．
三、计算题
13．【综合与实践】在《车轮为什么是圆的》课题学习中，小青将车轮设计成半径为2的正n多边形，在水平地面上模拟行驶．以为例，如图1，车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转），车轮中心的轨迹是，点C为中心轨迹最高点（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），如图2，d为点C到的距离（即的长）、当n取4，5，6时，车轮中心的轨迹分别如图3、图4、图5．
依此类推，当n取不同的值时，分别计算出d的值（结果精确到0.001）．具体数据如下表：
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11
d 1.000 　 0.382 0.268 0.198 0.152 0.121 0.098 0.081
请你协助小青完成以下任务．
（1）求当时，d为何值？（参考数据：）
（2）根据表格数据，d随n的变化情况为　 　；当车轮设计成圆形时，　 　．这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．
（3）若路面如图6形状，可看成由半径为2的一些等弧首尾连接而成，若长为，为确保车轮平稳滚动，则该车轮应设计成边数为几的正多边形？
四、解答题
14．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，求C′B的长度.
15．定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 y﹣x 称为 P 点的“坐标差”，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”．
（1）①点 A（1，3）的“坐标差”为 ；
②抛物线的“特征值”为 ；
（2）某二次函数的“特征值”为﹣1，点 B（m，0）与点 C 分别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等．
①直接写出 m＝ ；（用含 c 的式子表示）
②求此二次函数的表达式．
（3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线 y＝x 相交于点 D、E，请直接写出⊙M 的“特征值”为 ．
16．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．
（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
①△ADC是　 　三角形；
②设△BDC的面积为 ，△AEC的面积为 ，则 与 的数量关系是　 　．
（2）猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中 与 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（3）拓展探究：如图4，已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，且BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
2．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质
3．【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
4．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】A
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
7．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形的中位线定理
8．【答案】
【知识点】矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
9．【答案】1或7
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的中位线定理
11．【答案】（0，0）；90
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；旋转的性质
12．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；轴对称的性质；旋转的性质
13．【答案】（1）解：当时，
∵点C为的中点
∴
∵
∴，
∴为等腰直角三角形
在中，
∴
∴
∴
（2）d随n的增大而减小；0
（3）解：设对应的圆心角为
∵长为
∴
∴
∴，即该车轮应设计成边数为36的正多边形．
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；正多边形的概念；正多边形的性质；用表格表示变量间的关系
14．【答案】解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB＝BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′＝∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝ ，
∴AB＝ ＝2=AB’，
∴AD=
∴BD＝ ，
C′D＝ AB’= ×2＝1，
∴BC′＝BD C′D＝ 1．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
15．【答案】（1）①2；②4；
（2）①m＝ c；
②解：∵C（0，c），
又∵点B与点C的“坐标差”相等，
∴B（ c，0），
把（ c，0）代入y＝ x2＋bx＋c，得到：0＝ c2 bc＋c，
∴c＝1 b，
∵二次函数（c≠0）的“特征值”为 1
所以的最大值为 1，
∴＝ 1，
解得b＝3，
∴c＝ 2，
∴二次函数的解析式为．
（3）1＋2．
【知识点】圆的相关概念；二次函数y=ax²+bx+c的性质
16．【答案】（1）等边；S1＝S2
（2）解：如图，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD
，
，
在△ACN和△DCM中，
，
，
∴AN=DM
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，
即
（3）解：BF= 或BF= ．
理由：如图，作EG⊥BD于G，延长CD交AB于H，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，DE∥AB，
∴∠ABD=∠DBE=∠BDE=30°，
∴ED=EB，
∴BG= BD=2，
∴Rt△BEG中，GE= ，
∵DB=DC=4，
∴∠BCD=∠DBC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CHB=90°，即CH⊥AB，
∵S△DCF=S△BDE，DB=DC，
∴△CDF中CD边上的高等于 ，
当点F在HB上时，HF= ，
又∵Rt△BDH中，DH= BD=2，∠DBH=30°，
∴BH= DH=2 ，
∴BF=BH-FH=2 - = ；
当点F'在BH延长线上时，同理可得HF'= ，
∴BF'=BH+F'H=2 + = ．
综上所述，BF的长为 或
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质
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