第2章 特殊三角形（培优）（含答案）

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第2章 特殊三角形（培优）
一、单选题
1．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6。其中，S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4＝（　　）
A．86 B．64 C．54 D．48
2．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为斜边向外作等腰直角三角形△ACD，△BCE，弧AC和弧BC的中点分别是M，N.连接DM，EN，若C在半圆上由点A向B移动的过程中，DM：EN的值的变化情况是（　　）
A．变大 B．变小
C．先变大再变小 D．保持不变
3．如图，在三角形ABC中，，，，，将三角形沿射线的方向平移个单位长度得到三角形，连接，则下列结论：①且；②四边形的面积等于四边形DFCG的面积；③四边形的周长为；④其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示，在△ABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在△ACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC=∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC=BE.其中，正确的结论有（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．②③ D．②③④
5．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．如图，BD是△ABC的角平分线，BA＝BC＝10，AC＝12，DE∥BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：①PC+PQ≥AQ；②AE+DE＝BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
7．如图，∠MON=30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△AnBnAn+1的边长为　 　．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝x2﹣2x＋c 的图象与 x 轴交于 A、C 两点，与 y轴交于点 B（0，﹣3），若 P 是 x 轴上一动点，点 D（0，1）在 y 轴上，连接 PD，则 C 点的坐标是　 　，PD＋PC 的最小值是　 　．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为　 　时，△ACP是等腰三角形．
10．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是6cm，则OP的长是　 　.
11．如图，在 中， ， ，过点 作 ，连接 ，过点 作 于点 ，若 ， 的面积为6，则 的长为　 　．
12．如图，将一块 为 的直角三角板 和等腰直角三角板 叠合在一起，边 与 重合，斜边 .当点 从点 出发沿着 方向滑动时，点 同时沿着 方向滑动.当点 从点 滑动到点 时，点 运动的路径长为　 　.
三、解答题
13．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做"对垂四边形".
（1）如图1，四边形ABCD为"对垂四边形".求证：.
（2）如图2，是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点.若.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”
（3）如图，四边形ABCD为"对垂四边形"，，，求CD的长.
14．综合与实践
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理．
（2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）；
（3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离．
（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值．
15．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，求∠EDC的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
2．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平移的性质
4．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；角平分线的概念
7．【答案】2n﹣1
【知识点】等边三角形的性质
8．【答案】（3，0）；4
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
9．【答案】3或6或6.5或5.4
【知识点】等腰三角形的判定
10．【答案】6cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形
12．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
13．【答案】（1）证明： (1) ∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
由勾股定理得，
（2）解：，
∴四边形ABCD为“对垂四边形”；
（3）解：过点A作 ，交CD延长线于点H，
设 则
∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
(舍去) ，)
∴CD的长度1.
【知识点】勾股定理
14．【答案】（1）
（2）
（3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，
如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求，
设千米，则千米，
在中，根据勾股定理可得：
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
解得：，
即：千米；
（4）解：如图，，
先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，
设，
则就是代数式的最小值，
代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点，
由轴对称的性质可得：，
，，，
四边形是矩形，
，，
从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值，
代数式的最小值为：
．
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的应用；勾股定理的实际应用-最短路径问题；生活中的轴对称现象
15．【答案】解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF=DM，
∵∠BAC=120°，
∴∠DAM=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=60°，
∴∠DAM=∠BAE，
∴DM=DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB=AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∴∠DEF=45°，
∵∠B=∠C=30°，
∴∠DCF=15°，
∴∠EDC=30°，
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
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