1.4全等三角形
【知识点1】全等图形 1
【知识点2】全等三角形的性质 1
【题型1】利用全等三角形的性质求角 2
【题型2】利用全等三角形的性质求边 3
【题型3】全等图形的概念和性质 4
【题型4】全等三角形的表示方法 4
【题型5】判断图形是否全等 5
【题型6】利用全等三角形的性质求其它 6
【知识点1】全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
【知识点2】全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
【题型1】利用全等三角形的性质求角
【典型例题】如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠BAE的度数是（ ）
A.40° B.68° C.65° D.60°
【举一反三1】如图，已知△ABC≌△BDE，∠ABC＝∠ACB＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A.25° B.30° C.35° D.40°
【举一反三2】如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，则∠CEB＝（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【举一反三3】如图，△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，∠AOC＝145°，则∠COD＝ ．
【举一反三4】如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝ °．
【举一反三5】如图，已知△ABC≌△EFC，AC⊥BE，∠AFE＝115°，求∠A的度数．
【题型2】利用全等三角形的性质求边
【典型例题】在△ABC中，BC＝6，AC＝8，△DEF≌△ABC且FE和AC在同一直线上，如图，若FC＝3，则AE＝（ ）
A.9 B.11 C.12 D.14
【举一反三1】如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A.12 B.7 C.2 D.14
【举一反三2】如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则CE的长为 ．
【举一反三3】如图所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．
（1）求证：AC∥DF．
（2）求AB的长．
【题型3】全等图形的概念和性质
【典型例题】下列选项中表示两个全等的图形的是（ ）
A.形状相同的两个图形 B.周长相等的两个图形 C.面积相等的两个图形 D.能够完全重合的两个图形
【举一反三1】有下列说法，其中正确的有（ ）
①两个等边三角形一定能完全重合；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个等腰三角形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】下列各组中的两个图形为全等形的是（ ）
A.两块三角尺 B.两枚硬币 C.两张A4纸 D.两片枫树叶
【举一反三3】如果两个图形全等，那么它们的周长 相等．（填“一定”或“不一定”）
【举一反三4】如图所示的两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出图形中标出的a，b，c，α，β的值．
【题型4】全等三角形的表示方法
【典型例题】如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是 ，表示这两个三角形全等的式子是 ．
【举一反三1】如图所示，已知图中的两个三角形全等，∠BAC与∠DCA是对应角，BA、DC是对应边．写出：
（1）表示这两个三角形全等的式子： ；
（2）对应相等的边： ；
（3）对应相等的角： ．
【举一反三2】如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M．
（1）用全等符号表示这两个三角形全等；
（2）写出对应边及对应角．
【举一反三3】如图，△AOC与△BOD全等，用符号“≌”表示这两个三角形全等，已知∠A与∠B是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．
【题型5】判断图形是否全等
【典型例题】下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列图形中，属于全等图形的一对是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图（1）～（12）中全等的图形是 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ；（填图形的序号）
【举一反三3】下列图形中全等图形是 （填标号）．
【举一反三4】观察下列图形，从中找出全等图形（用序号表示）．
【题型6】利用全等三角形的性质求其它
【典型例题】一个三角形的三边长分别为2，5，x，另一个三角形的三边长分别为y，2，6，若这两个三角形全等，则x+y＝（ ）
A.11 B.7 C.8 D.13
【举一反三1】三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A.160° B.180° C.200° D.240°
【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，DC＝2，则△ABC的面积为 ．
【举一反三3】如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段 ．
【举一反三4】如图所示，已知△ACE≌△DBF，AD＝10，BC＝3．
（1）求AC的长．
（2）CE与BF平行吗？说明理由．
【举一反三5】如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC，BF交于点E．
（1）求∠FAC的度数；
（2）AF与DC平行吗？为什么？1.4全等三角形
【知识点1】全等图形 1
【知识点2】全等三角形的性质 1
【题型1】利用全等三角形的性质求角 2
【题型2】利用全等三角形的性质求边 4
【题型3】全等图形的概念和性质 6
【题型4】全等三角形的表示方法 8
【题型5】判断图形是否全等 9
【题型6】利用全等三角形的性质求其它 11
【知识点1】全等图形
（1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
【知识点2】全等三角形的性质
（1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
【题型1】利用全等三角形的性质求角
【典型例题】如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠BAE的度数是（ ）
A.40° B.68° C.65° D.60°
【答案】A
【解析】∵△ABC≌△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC-∠EAC＝∠EAD-∠EAC，
∴∠BAE=∠1=40°
故选：A．
【举一反三1】如图，已知△ABC≌△BDE，∠ABC＝∠ACB＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A.25° B.30° C.35° D.40°
【答案】B
【解析】∵∠ABC＝∠ACB＝70
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵△ABC≌△BDE，
∴∠DBE＝∠A＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBE＝70°﹣40°＝30°．
故选：B．
【举一反三2】如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，则∠CEB＝（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】C
【解析】∵∠A＝30°，∠C＝80°，
∴∠ADC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵△CAD≌△CBE，
∴∠CEB＝∠CDA＝70°；
故选：C．
【举一反三3】如图，△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，∠AOC＝145°，则∠COD＝ ．
【答案】45°
【解析】∵△AOD≌△BOC，∠A＝30°，∠C＝50°，
∴∠D＝∠C＝50°，
∵∠A＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣30°﹣50°＝100°，
∵∠AOC＝145°，
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝145°﹣100°＝45°，
故答案为：45°．
【举一反三4】如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝ °．
【答案】50
【解析】∵△ABD≌△ACE，∠ADB＝95°，
∴∠AEC＝∠ADB＝95°，
∵∠AEC＝∠1+∠B，∠1＝45°，
∴∠B＝50°，
故答案为：50．
【举一反三5】如图，已知△ABC≌△EFC，AC⊥BE，∠AFE＝115°，求∠A的度数．
【答案】解 ∵△ABC≌△EFC，
∴∠E＝∠A，∠B＝∠CFE，
∵∠AFE＝115°，
∴∠CFE＝180°﹣115°＝65°．
∵AC⊥BE，
∴∠E＝180°﹣90°﹣65°＝25°．
∴∠A＝25°．
【题型2】利用全等三角形的性质求边
【典型例题】在△ABC中，BC＝6，AC＝8，△DEF≌△ABC且FE和AC在同一直线上，如图，若FC＝3，则AE＝（ ）
A.9 B.11 C.12 D.14
【答案】B
【解析】∵BC＝6，AC＝8，△DEF≌△ABC，
∴EF＝BC＝6
∵FE和AC在同一直线上，FC＝3，
∴AE＝AC+EF﹣CF＝8+6﹣3＝11，
故选：B．
【举一反三1】如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A.12 B.7 C.2 D.14
【答案】A
【解析】∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，CB＝CE，
∵CE＝5，AC＝7，
∴CB＝5，DC＝7，
∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．
故选：A．
【举一反三2】如图，点B、E在CF上，且△ABC≌△DEF．若CF＝8，BE＝4，则CE的长为 ．
【答案】2．
【解析】∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣BE＝EF﹣BE，
即：BF＝EC，
∵CF＝8，BE＝4，
∴CE2，
故答案为：2．
【举一反三3】如图所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．
（1）求证：AC∥DF．
（2）求AB的长．
【答案】（1）证明 ∵△ABC≌△FED，
∴∠A＝∠F．
∴AC∥DF．
（2）解 ∵△ABC≌△FED，
∴AB＝EF．
∴AB﹣EB＝EF﹣EB．
∴AE＝BF．
∵AF＝8，BE＝2，
∴AE+BF＝8﹣2＝6，
∴AE＝3，
∴AB＝AE+BE＝3+2＝5．
【题型3】全等图形的概念和性质
【典型例题】下列选项中表示两个全等的图形的是（ ）
A.形状相同的两个图形 B.周长相等的两个图形 C.面积相等的两个图形 D.能够完全重合的两个图形
【答案】D
【解析】A．形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意；
B．周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意；
C．面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误，不符合题意；
D．能够完全重合的两个图形是全等图形，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【举一反三1】有下列说法，其中正确的有（ ）
①两个等边三角形一定能完全重合；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；
③两个等腰三角形一定是全等图形；
④面积相等的两个图形一定是全等图形．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】A
【解析】①两个等边三角形不一定能完全重合，故此选项不合题意；
②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；
③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；
④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【举一反三2】下列各组中的两个图形为全等形的是（ ）
A.两块三角尺 B.两枚硬币 C.两张A4纸 D.两片枫树叶
【答案】C
【解析】A．两块三角尺不一定是全等形，故此选项不合题意；
B．两枚硬币不一定是全等形，故此选项不合题意；
C．两张A4纸是全等形，故此选项符合题意；
D．两片枫树叶不一定是全等形，故此选项不合题意；
故选：C．
【举一反三3】如果两个图形全等，那么它们的周长 相等．（填“一定”或“不一定”）
【答案】一定
【解析】∵全等图形能够完全重合，
∴它们的周长一定相等；
故答案为：一定．
【举一反三4】如图所示的两个图形是全等图形，试根据所给的条件，求出图形中标出的a，b，c，α，β的值．
【答案】解 ∵两个图形是全等图形，
∴a＝3，c＝6，b＝4，
α＝105°，β＝360°﹣90°﹣120°﹣105°＝45°．
【题型4】全等三角形的表示方法
【典型例题】如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是 ，表示这两个三角形全等的式子是 ．
【答案】点A和点F；△ABC≌△DEF
【解析】如图所示：∵△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，
∴则另一组对应点是点A和点F，△ABC≌△DEF，
故答案为：点A和点F；△ABC≌△DEF．
【举一反三1】如图所示，已知图中的两个三角形全等，∠BAC与∠DCA是对应角，BA、DC是对应边．写出：
（1）表示这两个三角形全等的式子： ；
（2）对应相等的边： ；
（3）对应相等的角： ．
【答案】（1）△ABC≌△CDA；
（2）AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA；
（3）∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，∠ACB＝∠CAD
【解析】（1）表示这两个三角形全等的式子：△ABC≌△CDA；
（2）对应相等的边：AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA；
（3）对应相等的角：∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，∠ACB＝∠CAD；
故答案为：（1）△ABC≌△CDA；（2）AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA；（3）∠BAC＝∠DCA，∠B＝∠D，∠ACB＝∠CAD．
【举一反三2】如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M．
（1）用全等符号表示这两个三角形全等；
（2）写出对应边及对应角．
【答案】解（1）∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，
∴△ABF≌△DCE，
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴对应边：AB＝DC，AF＝DE，BF＝CE，
对应角：∠A＝∠D，∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC．
【举一反三3】如图，△AOC与△BOD全等，用符号“≌”表示这两个三角形全等，已知∠A与∠B是对应角，写出其余的对应角和各对对应边．
【答案】解 △AOC≌△BOD，
其余的对应角是∠AOC＝∠BOD，∠ACO＝∠BDO，
对应边是OA＝OB，OD＝OC，AC＝BD．
【题型5】判断图形是否全等
【典型例题】下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．组成图形的四个圆形全等，故本选项不符合题意；
B．组成图形的三个图形不全等，故本选项符合题意；
C．组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意；
D．组成图形的三个图形全等，故本选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】下列图形中，属于全等图形的一对是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选项B中的两个图形的形状一样，大小相等，
∴该选项中的两个图形是全等形，
故选项B符合题意；
选项C中的两个图形形状一样，但大小不相等，
选项A，D中的两个图形不是全等形，
故选项A，C，D不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】如图（1）～（12）中全等的图形是 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ；（填图形的序号）
【答案】（1）和（11）；（2）和（10）；（3）和（6）；（4）和（7）；（5）和（8）；（9）和（12）
【举一反三3】下列图形中全等图形是 （填标号）．
【答案】⑤和⑦
【解析】由全等形的概念可知：共有1对图形全等，即⑤和⑦能够重合．
故答案为：⑤和⑦．
【举一反三4】观察下列图形，从中找出全等图形（用序号表示）．
【答案】解 根据全等图形的定义可知：②与⑨，③与⑩，⑥与⑧是全等图形．
【题型6】利用全等三角形的性质求其它
【典型例题】一个三角形的三边长分别为2，5，x，另一个三角形的三边长分别为y，2，6，若这两个三角形全等，则x+y＝（ ）
A.11 B.7 C.8 D.13
【答案】A
【举一反三1】三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A.160° B.180° C.200° D.240°
【答案】B
【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD，BE交于点F，△ADC≌△BDF，若BD＝4，DC＝2，则△ABC的面积为 ．
【答案】12
【举一反三3】如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段 ．
【答案】AB∥FE，答案不唯一
【举一反三4】如图所示，已知△ACE≌△DBF，AD＝10，BC＝3．
（1）求AC的长．
（2）CE与BF平行吗？说明理由．
【答案】解 （1）∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
∴AB+BC＝DC+BC，
∴AB＝DC，
∵AD＝10，BC＝3，
∴AB+3+DC＝10，
∴2AB＝7，
∴，
∴．
（2）平行，理由如下：
∵△ACE≌△DBF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∴CE∥BF．
【举一反三5】如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC，BF交于点E．
（1）求∠FAC的度数；
（2）AF与DC平行吗？为什么？
【答案】解 （1）∵△ADC≌△AFB，
∴∠DAC＝∠FAB．
∴∠DAC﹣∠BAC＝∠FAB﹣∠BAC．
∴∠FAC＝∠DAB＝20°；
（2）∵DA∥BF，
∴∠DAF+∠F＝180°．
∵△ADC≌△AFB，
∴∠D＝∠F．
∴∠DAF+∠D＝180°．
∴AF∥DC．
