第1章 三角形的初步知识（培优）（含答案）

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第1章 三角形的初步知识（培优）
一、单选题
1．如图，在 格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　）
A．5个 B．6 个 C．7个 D．8 个
2．如图， 已知 分别平分 和 ， 且交于点 ， 则 (　　)
A． B．
C． D．
3．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，D、E都在BC上，要使△ABD≌△ACE，需要添加一个条件，某学习小组在讨论这个条件时给出了如下几种方案：
①AD=AE；②BD=CE；③BE=CD；④∠BAD=∠CAE，其中可行的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的角平分线AE交CD于E，连结BE，且BE平分∠ABC，则以下命题不正确的是（　　）
A．BC+AD＝CD B．E为CD中点
C．∠AEB＝90° D．S△ABE＝S四边形ABCD
5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，AB=AC，下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AB；③△BRP≌△CSP，其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
7．如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC为　 　度.
8．如图，长方形长为a，宽为b，若，则等于　 　．（用含a、b的代数式表示）
9．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面 AB 上跑至 B点，向上跃起至最高点 P，然后落在点 C 处，继续在水平面 CD 上跃起落在点 D，若∠ABK 和∠KCD 的平分线的反向延长线刚好交于最高点 P，∠BKC＝88°，则∠P＝　 　度．
10．如图，已知长方形ABCD的边长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当△BPE与△CQP全等时，时间t为　 　 s．
11．如图，是的中线，延长至点E，使.连接并延长，交的延长线于点F，已知四边形的面积为2，则的面积是　 　.
12．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点 ， 的角平分线与 的平分线交于点 ，若∠A＝60°，则 的度数为　 　
三、计算题
13．在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．
四、解答题
14．A、B、C、D四个小孩在院子里踢球，把房间的窗玻璃打破了。询问后分别得到如下的回答：
A说：B打破的.
B说：D打破的.
C说：不是我打破的.
D说：B撒谎.
已知其中只有一个孩子说了真话，而且肇事者也只是其中的一个人，问说真话的是谁，肇事者是谁
15．如图，在三角形ABC中，AD为中线，AB=4，AC=2，AD为整数，求AD的长。
16．如图，∠ABC的两边分别平行于∠DEF的两边，且∠ABC=25°．
（1）图1中∠1=　 　，图2中∠2=　 　.
（2）观察∠1，∠2分别与∠ABC有怎样的数量关系，请你对此归纳出一个真命题．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
2．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；角平分线的性质
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
6．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的概念
7．【答案】32
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
8．【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形的面积
9．【答案】46
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
10．【答案】1或4
【知识点】全等三角形的实际应用
11．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
12．【答案】15°
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
13．【答案】（1）解：∵A（﹣3，3）、C（4，3），
∴AC∥x轴，
∵D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1），
∴DE∥x轴，
∴AC∥DE；
（2）①如图，∠CAM+∠MDE＝∠AMD．
理由如下：
过点M作MN∥AC，
∵MN∥AC（作图），
∴∠CAM＝∠AMN（两直线平行，内错角相等），
∵AC∥DE（已知），
∴MN∥DE（平行公理推论），
∴∠MDE＝∠NMD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAM+∠MDE＝∠AMN+∠NMD＝∠AMD（等量代换）．
②由题意，得：AC＝7，DE＝4，
设M（0，m），
（i）当点M在线段OB上时，BM＝3﹣m，FM＝m+1，
∴S△ACM＝ AC BM＝ ×7×（3﹣m）＝ ，
S△DEM＝ DE FM＝ ×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴ ＝2m+2，
解得：m＝ ，
∴M（0， ）；
（ii）当点M在线段OB的延长线上时，BM＝m﹣3，FM＝m+1，
∴S△ACM＝ AC BM＝ ×7×（m﹣3）＝ ，
S△DEM＝ DE FM＝ ×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴ ＝2m+2，
解得：m＝ ，
∴M（0， ）；
综上所述，点M的坐标为（0， ）或（0， ）．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形的面积
14．【答案】解：①假设A说的是真话，则是B打破的，但此时C说的也是真话，与题意不符；故假设不成立；
②假设B说的是真话，则是D打破的，但此时C说的也是真话，与题意不符；故假设不成立；
③假设C说的是真话，则不是C打破的，但此时D说的是假话，则是D打破的，矛盾，故假设不成立；
④假设D说的是真话，则B说谎，则不是D打破的，此时C说的是假话，则是C打破的，与题意符合；故假设成立；
∴说真话的是D，肇事者是C.
【知识点】推理与论证
15．【答案】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE=2，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴4-2＜2AD＜4+2，
∴1＜AD＜3，
∵AD是整数，
∴AD=2.
【知识点】全等三角形的判定与性质
16．【答案】（1）；
（2）解：∠1与∠ABC相等，∠2与∠ABC互补.
归纳：如果两个角的两边分别互相平行，那么这两个角相等或互补.
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题
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