1.1认识三角形
【知识点1】三角形内角和定理 1
【知识点2】三角形的角平分线、中线和高 2
【知识点3】三角形 2
【知识点4】三角形三边关系 2
【知识点5】作图—尺规作图的定义 3
【题型1】分析第三边的取值范围，确定其整数值 3
【题型2】判断任意三条线段可否组成三角形 3
【题型3】三角形的角平分线、高线、中线的定义 4
【题型4】三角形的定义及其表示方法 6
【题型5】三角形内角和与平行线 7
【题型6】与非负数的综合运用 8
【题型7】三角形内角和与翻折 9
【题型8】三角形中线均分三角形面积 10
【题型9】结合三角形的角平分线、高线、中线求角 12
【题型10】画三角形的角平分线、高线、中线 13
【题型11】结合三角形的角平分线、高线、中线求边 15
【题型12】已知两角或三角的数量关系求三角形内角 17
【题型13】三角形的分类 17
【题型14】识别三角形的高线 17
【题型15】已知两角求第三角的大小 19
【题型16】三角形面积的计算与等面积法 20
【题型17】等腰三角形中的三边关系 21
【知识点1】三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
【知识点2】三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【知识点3】三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
【知识点4】三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【知识点5】作图—尺规作图的定义
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
【题型1】分析第三边的取值范围，确定其整数值
【典型例题】已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【举一反三1】如果某三角形的两边长分别为5和7，第三边的长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A.13 B.14 C.15 D.16
【举一反三2】若△ABC的两边长分别为3cm、8cm、则第三边c的取值范围是 ．
【举一反三3】已知，△ABC的三边长为3，5，x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC的周长为偶数，求x的值．
【题型2】判断任意三条线段可否组成三角形
【典型例题】下列各组线段：①1cm、2cm、3cm； ②3cm、4cm、5cm；③3cm、5cm、8cm；④4cm、4cm、2cm；⑤6cm、14cm、5cm；其中能组成三角形的有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【举一反三1】下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（ ）
A.1cm，2cm，4cm B.8cm，6cm，4cm C.12cm，5cm，6cm D.1cm，3cm，4cm
【举一反三2】若现有长为3cm，4cm，7cm，9cm的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，则可以组成不同的三角形的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【举一反三3】判断下列长度的三条线段能否组成三角形（填“能”或“不能”）．
（1）7cm，4cm，6cm； ．
（2）4cm，5cm，9cm； ．
（3）5cm，3cm，5cm； ．
（4）2cm，3cm，6cm． ．
【举一反三4】下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1）3，5，9；
（2）5，6，9．
【题型3】三角形的角平分线、高线、中线的定义
【典型例题】如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
【举一反三1】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确
【举一反三2】如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三3】如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A.CDBC B.2∠BAE＝∠BAC C.∠C+∠CAF＝90° D.AE＝AC
【举一反三4】下列说法中错误的是（ ）
A.三角形的高、中线、角平分线都是线段
B.三角形的三条中线交于同一点
C.三角形的三条角平分线交于同一点
D.直角三角形的三条高的交点在三角形内部
【举一反三5】如图，完成下面几何语言的表达．
∵AD是△ABC的高（已知）；
∴AD⊥BC，∠ ＝ ＝ °．
∵AE是△ABC的中线（已知），
∴BE＝ ，
BC＝2 ＝2 ；
∵AF是△ABC的角平分线（已知），
∴∠BAF＝∠ ∠ ，
∠BAC＝2∠ ＝2∠ ．
【举一反三6】如图，已知△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H．△ACH的三条高是 ，这三条高所在直线交于点 ．
【举一反三7】如图，在△ABC中，
①若AD是∠BAC的平分线，则∠ ＝∠ ∠ ；
②若AE＝CE，则BE是AC边上的 ；
③若CF是AB边上的高，则∠ ＝∠ ＝90°，CF AB．
【题型4】三角形的定义及其表示方法
【典型例题】如图，以AB为边的三角形有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三1】如图所示的图形中，三角形的个数是（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【举一反三2】如图，图中共有 个三角形，它们分别是 ；以BC为一边的三角形共有 个，它们分别是 ；以∠A为内角的三角形是 和 ，在这两个三角形中，∠A的对边分别是 和 ．
【举一反三3】如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出△CDE的边和角．
（3）AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三角形的角？
【举一反三4】如图所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形．
【题型5】三角形内角和与平行线
【典型例题】如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝62°，DE∥AB，则∠DEC等于（ ）
A.62° B.55° C.63° D.117°
【举一反三1】如图，AB∥CD，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，则∠EAB＝（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB．若∠ECA＝55°，则∠B的度数＝ .
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠A＝55°，则∠BCE的度数为 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明：DG∥BC；
（2）若∠B＝54°，∠ACD＝35°，求∠3的度数．
【举一反三5】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝48°，∠C＝63°．
（1）∠DAB＝ ；∠EAC＝ ；∠BAC＝ ；
（2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是180°？
【题型6】与非负数的综合运用
【典型例题】若a，b，c为△ABC的三条边，且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，第三条边c为整数，则△ABC的周长最小值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【举一反三1】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（ ）
A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12
【举一反三2】已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足|b﹣2|+（c﹣3）2＝0，且a为方程|a﹣5|＝1的解，则△ABC的周长为 ．
【举一反三3】已知a，b，c分别为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程2a﹣1＝5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由．
【题型7】三角形内角和与翻折
【典型例题】如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A.27° B.59° C.69° D.79°
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【举一反三2】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【举一反三3】如图，一张直角三角形纸片，∠A＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上，点E为边BC上一动点，将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，若EF与AB垂直，则∠BED的度数为 ．
【举一反三4】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，使点A与点N重合．
（1）若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠A的度数；
（2）若∠A＝70°，求∠1+∠2的度数．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠A＝35°，点D，E分别是AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，已知∠1＝74°，求∠2的度数．
【题型8】三角形中线均分三角形面积
【典型例题】如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为64，则△BEF的面积是（ ）
A.18 B.16 C.14 D.12
【举一反三1】如图，已知点M是△ABC的边BC上一点，且BM＝2CM，线段AM与△ABC的中线BN交于点O，连接MN，若△ABC的面积为12，则△CMN的面积是（ ）
A.2 B.4 C.3 D.1.5
【举一反三2】如图，△ABD与△ADC的面积相等，线段AD应该是△ABC的（ ）
A.角平分线 B.中线 C.高线 D.不能确定
【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线，点EF在AD上，且AE＝EF＝DF，连接BE、CF若S△ABC＝18，则阴影部分的面积为 ．
【举一反三4】如图，在△AMH中，AN，ME，MF分别为△AMH，△AMN，△MHE的中线，且△AMH的面积为80cm2．
（1）求△AME与△AHE的面积和．
（2）求△MEF的面积．
【题型9】结合三角形的角平分线、高线、中线求角
【典型例题】如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【举一反三1】如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F．已知∠AFE＝64°，则∠FEC的度数为（ ）
A.64° B.32° C.36° D.26°
【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（ ）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【举一反三3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（ ）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【举一反三5】如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，且∠B＝30°，∠C＝40°，求∠EAF的度数．
【举一反三6】如图，BD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的AC边上的中线．
（1）若△ABE的周长为13，BE＝6，CE＝4，求AB的长．
（2）若∠A＝92°，∠CBD＝34°，求∠C的度数．
【题型10】画三角形的角平分线、高线、中线
【典型例题】下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，以下是三角形的角平分线、中线、高的画法，其中错误的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三2】如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空．
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠ ＝∠ ∠ （角平分线的定义）．
（2）∵AE是△ABC的中线．
∴ ＝ （ ）．
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠ ＝90°（高线的定义）．
【举一反三3】画△ABC中AB边上的高，如图的画法中正确的是 ．
【举一反三4】如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为 ．
【举一反三5】如图，已知△ABC．
（1）画△ABC的角平分线AD；
（2）过点D画△ABD的高DE，过点D画△ACD的高DF；
【题型11】结合三角形的角平分线、高线、中线求边
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）
A.20 B.24 C.26 D.28
【举一反三1】如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三2】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【举一反三3】如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
【举一反三4】已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 .
【举一反三5】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长．
【举一反三6】如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．
（1）若DE＝4，求BC的长；
（2）若△ABC的周长为37，BC＝12，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．
【题型12】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典型例题】已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是（ ）三角形．
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定
【举一反三1】△ABC中，若∠A+∠C＝2∠B，中间角为60°，则最大角为（ ）
A.60° B.90° C.120° D.无法确定
【举一反三2】在一个三角形中，三个内角之比为1：2：6，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
【举一反三3】若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是 度．
【举一反三4】在△ABC中，∠A＝100°，∠C比∠B大20°，求∠B、∠C的度数．
【题型13】三角形的分类
【典型例题】将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A.都是锐角三角形
B.都是直角三角形
C.都是钝角三角形
D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形
【举一反三1】在△ABC中，如果∠B﹣2∠C＝90°﹣∠C，那么△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
【举一反三2】根据下列三角形中角的特征，写出三角形的名称．
【举一反三3】根据下列所给条件，判断△ABC的形状．
（1）∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；
（2）∠C＝120°；
（3）∠C＝90°；
（4）AB＝BC＝4，AC＝5．
【题型14】识别三角形的高线
【典型例题】如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A.AF B.BE C.CE D.BD
【举一反三1】如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A.线段AE B.线段BF C.线段AD D.线段CF
【举一反三2】如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（ ）
A.线段AD是AB边上的高 B.线段BE是AC边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段CF是BC边上的高
【举一反三3】如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 是△ABC中AC边上的高．
【举一反三4】如图，AE⊥BC于点E，以AE为高的三角形有哪些？
【举一反三5】如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．
（1）写出△ACO各边上的高．
（2）BF是哪些三角形中哪条边上的高？
（3）若AB＝12，CF＝10，AD＝9，求BC的长．
【题型15】已知两角求第三角的大小
【典型例题】已知△ABC中，∠A＝50°，∠B＝20°，则△ABC的形状为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形
【举一反三1】三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的，请问∠EAB的角度为（ ）
A.50° B.60° C.75° D.85°
【举一反三2】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（ ）
A.60° B.64° C.74° D.80°
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝65°，则∠C＝ 度．
【举一反三4】△ABC中，∠A＝70°，∠B＝∠C，求∠C度数．
【举一反三5】一块三角形的材料被折断了一个角，余下的形状如图，请根据所剩的材料如何推算处所缺角的度数．（写出必要的文字说明及画出相应的图形）
【题型16】三角形面积的计算与等面积法
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A. B. C. D.2
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝12，AC＝5，BC＝13，BC边上的高AD长是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，若AE＝5，DE＝3，CD，则AB＝ ．
【举一反三3】如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长．
【题型17】等腰三角形中的三边关系
【典型例题】已知△ABC的三边长分别为1、5、x，周长为整数，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【举一反三1】小颖要制作一个等腰三角形木架，现有两根长度为3m和6m的木棒，则小颖选的木棒是（ ）
A.3m B.6m C.4m D.8m
【举一反三2】已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）
A.3 B.10 C.6.5 D.3或6.5
【举一反三3】等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 ．
【举一反三4】如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个等腰三角形的周长．1.1认识三角形
【知识点1】三角形内角和定理 1
【知识点2】三角形的角平分线、中线和高 2
【知识点3】三角形 2
【知识点4】三角形三边关系 2
【知识点5】作图—尺规作图的定义 3
【题型1】分析第三边的取值范围，确定其整数值 3
【题型2】判断任意三条线段可否组成三角形 4
【题型3】三角形的角平分线、高线、中线的定义 6
【题型4】三角形的定义及其表示方法 10
【题型5】三角形内角和与平行线 12
【题型6】与非负数的综合运用 15
【题型7】三角形内角和与翻折 17
【题型8】三角形中线均分三角形面积 21
【题型9】结合三角形的角平分线、高线、中线求角 24
【题型10】画三角形的角平分线、高线、中线 27
【题型11】结合三角形的角平分线、高线、中线求边 30
【题型12】已知两角或三角的数量关系求三角形内角 34
【题型13】三角形的分类 35
【题型14】识别三角形的高线 37
【题型15】已知两角求第三角的大小 39
【题型16】三角形面积的计算与等面积法 41
【题型17】等腰三角形中的三边关系 43
【知识点1】三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
【知识点2】三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【知识点3】三角形
（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
组成三角形的线段叫做三角形的边．
相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．
相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．
（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．
（4）三角形具有稳定性．
【知识点4】三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
【知识点5】作图—尺规作图的定义
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
【题型1】分析第三边的取值范围，确定其整数值
【典型例题】已知三角形两边的长分别是3和5，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【解析】∵三角形两边的长分别是3和5，
∴第三边的取值范围为：5﹣3＜第三边＜5+3，即2＜第三边＜8，
∴A符合题意．
故选：A．
【举一反三1】如果某三角形的两边长分别为5和7，第三边的长为偶数，那么这个三角形的周长可以是（ ）
A.13 B.14 C.15 D.16
【答案】D
【解析】设三角形第三边长是x，
∴7﹣5＜x＜7+5，
∴2＜x＜12，
∵第三边的长为偶数，
∴三角形第三边长是4，或6或8或10，
∴这个三角形的周长是5+7+4＝16或5+7+6＝18或5+7+8＝20或5+7+10＝22．
故选：D．
【举一反三2】若△ABC的两边长分别为3cm、8cm、则第三边c的取值范围是 ．
【答案】5cm＜c＜11cm
【解析】因为△ABC的两边长为3cm，8cm，
所以8cm﹣3cm＜c＜8cm+3cm，
即5cm＜c＜11cm．
故答案为：5cm＜c＜11cm．
【举一反三3】已知，△ABC的三边长为3，5，x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC的周长为偶数，求x的值．
【答案】解 （1）∵△ABC的三边长为3，5，x，
∴5﹣3＜x＜5+3，
即2＜x＜8；
（2）∵△ABC的三边长为3，5，x，△ABC的周长为偶数，
∴3+5+x＝8+x为偶数，
∵3+5＝8，8为偶数，2＜x＜8，
∴x为4或6．
【题型2】判断任意三条线段可否组成三角形
【典型例题】下列各组线段：①1cm、2cm、3cm； ②3cm、4cm、5cm；③3cm、5cm、8cm；④4cm、4cm、2cm；⑤6cm、14cm、5cm；其中能组成三角形的有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】B
【解析】①1+2＝3，不能组成三角形；
②3+4＞5，能组成三角形；
③3+5＝8，不能组成三角形；
④2+4＞4，能组成三角形；
⑤5+6＜14，不能组成三角形．
故能组成三角形的只有②④．
故选：B．
【举一反三1】下列长度的3条线段，能首尾依次相接组成三角形的是（ ）
A.1cm，2cm，4cm B.8cm，6cm，4cm C.12cm，5cm，6cm D.1cm，3cm，4cm
【答案】B
【解析】∵三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
∵1+2＜4，∴无法围成三角形，故此选项A错误；
∵4+6＞8，∴能围成三角形，故此选项B正确；
∵5+6＜12，∴无法围成三角形，故此选项C错误；
∵1+3＝4，∴无法围成三角形，故此选项D错误．
故选：B．
【举一反三2】若现有长为3cm，4cm，7cm，9cm的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，则可以组成不同的三角形的个数是（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】C
【解析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；
只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．
故选：C．
【举一反三3】判断下列长度的三条线段能否组成三角形（填“能”或“不能”）．
（1）7cm，4cm，6cm； ．
（2）4cm，5cm，9cm； ．
（3）5cm，3cm，5cm； ．
（4）2cm，3cm，6cm． ．
【答案】（1）能
（2）不能
（3）能
（4）不能
【解析】（1）4+6＞7，能，组成三角形；
（2）4+5＝9，不能组成三角形；
（3）3+5＞5，能，组成三角形；
（4）2+3＜6，不能组成三角形；
故答案为：（1）能；（2）不能；（3）能；（4）不能．
【举一反三4】下列长度的三条线段能否组成三角形？
（1）3，5，9；
（2）5，6，9．
【答案】解 （1）3+5＜9，不能组成三角形；
（2）5+6＞9，能组成三角形；
【题型3】三角形的角平分线、高线、中线的定义
【典型例题】如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若DC＝6，则AE的长度为（ ）
A.3 B.6 C.9 D.12
【答案】A
【解析】∵BD是△ABC的中线，
∴CD＝AD，
∵DC＝6，
∴AD＝6，
∵BE是△ABD的中线，
∴AE＝EDAD＝3，
故选：A．
【举一反三1】如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（ ）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确
【答案】A
【解析】AD是三角形ABC的角平分线，
则是∠BAC的角平分线，
所以AO是△ABE的角平分线，故①正确；
BE是三角形ABC的中线，
则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误．
故选：A．
【举一反三2】如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】∵BD＝5，CD＝9，
∴BC＝BD+CD＝14，
∵AE是△ABC的中线，
∴CE＝BEBC＝7，
故选：C．
【举一反三3】如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（ ）
A.CDBC B.2∠BAE＝∠BAC C.∠C+∠CAF＝90° D.AE＝AC
【答案】D
【解析】A．∵AD是△ABC的中线，
∴，
故此选项不符合题意；
B．∵AE是△ABC的角平分线，
∴2∠BAE＝∠BAC，
C．∵AF是△ABC的高线，
∴∠AFC＝90°，
∴∠C+∠CAF＝180°-∠AFC=90°，
故此选项不符合题意；
D．无法证得AE＝AC，
故此选项符合题意；
故选：D．
【举一反三4】下列说法中错误的是（ ）
A.三角形的高、中线、角平分线都是线段
B.三角形的三条中线交于同一点
C.三角形的三条角平分线交于同一点
D.直角三角形的三条高的交点在三角形内部
【答案】D
【解析】A．三角形的高、中线、角平分线都是线段，原命题是真命题；
B．三角形的三条中线交于同一点，原命题是真命题；
C．三角形的三条角平分线交于同一点，原命题是真命题；
D．直角三角形的三条高的交点在三角形上，原命题是假命题；
故选：D．
【举一反三5】如图，完成下面几何语言的表达．
∵AD是△ABC的高（已知）；
∴AD⊥BC，∠ ＝ ＝ °．
∵AE是△ABC的中线（已知），
∴BE＝ ，
BC＝2 ＝2 ；
∵AF是△ABC的角平分线（已知），
∴∠BAF＝∠ ∠ ，
∠BAC＝2∠ ＝2∠ ．
【答案】ADB，∠ADC，90，BE，CE，BC，BC，BE，CE，BAF，CAF，BAC，BCA，BAF，CAF
【解析】①∵AD是△ABC的高（已知）；
∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°．
②∵AE是△ABC的中线（已知），
∴BE＝CEBC，BC＝2BE＝2CE；
③∵AF是△ABC的角平分线（已知），
∴∠BAF＝∠CAF∠BAC，
∠BA＝2∠BAF＝2∠CAF．
故答案为：ADB，∠ADC，90，BE，CE，BC，BC，BE，CE，BAF，CAF，BAC，BCA，BAF，CAF．
【举一反三6】如图，已知△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H．△ACH的三条高是 ，这三条高所在直线交于点 ．
【答案】CD，HE，AF B
【解析】由三角形的高可知，△ACH的三条高是CD，HE，AF，这三条高所在直线交于点B，
故答案为：CD，HE，AF；B．
【举一反三7】如图，在△ABC中，
①若AD是∠BAC的平分线，则∠ ＝∠ ∠ ；
②若AE＝CE，则BE是AC边上的 ；
③若CF是AB边上的高，则∠ ＝∠ ＝90°，CF AB．
【答案】BAD，CAD，BAC，中线，AFC，BFC，⊥
【解析】在△ABC中，
①若AD是∠BAC的平分线，则∠BAD＝∠CAD∠BAC；
②若AE＝CE，则BE是AC边上的中线；
③若CF是AB边上的高，则∠AFC＝∠BFC＝90°，CF⊥AB．
故答案为：BAD，CAD，BAC，中线，AFC，BFC，⊥．
【题型4】三角形的定义及其表示方法
【典型例题】如图，以AB为边的三角形有（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】B
【解析】以AB为边的三角形有△ABO，△ABC，△ABF，△ABE，
故选：B．
【举一反三1】如图所示的图形中，三角形的个数是（ ）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【答案】C
【解析】根据图示知，图中的三角形有：△ABE，△ABC，△AEC，△ADC，△DEC，
共有5个，
故选：C．
【举一反三2】如图，图中共有 个三角形，它们分别是 ；以BC为一边的三角形共有 个，它们分别是 ；以∠A为内角的三角形是 和 ，在这两个三角形中，∠A的对边分别是 和 ．
【答案】5 △ABC，△ABE，△BCE，△BCD，△CDE 3 △ABC，△BCE，△BCD △ABC，△ABE BC，BE
【解析】根据题意得：图中共有5个三角形，它们分别是△ABC，△ABE，△BCE，△BCD，△CDE；
以BC为一边的三角形共有3个，它们分别是△ABC，△BCE，△BCD；
以∠A为内角的三角形是△ABC和△ABE，在这两个三角形中，∠A的对边分别是BC和BE．
故答案为：5，△ABC，△ABE，△BCE，△BCD，△CDE；3，△ABC，△BCE，△BCD；△ABC，△ABE，BC，BE．
【举一反三3】如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出△CDE的边和角．
（3）AD是哪些三角形的边？∠C是哪些三角形的角？
【答案】解 （1）图中有：△ABD，△ADC，△ADE，△EDC，△ACB，共5个；
（2）△CDE的边：CD，CE，DE，
角：∠C，∠CDE，∠DEC；
（3）AD是△ADB，△ADE，△ADC的边；
∠C是△ABC，△ADC，△DEC的角．
【举一反三4】如图所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形．
【答案】解 图中共有7个，△ABC，△ABD，△ACD，△BCD，一共4个．
【题型5】三角形内角和与平行线
【典型例题】如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝62°，DE∥AB，则∠DEC等于（ ）
A.62° B.55° C.63° D.117°
【答案】C
【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣55°﹣62°＝63°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝63°，
故选：C．
【举一反三1】如图，AB∥CD，在Rt△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，则∠EAB＝（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】C
【解析】∵在直角△DCE中，∠DCE＝90°，且∠E＝40°，
∴∠CDE＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB＝∠CDE＝50°，
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作EF∥AB．若∠ECA＝55°，则∠B的度数＝ .
【答案】35°
【解析】∵EF∥AB，∠ECA＝55°，
∴∠A＝∠ECA＝55°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝35°．
故答案为：35°．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE过点C且平行于AB，若∠A＝55°，则∠BCE的度数为 ．
【答案】35°
【解析】∵AB∥DE，
∴∠A＝∠ACD＝55°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝35°．
故答案为：35°．
【举一反三4】如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1＝∠2．
（1）试说明：DG∥BC；
（2）若∠B＝54°，∠ACD＝35°，求∠3的度数．
【答案】（1）证明 ∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC；
（2）解 在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠B＝54°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∴∠BCA＝∠BCD+∠ACD＝36°+35°＝71°．
又∵BC∥DG，
∴∠3＝∠BCA＝71°．
【举一反三5】如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝48°，∠C＝63°．
（1）∠DAB＝ ；∠EAC＝ ；∠BAC＝ ；
（2）通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是180°？
【答案】解 （1）∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠B＝48°，∠C＝63°，
∴∠DAB＝48°，∠EAC＝63°，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣48°﹣63°＝69°，
故答案为：48°，63°，69°；
（2）∵DE∥BC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC＝180°，
∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，
即三角形内角和是180°．
【题型6】与非负数的综合运用
【典型例题】若a，b，c为△ABC的三条边，且a，b满足（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，第三条边c为整数，则△ABC的周长最小值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【解析】由题意知：a﹣4＝0，b﹣3＝0，
解得a＝4，b＝3，
∴1＜c＜7，
又∵c为整数，
∴当c＝2时，
∴△ABC的周长最小值为4+3+2＝9．
故选：B．
【举一反三1】若实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，且a，b满足，则△ABC的第三条边c的取值范围是（ ）
A.c＞4 B.c＜12 C.4＜c＜12 D.4≤c≤12
【答案】C
【解析】∵a，b满足，
∴a﹣4＝0，b﹣8＝0，
即a＝4，b＝8，
∵实数a，b，c分别表示△ABC的三条边，
∴8﹣4＜c＜8+4，
即4＜c＜12，
故选：C．
【举一反三2】已知a，b，c为△ABC的三边长，b，c满足|b﹣2|+（c﹣3）2＝0，且a为方程|a﹣5|＝1的解，则△ABC的周长为 ．
【答案】9
【解析】∵|b﹣2|+（c﹣3）2＝0，
∴b﹣2＝0且c﹣3＝0，
∴b＝2、c＝3，
∵a为方程|a﹣5|＝1的解，
∴a＝6或a＝4，
又2+3＜6，不能构成三角形，
∴a＝4，
则△ABC的周长为2+3+4＝9，
故答案为：9．
【举一反三3】已知a，b，c分别为△ABC的三边长，b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程2a﹣1＝5的解，请先判断△ABC的形状，再说明理由．
【答案】解 △ABC是等腰三角形，理由如下：
∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0．
∴b＝2，c＝3，
又∵2a﹣1＝5，
∴a＝3．
∴△ABC是等腰三角形．
【题型7】三角形内角和与翻折
【典型例题】如图，△ABC中，∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（ ）
A.27° B.59° C.69° D.79°
【答案】D
【解析】如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴20°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°，
即20°+2∠3+106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°﹣27°＝79°，
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【答案】C
【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝90°，∠B＝70°，
∴∠A＝20°．
∵△DEF是由△DEA折叠成的，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠DEF．
∵∠BDF+∠1+∠2＝180°，
∴∠BDF＝180°﹣2∠1．
∵∠CEF+∠CED＝∠DEF＝∠3，∠CED＝∠1+∠A，∠3+∠1+∠A＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠A．
∴∠CEF＝∠3﹣∠CED．
＝180°﹣∠1﹣∠A﹣∠1﹣∠A
＝180°﹣2∠1﹣2∠A
＝140°﹣2∠1．
∴∠BDF﹣∠CEF＝180°﹣2∠1﹣（140°﹣2∠1）
＝180°﹣2∠1﹣140°+2∠1
＝40°．
故选：C．
【举一反三2】如图，三角形纸片ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°，将纸片的一角沿DE折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2＝（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【答案】C
【解析】∵在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，
∴在△CDE中，∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝150°，
∵折叠，
∴∠1+∠2+2（∠CDE+∠CED）＝360°，
即20°+∠2+2×150°＝360°，
解得∠2＝40°，
故选：C．
【举一反三3】如图，一张直角三角形纸片，∠A＝90°，∠B＝30°，点D在边AB上，点E为边BC上一动点，将纸片沿DE折叠，点B落在点F处，若EF与AB垂直，则∠BED的度数为 ．
【答案】30°
【解析】∵EF⊥AB，∠B＝30°，
∴∠BEF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
由翻折的性质得：∠BED＝∠FED，
∴．
故答案为：30°．
【举一反三4】如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，使点A与点N重合．
（1）若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠A的度数；
（2）若∠A＝70°，求∠1+∠2的度数．
【答案】解 （1）∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣60°＝85°；
（2）∵∠A＝70°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣70°＝110°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与N重合，
∴∠NDE＝∠ADE，∠NED＝∠AED，
∴∠1+∠2＝180°﹣（∠NED+∠AED）+180°﹣（∠NDE+∠ADE）＝360°﹣2×110°＝140°．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠A＝35°，点D，E分别是AB，AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点F处，已知∠1＝74°，求∠2的度数．
【答案】解 由折叠可知：∠F＝∠A＝35°，
∵∠1+∠F+∠FGD＝180°，∠1＝74°，
∴∠FGD＝71°，
∴∠AGE＝180°﹣∠FGD＝109°，
∵∠A+∠AGE+∠AEG＝180°，
∴∠AEG＝180°﹣109°﹣35°＝36°，
∴∠2＝180°﹣∠AEG＝180°﹣36°＝144°．
【题型8】三角形中线均分三角形面积
【典型例题】如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为64，则△BEF的面积是（ ）
A.18 B.16 C.14 D.12
【答案】B
【解析】∵点E是AD的中点，
∴S△AEB＝S△DEB，S△AEC＝S△DEC，
∵点D是BC的中点，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S△AEB＝S△DEB＝S△AEC＝S△DEC，
∵△ABC的面积为64，
∴S△AEB＝S△DEB＝S△AEC＝S△DEC＝16，
∴S△BEC＝S△DEB+S△DEC＝32，
∵点F是CE的中点，
∴，
故选：B．
【举一反三1】如图，已知点M是△ABC的边BC上一点，且BM＝2CM，线段AM与△ABC的中线BN交于点O，连接MN，若△ABC的面积为12，则△CMN的面积是（ ）
A.2 B.4 C.3 D.1.5
【答案】A
【解析】∵BN是△ABC的中线，△ABC的面积为12，
∴，
∵BM＝2CM，
∴，
故选：A．
【举一反三2】如图，△ABD与△ADC的面积相等，线段AD应该是△ABC的（ ）
A.角平分线 B.中线 C.高线 D.不能确定
【答案】B
【解析】∵△ABD与△ADC的面积相等，
∴线段AD应该是△ABC的中线，
故选：B．
【举一反三3】如图，AD是△ABC的中线，点EF在AD上，且AE＝EF＝DF，连接BE、CF若S△ABC＝18，则阴影部分的面积为 ．
【答案】6
【解析】∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝18，
∴，
∵S△ABC＝18，
∴S△ABD＝S△ADC＝9，
∵AE＝EF＝DF，
∴，，
∴S阴影＝S△ABE+S△DCF＝3+3＝6，
故答案为：6．
【举一反三4】如图，在△AMH中，AN，ME，MF分别为△AMH，△AMN，△MHE的中线，且△AMH的面积为80cm2．
（1）求△AME与△AHE的面积和．
（2）求△MEF的面积．
【答案】解 （1）∵在△AMH中，AN，ME分别为△AMH，△AMN的中线，△AMH的面积为80cm2．
∴S△AMES△AMNS△AMH＝20cm2，S△AHES△AHNS△AMH＝20cm2，
∴S△AHE+S△AME＝40cm2．
（2）∵MF为△MHE的中线，S△MHE＝S△AMH﹣（S△AHE+S△AME）＝40cm2，
∴S△MEFS△MEH＝20cm2．
【题型9】结合三角形的角平分线、高线、中线求角
【典型例题】如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【答案】A
【解析】在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC80°＝40°．
∵BD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝40°﹣30°＝10°．
故选：A．
【举一反三1】如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC，交AC于点F．已知∠AFE＝64°，则∠FEC的度数为（ ）
A.64° B.32° C.36° D.26°
【答案】B
【解析】∵EF∥BC，∠AFE＝64°，
∴∠ABC＝∠AFE＝64°，∠EFC=180°-∠AFE=116°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ECF∠ACB64°＝32°，
∴∠FEC＝180°-∠EFC﹣∠ECF＝180°-116°﹣32°＝32°．
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（ ）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【答案】B
【解析】∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°，
Rt△ABD中，∠B＝180°-90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°．
故选：B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝40°，∠2＝25°，则∠B的度数为（ ）
A.25° B.35° C.45° D.55°
【答案】B
【解析】∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝40°﹣25°＝15°，
Rt△ABD中，∠B＝180°-90°﹣∠BAD＝90°﹣40°﹣15°＝35°．
故选：B．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，BD是△ABC的高线，BE是△ABC的角平分线，则∠DBE的度数是（ ）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【答案】A
【解析】在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE∠ABC80°＝40°．
∵BD是△ABC的高线，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝40°﹣30°＝10°．
故选：A．
【举一反三5】如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，且∠B＝30°，∠C＝40°，求∠EAF的度数．
【答案】解 ∵∠B＝30°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∵AF是△ABC的高，即∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠C＝50°，
∴∠EAF＝∠CAE﹣∠CAF＝5°．
【举一反三6】如图，BD是△ABC的角平分线，BE是△ABC的AC边上的中线．
（1）若△ABE的周长为13，BE＝6，CE＝4，求AB的长．
（2）若∠A＝92°，∠CBD＝34°，求∠C的度数．
【答案】解 （1）∵BE是△ABC的AC边上的中线，
∴AE＝CE，
∵CE＝4，
∴AE＝4，
∵△ABE的周长为13，
∴AB+AE+BE＝13，
∴AB+BE＝9，
∵BE＝6，
∴AB＝3；
（2）∵BD是△ABC的角平分线，∠CBD＝34°，
∴∠CBA＝2∠CBD＝68°，
∵∠A＝92°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠CBA＝180°﹣92°﹣68°＝20°．
【题型10】画三角形的角平分线、高线、中线
【典型例题】下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据三角形高线的定义，只有D选项中的BE是边AC上的高．
故选：D．
【举一反三1】如图，以下是三角形的角平分线、中线、高的画法，其中错误的个数有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【解析】三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线，所以，BD不是角平分线；
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，所以，EQ不是中线；
从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高，所以，MK不是高．
所以，错误的个数有3个．
故选：D．
【举一反三2】如图，在△ABC中画出高线AF、中线AE、角平分线AD．再填空．
（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠ ＝∠ ∠ （角平分线的定义）．
（2）∵AE是△ABC的中线．
∴ ＝ （ ）．
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠ ＝90°（高线的定义）．
【答案】（1）BAD；DAC；BAC；（2）BE；EC；三角形中线的定义；（3）F
【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC∠BAC（角平分线的定义）；
（2）∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝EC（三角形中线的定义），
（3）∵AF是△ABC的高线．
∴∠F＝90°（高线的定义）．
故答案为：（1）BAD；DAC；BAC；
（2）BE；EC；三角形中线的定义；
（3）F．
【举一反三3】画△ABC中AB边上的高，如图的画法中正确的是 ．
【答案】③
【解析】根据三角形的高的定义，可知①②④都错误，只有③正确．
故答案为③．
【举一反三4】如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
（1）画出△ABC中边BC上的高AD；
（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；
（3）直接写出△ABE的面积为 ．
【答案】解 （1）如图所示，线段AD即为所求；
（2）如图所示，线段BE即为所求；
（3）S△ABCBC AD4×4＝8．
∴△ABE的面积S△ABC＝4，
故答案为：4．
【举一反三5】如图，已知△ABC．
（1）画△ABC的角平分线AD；
（2）过点D画△ABD的高DE，过点D画△ACD的高DF；
【答案】解 （1）△ABC的角平分线AD如图所示；
（2）△ABD的高DE，△ACD的高DF如图所示；
【题型11】结合三角形的角平分线、高线、中线求边
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（ ）
A.20 B.24 C.26 D.28
【答案】B
【解析】∵BD是AC边上的中线，
∴CD＝AD，
∵△ABD的周长为30，
∴AB+AD+BD＝30，
∴15+CD+BD＝30，
∴CD+BD＝15，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝15+9＝24，
故选：B．
【举一反三1】如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD＝5，CD＝9，则CE的长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】∵BD＝5，CD＝9，
∴BC＝BD+CD＝14，
∵AE是△ABC的中线，
∴CE＝BEBC＝7，
故选：C．
【举一反三2】如图，CM是△ABC的中线，BC＝8cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，则AC的长为（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【答案】C
【解析】∵CM为△ABC的AB边上的中线，
∴AM＝BM，
∵△BCM的周长比△ACM的周长大3cm，
∴（BC+BM+CM）﹣（AC+AM+CM）＝3cm，
∴BC﹣AC＝3cm，
∵BC＝8cm，
∴AC＝5cm，
故选：C．
【举一反三3】如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
【答案】23
【解析】∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm），
∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm，
∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）．
故答案为23．
【举一反三4】已知AD是△ABC的边BC上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大6，则AB与AC的差是 .
【答案】6
【解析】∵AD是△ABC的边BC上的中线，
∴BD＝CD，
∵△ABD的周长比△ACD的周长大6，
∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝6，
即AB﹣AC＝6，
故答案为：6．
【举一反三5】如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长．
【答案】解 设BC＝2x，则AC＝4x，
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD＝x，
由题意得：x+4x＝55，AB+x＝45，
解得：x＝11，AB＝34，
∴AC＝4x＝44，
∵AB+BC＞AC，
∴AC的长为44，AB的长为34，
答：AC的长为44，AB的长为34．
【举一反三6】如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．
（1）若DE＝4，求BC的长；
（2）若△ABC的周长为37，BC＝12，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．
【答案】解 （1）∵AE是△ACD 的中线，DE＝4，
∴DC＝2DE＝8，
∵AD是△ABC 的中线，
∴BC＝2DC＝16；
（2）∵AD是△ABC 的中线，
∴BD＝DC，
∵△ABD与△ACD 的周长差为3，
∴（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝3，
∴AB﹣AC＝3，
∵△ABC 的周长为37，BC＝12，
∴AB+AC＝37﹣12＝25，
∴AC+3+AC＝25，
∴AC＝11．
【题型12】已知两角或三角的数量关系求三角形内角
【典型例题】已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是（ ）三角形．
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不能确定
【答案】A
【解析】∵△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，
∴设三角的度数分别为：3x°4x°5x°，
∴3x+4x+5x＝180
解得：x＝15，
∴三个内角的度数分别为：45°60°75°，
∴此三角形为锐角三角形．
故选：A．
【举一反三1】△ABC中，若∠A+∠C＝2∠B，中间角为60°，则最大角为（ ）
A.60° B.90° C.120° D.无法确定
【答案】D
【解析】∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠C＝2∠B，
∴∠B+2∠B＝180°，
∠B＝60°，
∴∠A+∠C＝2×60°＝120°，
无法计算∠A、∠C的度数，
故选：D．
【举一反三2】在一个三角形中，三个内角之比为1：2：6，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
【答案】钝角
【解析】设三角形的内角为别为x，2x，6x，
x+2x+6x＝180°，
解得x＝20°，
∴2x＝40°，6x＝120°，
∴这个三角形的最大的内角的度数是120°，是钝角三角形．
故答案为：钝角．
【举一反三3】若三角形三个内角度数的比为2：3：4，则其最大的内角是 度．
【答案】80
【解析】设三角形的三个内角分别为2x、3x、4x，
根据题意得：2x+3x+4x＝180°，
解得：x＝20°，
∴4x＝4×20°＝80°．
故答案为：80．
【举一反三4】在△ABC中，∠A＝100°，∠C比∠B大20°，求∠B、∠C的度数．
【答案】解 ∵∠C比∠B大20°，
∴∠C＝∠B+20°，
根据三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠C＝180°，
∴100°+∠B+∠B+20°＝180°，
解得：∠B＝30°，
∠C＝30°+20°＝50°．
【题型13】三角形的分类
【典型例题】将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（ ）
A.都是锐角三角形
B.都是直角三角形
C.都是钝角三角形
D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形
【答案】A
【解析】如图，沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形．
如图，钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形．
如图，锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形．
因为剪开的边上的两个角是邻补角，不可能都是锐角，故这两个三角形不可能都是锐角三角形．
综上所述，将一个三角形剪成两三角形，这两个三角形不可能都是锐角三角形．
故选：A．
【举一反三1】在△ABC中，如果∠B﹣2∠C＝90°﹣∠C，那么△ABC是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
【答案】B
【解析】由∠B﹣2∠C＝90°﹣∠C可得：∠B＝∠C+90°＞90°，
所以三角形是钝角三角形；
故选：B．
【举一反三2】根据下列三角形中角的特征，写出三角形的名称．
【答案】钝角三角形；直角三角形；锐角三角形
【解析】第1个三角形中有一个角比90°大，满足钝角三角形的定义．
第2个三角形中有两条边互相垂直，符合直角三角形的特征．
第3个三角形中三个角都比90°小，满足钝锐角三角形的定义．
故答案为：钝角三角形；直角三角形；锐角三角形．
【举一反三3】根据下列所给条件，判断△ABC的形状．
（1）∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；
（2）∠C＝120°；
（3）∠C＝90°；
（4）AB＝BC＝4，AC＝5．
【答案】解 （1）∵∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°，
∴∠A＜90°，∠B＜90°，∠C＜90°，
∴△ABC为锐角三角形；
（2）∵∠C＝120°＞90°，
∴△ABC为钝角三角形；
（3）∠C＝90°；
∴△ABC为直角三角形；
（4）AB＝BC，
∴△ABC为等腰三角形．
【题型14】识别三角形的高线
【典型例题】如图，在△ABC中，边AB上的高是（ ）
A.AF B.BE C.CE D.BD
【答案】C
【解析】△ABC中，过点C作边AB的垂线，与直线AB相交，点C与交点之间的线段是边AB上的高，
由图可知：CE是边AB上的高，
故答案选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，BC边上的高为（ ）
A.线段AE B.线段BF C.线段AD D.线段CF
【答案】A
【解析】△ABC中，BC边上的高是线段AE．
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，关于高的说法正确的是（ ）
A.线段AD是AB边上的高 B.线段BE是AC边上的高 C.线段CF是AC边上的高 D.线段CF是BC边上的高
【答案】B
【解析】∵AD⊥BC于点D，
∴△ABC中，AD是BC边上的高，故A不符合题意，
∵BE⊥AC，线段BE是AC边上的高，B选项符合题意；
∵CF⊥AB于点F，
∴CF是AB边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三3】如图，∠D＝∠E＝∠FAC＝90°，则线段 是△ABC中AC边上的高．
【答案】BD
【解析】∵∠D＝90°，
∴BD⊥CD，
∴△ABC中AC边上的高是线段BD．
故答案为：BD．
【举一反三4】如图，AE⊥BC于点E，以AE为高的三角形有哪些？
【答案】解 以AE为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC共六个．
【举一反三5】如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O．
（1）写出△ACO各边上的高．
（2）BF是哪些三角形中哪条边上的高？
（3）若AB＝12，CF＝10，AD＝9，求BC的长．
【答案】解 （1）由图可得，在△AOC中，OA边上的高是CD，OC边上的高是AF，AC边上的高是OE；
（2）BF是△BOC的边OC上的高，△BCF的边CF上的高；
（3）∵S△ABCAB CFBC AD，AB＝12，CF＝10，AD＝9，
∴12×10＝9BC，
∴BC．
【题型15】已知两角求第三角的大小
【典型例题】已知△ABC中，∠A＝50°，∠B＝20°，则△ABC的形状为（ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形
【答案】A
【解析】∵∠C＝180﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣20°＝110°，
∴△ABC是钝角三角形．
故选：A．
【举一反三1】三角板是重要的作图工具，可以帮助我们作出各种不同的几何图形，如图是由同一副三角板拼凑得到的，请问∠EAB的角度为（ ）
A.50° B.60° C.75° D.85°
【答案】C
【解析】由题意得，∠B＝45°，∠AEB＝60°，
在△ABE中，∠B+∠EAB+∠AEB＝180°，
∴∠EAB＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：C．
【举一反三2】如图是一个缺损的三角形纸片，小鹿测得∠A＝48°，∠B＝68°，则这个三角形缺损的顶角∠C的度数为（ ）
A.60° B.64° C.74° D.80°
【答案】B
【解析】∵∠A＝48°，∠B＝68°，
∴∠C＝180°﹣48°﹣68°＝64°，
故选：B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝65°，则∠C＝ 度．
【答案】75
【解析】∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，
又∵∠A＝40°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣40°﹣65°＝75°；
故答案为：75．
【举一反三4】△ABC中，∠A＝70°，∠B＝∠C，求∠C度数．
【答案】解 ∵∠B＝∠C，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣2∠C＝70°，
即2∠C＝180°﹣70°＝110°，
解得∠C＝55°．
【举一反三5】一块三角形的材料被折断了一个角，余下的形状如图，请根据所剩的材料如何推算处所缺角的度数．（写出必要的文字说明及画出相应的图形）
【答案】解 补全三角形ABC，如图，
先测出∠A和∠B的度数，然后利用∠C＝180°﹣∠A﹣∠B可推算出∠C的度数．
【题型16】三角形面积的计算与等面积法
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（ ）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】∵AB＝8，BC＝6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，
∴AB CEBC AD，
∴8CE6AD，
∴．
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝12，AC＝5，BC＝13，BC边上的高AD长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵∠CAB＝90°，AD是BC边上的高，
∴，
∵AB＝12，AC＝5，BC＝13，
∴12×5＝13AD，
解得AD，
故选：D．
【举一反三2】如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，若AE＝5，DE＝3，CD，则AB＝ ．
【答案】3
【解析】∵AB⊥BD，AC⊥CD，
∴AB是△ADE的边DE上的高，CD是边AE上的高，
∴S△AEDDE ABAE CD，
∴DE AB＝AE CD，
∵AE＝5，DE＝3，CD，
∴3AB＝5，
∴AB＝3，
故答案为：3．
【举一反三3】如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长．
【答案】解 ∵AD，BE分别是△ABC的高，
∴S△ABC，
∴BC AD＝AC BE，
∵AC＝5，BC＝12，BE＝9，
∴12AD＝5×9，
∴AD．
【题型17】等腰三角形中的三边关系
【典型例题】已知△ABC的三边长分别为1、5、x，周长为整数，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【答案】B
【解析】∵三角形的三边长分别为1，x，5，
∴第三边的取值范围为：4＜x＜6，
∵周长为整数，
∴x＝5，
∴△ABC的三边长分别为1、5、5，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
故选：B．
【举一反三1】小颖要制作一个等腰三角形木架，现有两根长度为3m和6m的木棒，则小颖选的木棒是（ ）
A.3m B.6m C.4m D.8m
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即6﹣3＝3；而小于两边之和，即6+3＝9．
因为三角形是等腰三角形，
所以所给答案中，只有6m符合条件．
故选：B．
【举一反三2】已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（ ）
A.3 B.10 C.6.5 D.3或6.5
【答案】C
【解析】（1）当3是腰长时，底边为16﹣3×2＝10，
此时3+3＝6＜10，不能组成三角形；
（2）当3是底边时，腰长为（16﹣3）＝6.5，
此时3，6.5，6.5三边能够组成三角形．
所以腰长为6.5．
故选：C．
【举一反三3】等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长等于 ．
【答案】15
【解析】当3为腰，6为底时，3+3＝6，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，3+6＞6，能构成等腰三角形，周长为3+6+6＝15．
故答案为：15．
【举一反三4】如果一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个等腰三角形的周长．
【答案】解 ①当腰长为4时，4、4、9，4+4＜9，不能够组成三角形；
②当腰长为9时，4、9、9，能够组成三角形，此时周长＝4+9+9＝22．
答：这个等腰三角形的周长是22．
