1.5三角形全等的判定
【知识点1】全等三角形的判定 1
【知识点2】三角形的稳定性 1
【知识点3】作图—基本作图 2
【题型1】三角形的稳定性 2
【题型2】用ASA证明边或角相等 3
【题型3】全等三角形的实际应用 4
【题型4】用SSS判定三角形全等 6
【题型5】用ASA判定三角形全等 7
【题型6】用SAS判定三角形全等 9
【题型7】动点问题中的全等 11
【题型8】用AAS判定三角形全等 12
【题型9】用SAS证明边或角相等 13
【题型10】用AAS证明边或角相等 14
【题型11】作一个角等于已知角 16
【题型12】用SSS证明边或角相等 17
【知识点1】全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【知识点2】三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
【知识点3】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
【题型1】三角形的稳定性
【典型例题】如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（ ）
A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.同角的余角相等 D.三角形具有稳定性
【举一反三1】我国建造的海亚湾大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A.三角形的不稳定 B.测大桥中的稳定性 C.四边形的不稳定性 D.四边形的稳定性
【举一反三2】自行车的车架做成三角形，利用的原理是 ．
【举一反三3】小明用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上4根木条，请在图中画出你的三种作法．
【题型2】用ASA证明边或角相等
【典型例题】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为（ ）
A.3.5 B.2 C.2.5 D.3
【举一反三1】泰勒斯（Thales，约公元前625～前547年）是古希腊科学家、哲学家，如下是他利用自己发现的数学原理求出岸上一点到海中一艘船的距离的方法．如图，A是观察点，船P在A的正前方，过点A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点．观测者从点B沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在一条直线上，那么BK的距离即为船离岸AP的距离．他的判定依据是（ ）
A.ASA B.SSS C.SAS D.HL
【举一反三2】如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.5cm2
【举一反三3】如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是 ．
【举一反三4】已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE．
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE．
（1）证明：△ABD≌△ECB；
（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
【题型3】全等三角形的实际应用
【典型例题】如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三1】如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A.BE B.AE C.DE D.DP
【举一反三2】为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 海里/小时．
【举一反三3】阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．
（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是 米．
②请你说明小明方案正确的理由．
【举一反三4】如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．
【题型4】用SSS判定三角形全等
【典型例题】如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，则△ABD≌△ACD的依据是（ ）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
【举一反三1】如图，在△ABC和△ABD中，AC＝BD，AD＝BC，则能说明△ABC≌△BAD的依据是（ ）
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
【举一反三2】如图：AB＝DE，AC＝DF，要用“SSS”证明△ABC≌△DEF，则需要添加条件为： ．
【举一反三3】如图，已知AC＝DB，如果要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，则应增加的条件是 ．
【举一反三4】如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
【题型5】用ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三1】如图，AD和BC相交于O点，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加（ ）
A.AB＝CD B.∠A＝∠C C.OB＝OD D.∠AOB＝∠COD
【举一反三2】在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B'，AB＝A'B'，那么△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是（ ）
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
【举一反三3】如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D，请你添一个直接条件，并且利用ASA证明△AFC≌△DEB．则添加的条件是 ＝ ．
【举一反三4】如图，已知∠1＝∠2，要根据ASA，判定△ABC≌△ACD，则需要添加的条件是 ．
【举一反三5】已知，如图，在△ABC中，点D为线段BC上一点，BD＝AC，过点D作DE∥AC且∠DBE＝∠A，求证：△EBD≌△BAC．
【举一反三6】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BF平分∠ABC交CD、AC于E、F两点，CG⊥CD交BF于点G．求证：△BCF≌△GCE．
【题型6】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ ）
A.AB＝DC B.OB＝OC C.∠A＝∠D D.∠AOB＝∠DOC
【举一反三1】如图，AB与CD相交于点E，EA＝EC，DE＝BE，若使△AED≌△CEB，则（ ）
A.应补充条件∠A＝∠C B.应补充条件∠B＝∠D C.不用补充条件 D.以上说法都不正确
【举一反三2】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ）
A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【举一反三3】如图，根据“SAS”，如果BD＝CE， ＝ ，那么即可判定△BDC≌△CEB．
【举一反三4】如图，BE＝CD，若不添加辅助线并利用“SAS”判定△ACE≌△ABD，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可）
【举一反三5】如图，在三角形ABC中，∠ACB＞∠ABC，利用尺规在∠ACB的内部作∠ACD，使得∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D．（不写作法，但保留作图痕迹）
【题型7】动点问题中的全等
【典型例题】如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒．
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t＝ 时，△APD和△QBE全等．
【举一反三2】如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【举一反三3】如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．
【题型8】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
A.SSS B.SAS C.SSA D.AAS
【举一反三1】如图，加条件能满足AAS来判断△ACD≌△ABE的条件是（ ）
A.∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D B.∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C.AC＝AB，AD＝AE D.AC＝AB，∠C＝∠B
【举一反三2】如图，用∠B＝∠D，∠1＝∠2直接判定△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A.AAS B.SSS C.ASA D.SAS
【举一反三3】如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC≌△DCB，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
【举一反三4】如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
【题型9】用SAS证明边或角相等
【典型例题】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（ ）
A.3＜AC＜17 B.3＜AC＜15 C.1＜AC＜6 D.2＜AC＜12
【举一反三1】如图点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AD＝EC，AE＝10，AC＝7，则CD的长为（ ）
A.3 B.4.5 C.4 D.5.5
【举一反三2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC＝ ．
【举一反三3】如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE，求证：AE＝DF．
【题型10】用AAS证明边或角相等
【典型例题】如图，∠1＝∠2，∠C＝∠B，结论中不正确的是（ ）
A.△DAB≌△DAC B.△DEA≌△DFA C.CD＝DE D.∠AED＝∠AFD
【举一反三1】如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝12，BF＝9，EF＝6，则AD的长为（ ）
A.9 B.15 C.18 D.21
【举一反三2】如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A.30 B.50 C.60 D.80
【举一反三3】如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE＝CF，若BD＝10，BF＝3.5，则EF＝ ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是 ．
【举一反三5】如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，AB∥DE，AB＝DE，∠ACB＝∠F，求证：BE＝CF．
【举一反三6】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．
【题型11】作一个角等于已知角
【典型例题】如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得△COD≌△C′O′D′，故∠A′O′B′＝∠AOB．其中说明△COD≌△C′O′D′的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【举一反三1】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ）
A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【举一反三2】如图，用尺规作一个角等于已知角时，以O′为圆心，以线段 的长度为半径画弧．
【举一反三3】如图，在∠DAC中，B是AC边上一点．以B为顶点，BC为一边，利用尺规作图作∠EBC，使∠EBC＝∠A（保留作图痕迹，不写作法）．
【举一反三4】作一个角等于已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
请你根据提供的材料完成下列问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是 ．
（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
【题型12】用SSS证明边或角相等
【典型例题】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A.∠EDB B.∠BED C.2∠ABF D.∠AFB
【举一反三1】如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（ ）
A.15° B.20° C.25° D.30°
【举一反三2】如图，在纸板上先任意画一个△ABC，再画一个△DEF，使AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，将△DEF剪下来，放到△ABC上，它们完全重合吗？（ ）
A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断
【举一反三3】如图所示，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD＝ °．
【举一反三4】已知：如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：AB∥CD．
【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC．
【举一反三6】如图，在△ABD与△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．求证：∠B＝∠C．1.5三角形全等的判定
【知识点1】全等三角形的判定 1
【知识点2】三角形的稳定性 2
【知识点3】作图—基本作图 2
【题型1】三角形的稳定性 2
【题型2】用ASA证明边或角相等 3
【题型3】全等三角形的实际应用 8
【题型4】用SSS判定三角形全等 13
【题型5】用ASA判定三角形全等 15
【题型6】用SAS判定三角形全等 18
【题型7】动点问题中的全等 21
【题型8】用AAS判定三角形全等 25
【题型9】用SAS证明边或角相等 27
【题型10】用AAS证明边或角相等 30
【题型11】作一个角等于已知角 35
【题型12】用SSS证明边或角相等 38
【知识点1】全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【知识点2】三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
【知识点3】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
【题型1】三角形的稳定性
【典型例题】如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是（ ）
A.两点确定一条直线 B.两点之间，线段最短 C.同角的余角相等 D.三角形具有稳定性
【答案】D
【解析】工人师傅在确门时，通常用木条BD固定长方形门纸ABCD，使其不变形，这样做的数学根据是三角形具有稳定性．
故选：D．
【举一反三1】我国建造的海亚湾大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A.三角形的不稳定 B.测大桥中的稳定性 C.四边形的不稳定性 D.四边形的稳定性
【答案】B
【解析】可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．
故选：B．
【举一反三2】自行车的车架做成三角形，利用的原理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【解析】根据题意可得，自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【举一反三3】小明用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上4根木条，请在图中画出你的三种作法．
【答案】解 如图所示：
【题型2】用ASA证明边或角相等
【典型例题】如图，点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，∠B＝∠F，AE＝10，AC＝6，则CD的长为（ ）
A.3.5 B.2 C.2.5 D.3
【答案】B
【解析】∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（ASA），
∴AC＝DE，
∵AE＝10，AC＝DE＝6，
∴CD＝AC+DE﹣AE＝2，
故选：B．
【举一反三1】泰勒斯（Thales，约公元前625～前547年）是古希腊科学家、哲学家，如下是他利用自己发现的数学原理求出岸上一点到海中一艘船的距离的方法．如图，A是观察点，船P在A的正前方，过点A作AP的垂线l，在垂线l上截取任意长AB，O是AB的中点．观测者从点B沿垂直于AB的BK方向走，直到点K、船P和点O在一条直线上，那么BK的距离即为船离岸AP的距离．他的判定依据是（ ）
A.ASA B.SSS C.SAS D.HL
【答案】A
【解析】∵O是AB的中点，
∴OA＝OB，
∵PA⊥AB，KB⊥AB，
∴∠PAO＝∠KBO＝90°，
在△AOP和△BOK中，
，
∴△AOP≌△BOK（ASA），
∴BK＝AP，
故选：A．
【举一反三2】如图，△ABC的面积为12cm2，AP垂直于∠ABC的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）
A.9cm2 B.8cm2 C.6cm2 D.5cm2
【答案】C
【解析】延长AP交BC于点D，
∵BP平分∠ABD，
∴∠ABP＝∠DBP，
∵BP⊥AP，
∴∠BPA＝∠BPD＝90°，
∵BP＝BP，
∴△BAP≌△BDP（ASA），
∴AP＝PD，
∴△ABP的面积＝△BDP的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，
∵△ABC的面积为12cm2，
∴△PBC的面积＝△BPD的面积+△DCP的面积
△ABC的面积
12
＝6（cm2），
故选：C．
【举一反三3】如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是 ．
【答案】1
【解析】如图，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，
∵∠GOH＝∠EOF＝90°，
∴∠EOF﹣∠GOE＝∠GOH﹣∠GOE，即∠FOG＝∠EOH．
在△EOH和△FOG中，
，
∴△EOH≌△FOG（ASA），
∴S四边形GOHD＝S四边形OEDF＝1×1＝1，即两个正方形重叠部分的面积为1．
故答案为：1．
【举一反三4】已知：如图，在△ADF和△BCE中，点B，F，E，D依次在一条直线上，若AF∥CE，∠B＝∠D，BF＝DE，求证：AF＝CE．
【答案】证明 ∵AF∥CE
∴∠AFD＝∠CEB，
∵BF＝DE，
∴EF+BF＝DE+EF，即BE＝DF，
∵∠B＝∠D，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE．
【举一反三5】如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE．
（1）证明：△ABD≌△ECB；
（2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度．
【答案】（1）证明 ∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBC，
在△ABD和△ECB中，
，
∴△ABD≌△ECB（ASA）．
（2）解 △ABD≌△ECB，
∴DB＝BC＝15，AD＝EB＝6，
∴DE＝DB﹣EB＝15﹣6＝9，
∴DE的长度是9．
【题型3】全等三角形的实际应用
【典型例题】如图，小筧家里有一块三角形玻璃碎了，他带着残缺的玻璃去玻璃店配一块与原来相同的，请问师傅配出相同玻璃的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【答案】D
【解析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．
故选：D．
【举一反三1】如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC，AE＝AF．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A.BE B.AE C.DE D.DP
【答案】C
【解析】∵AP平分∠BAC．
∴∠EAD＝∠FAD，
在△ADE与△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴DF＝DE，
即所换长度应与DF的长度相等，
故选：C．
【举一反三2】为了捍卫国家主权，2022年中国人民海军多次在东海进行军事演习．在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且OA＝OB．接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进．指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E、F处，∠EOF＝70°，EF＝180海里，且甲与乙的速度比为2：3，则甲舰艇的速度为 海里/小时．
【答案】24
【解析】如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，延长CB到G，使BG＝AE，
由题意得，∠AON＝30°，
∴∠A＝60°，
∵∠OBC＝70°+50°＝120°，
∴∠OBG＝60°，
∴∠A＝∠OBG，
∵OA＝OB，
∴△AOE≌△BOG（SAS），
∴OE＝OG，∠AOE＝∠BOG，
∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，
∴∠EOG＝140°，
∵∠EOF＝70°，
∴∠EOF＝∠GOF，
∵OF＝OF，
∴△EOF≌△GOF（SAS），
∴EF＝GF＝BG+BF＝AE+BF＝180（海里），
设甲的速度为2x海里/小时，乙的速度为3x海里/小时，
∴AE＝3×2x＝6x海里，BF＝3×3x＝9x海里，
∴9x+6x＝15x＝180，
∴x＝12，
∴2x＝24，
答：甲的速度为24海里/小时，
故答案为：24．
【举一反三3】阅读并完成相应的任务．
如图，小明站在堤岸凉亭A点处，正对他的B点（AB与堤岸垂直）停有一艘游艇，他想知道凉亭与这艘游艇之间的距离，于是制定了如下方案．
（1）任务一：根据题意将测量方案示意图补充完整．
（2）任务二：①凉亭与游艇之间的距离是 米．
②请你说明小明方案正确的理由．
【答案】解 （1）任务一：将测量方案示意图补充完整如图所示．
（2）任务二：①由△ABC≌△DEC得AB＝DE＝8（米），
故答案为：8．
②理由：如图，
由题意可知，AC＝20米，CD＝20米，DE＝8米，∠A＝90°，∠D＝90°，
∴AC＝DC，∠A＝∠D，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AB＝DE＝8米，
∴小明的方案是正确的．
【举一反三4】如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC＝OA，OD＝OB，连接CD．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC＝OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，CE＝11m，EF＝10m，请直接写出池塘宽度AB．
【答案】（1）证明 在△ABO与△CDO中
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
（2）解 如图所示：
延长OF、CE交于点G，
∵∠CEF＝140°，∠OFE＝110°，
∴∠FEG＝40°，∠EFG＝70°，
∴∠G＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴EF＝EG，
∵CE＝11m，EF＝10m，
∴CG＝CE+EG＝CE+EF＝11+10＝21m，
∵CG∥AB，
∴∠A＝∠C，
在△ABO与△CGO中，
∴△ABO≌△CGO（ASA）
∴AB＝CG＝21m．
【题型4】用SSS判定三角形全等
【典型例题】如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，则△ABD≌△ACD的依据是（ ）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
【答案】D
【解析】在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC和△ABD中，AC＝BD，AD＝BC，则能说明△ABC≌△BAD的依据是（ ）
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
【答案】A
【解析】在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
故选：A．
【举一反三2】如图：AB＝DE，AC＝DF，要用“SSS”证明△ABC≌△DEF，则需要添加条件为： ．
【答案】BC＝EF
【解析】∵AB＝DE，AC＝DF，
∴利用“SSS”得到△ABC≌△DEF，还需BC＝EF，
故答案为：BC＝EF．
【举一反三3】如图，已知AC＝DB，如果要用“SSS”证明△ABC≌△DCB，则应增加的条件是 ．
【答案】AB＝DC
【解析】添加条件：AB＝DC；
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
【举一反三4】如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证：△ACD≌△CBE．
【答案】证明 ∵C是AB的中点，
∴AC＝BC，
∵AD＝CE，CD＝BE，
∴△ACD≌△CBE（SSS）．
【题型5】用ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【答案】D
【解析】根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
【举一反三1】如图，AD和BC相交于O点，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加（ ）
A.AB＝CD B.∠A＝∠C C.OB＝OD D.∠AOB＝∠COD
【答案】B
【解析】由题意可得：∠AOB＝∠COD，OA＝OC，
∴当∠A＝∠C时，可根据“ASA”可证△AOB≌△COD，
故选：B．
【举一反三2】在△ABC和△A'B'C'中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B'，AB＝A'B'，那么△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是（ ）
A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS
【答案】C
【解析】已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B'，AB＝A'B'，那么△ABC≌△A′B′C′运用的判定方法是ASA，
故选：C．
【举一反三3】如图，已知AC＝BD，∠A＝∠D，请你添一个直接条件，并且利用ASA证明△AFC≌△DEB．则添加的条件是 ＝ ．
【答案】∠ACF ∠DBE
【解析】∵AC＝BD，∠A＝∠D，∠ACF＝∠DBE
∴△AFC≌△DEB（ASA）．
故答案为：∠ACF、∠DBE．
【举一反三4】如图，已知∠1＝∠2，要根据ASA，判定△ABC≌△ACD，则需要添加的条件是 ．
【答案】∠BAD＝∠CAD．
【解析】∵∠1＝∠2，AD＝AD，
∴当添加∠BAD＝∠CAD时，△ABC≌△ACD（ASA）．
故答案为：∠BAD＝∠CAD
【举一反三5】已知，如图，在△ABC中，点D为线段BC上一点，BD＝AC，过点D作DE∥AC且∠DBE＝∠A，求证：△EBD≌△BAC．
【答案】证明 ∵DE∥AC，
∴∠C＝∠EDB，
在△EBD和△BAC中，
，
∴△EBD≌△BAC（ASA）．
【举一反三6】已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BF平分∠ABC交CD、AC于E、F两点，CG⊥CD交BF于点G．求证：△BCF≌△GCE．
【答案】证明 ∵BF平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG，
∵CD⊥AB，CG⊥CD，
∴AB∥CG，
∴∠G＝∠ABG，
∴∠G＝∠CBF，
∴BC＝CG，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＝∠GCE＝90°，
在△BCF和△GCE中，
，
∴△BCF≌△GCE（ASA）．
【题型6】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（ ）
A.AB＝DC B.OB＝OC C.∠A＝∠D D.∠AOB＝∠DOC
【答案】B
【解析】A．AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B．∵在△AOB和△DOC中
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C．两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D．根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
故选：B．
【举一反三1】如图，AB与CD相交于点E，EA＝EC，DE＝BE，若使△AED≌△CEB，则（ ）
A.应补充条件∠A＝∠C B.应补充条件∠B＝∠D C.不用补充条件 D.以上说法都不正确
【答案】C
【解析】在△AED与△CEB中，
∵，
∴△AED≌△CEB（SAS）．
∴不用补充条件即可证明△AED≌△CEB．
故选：C．
【举一反三2】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ）
A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【答案】C
【解析】作法：（1）作射线EG；
（2）以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作EF，∠DEF即为所求作的角．
∴内容错误的是“③”．
故选：C．
【举一反三3】如图，根据“SAS”，如果BD＝CE， ＝ ，那么即可判定△BDC≌△CEB．
【答案】∠DBC ∠ECB
【解析】在△BDC与△CEB中，
∴△BDC≌△CEB，
故答案为：∠DBC；∠ECB
【举一反三4】如图，BE＝CD，若不添加辅助线并利用“SAS”判定△ACE≌△ABD，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可）
【答案】AB＝AC
【解析】应用“SAS”判定△ACE≌△ABD，添加的条件是AB＝AC，理由如下：
∵BE＝CD，
∴AB+BE＝AC+CD，
∴AE＝AD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴应用“SAS”判定△ACE≌△ABD，添加的条件是AB＝AC．
【举一反三5】如图，在三角形ABC中，∠ACB＞∠ABC，利用尺规在∠ACB的内部作∠ACD，使得∠ACD＝∠ABC，射线CD交AB于点D．（不写作法，但保留作图痕迹）
【答案】解 如图所示，∠ACD即为所求．
【题型7】动点问题中的全等
【典型例题】如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒．
【答案】4
【解析】∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
又∵∠CAM＝90°，
∴∠CMA+∠C＝90°，
∴∠C＝∠DMB．
在Rt△ACM和Rt△BMD中，
，
∴Rt△ACM≌Rt△BMD（AAS），
∴BD＝AM＝12米，
∴BM＝20﹣12＝8（米），
∵该人的运动速度为2m/s，
∴他到达点M时，运动时间为8÷2＝4（s）．
故答案为4．
【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，当t＝ 时，△APD和△QBE全等．
【答案】2或4
【解析】①0≤t时，点P从C到A运动，则AP＝AC﹣CP＝8﹣3t，BQ＝t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP＝BQ，
即8﹣3t＝t，解得：t＝2，
②t时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，
当△ADP≌△QBE时，
则AP＝BQ，
即3t﹣8＝t，
解得：t＝4，
综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．
故答案为：2或4．
【举一反三2】如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解 （1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
，
解得
；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得
；
综上所述，存在，
或 ，
使得△ACP与△BPQ全等．
【举一反三3】如图，已知四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．
【答案】解 （1）△BPE与△CQP全等，理由如下：
当运动1秒后，则BP＝CQ＝3厘米，
∴PC＝BC﹣BP＝8﹣3＝5厘米，
∵E为AB中点，且AB＝10厘米，
∴BE＝5厘米，
∴BE＝PC，
在△BPE和△CQP中，
，
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）∵△BPE与△CQP全等，
∴△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，
当△BEP≌△CQP时，
则BP＝CP，CQ＝BE＝5厘米，
设P点运动的时间为t秒，
则3t＝8﹣3t，解得t，
∴Q点的运动的速度＝5（厘米/秒），
当△BEP≌△CPQ时，
由（1）可知t＝1（秒），
∴BP＝CQ＝3厘米，
∴Q点的运动的速度＝3÷1＝3（厘米/秒），
即当Q点每秒运动厘米或3厘米时△BEP≌△CQP．
【题型8】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，AP平分∠BAF，PD⊥AB于点D，PE⊥AF于点E，则△APD与△APE全等的理由是（ ）
A.SSS B.SAS C.SSA D.AAS
【答案】D
【解析】∵PD⊥AB，PE⊥AF，
∴∠PDA＝∠PEA＝90°，
∵AP平分∠BAF，
∴∠DAP＝∠EAP，
在△APD和△APE中
∴△APD≌△APE（AAS），
故选：D．
【举一反三1】如图，加条件能满足AAS来判断△ACD≌△ABE的条件是（ ）
A.∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D B.∠AEB＝∠ADC，CD＝BE C.AC＝AB，AD＝AE D.AC＝AB，∠C＝∠B
【答案】B
【解析】A．∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠D，再加上公共∠A＝∠A，不能判定△ACD≌△ABE，故此选项错误；
B．∠AEB＝∠ADC，CD＝BE，再加上公共∠A＝∠A，可以用AAS来判定△ACD≌△ABE，故此选项正确；
C．AC＝AB，AD＝AE，又∠A＝∠A符合的是SAS，而不是AAS，故此选项错误；
D．AC＝AB，∠C＝∠D，再加上公共∠A＝∠A，是“ASA“判定△ACD≌△ABE，故此选项错误．
故选：B．
【举一反三2】如图，用∠B＝∠D，∠1＝∠2直接判定△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A.AAS B.SSS C.ASA D.SAS
【答案】A
【解析】在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
故选：A．
【举一反三3】如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC≌△DCB，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
【答案】∠ACB＝∠DBC（答案不唯一）
【解析】若∠ACB＝∠DBC，
则在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
故答案为：∠ACB＝∠DBC（答案不唯一）．
【举一反三4】如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC＝EF，AB∥DE，∠A＝∠D．求证：△ABC≌△DEF．
【答案】证明 ∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
【题型9】用SAS证明边或角相等
【典型例题】如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝7，AD＝5，则AC的取值范围为（ ）
A.3＜AC＜17 B.3＜AC＜15 C.1＜AC＜6 D.2＜AC＜12
【答案】A
【解析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE＝AB．
在△ACE中，AE﹣EC＜AC＜AE+CE，
即5+5﹣7＜AC＜5+5+7，
3＜AC＜17．
故选：A．
【举一反三1】如图点A、D、C、E在同一条直线上，AB∥EF，AB＝EF，AD＝EC，AE＝10，AC＝7，则CD的长为（ ）
A.3 B.4.5 C.4 D.5.5
【答案】C
【解析】∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E，
∵AD＝EC，
∴AD+DC＝EC+DC，即AC＝ED，
在△ABC和△EFD中
，
∴△ABC≌△EFD（SAS），
∴AC＝ED＝7，
∴CD＝AC+ED﹣AE＝7+7﹣10＝4．
故选：C．
【举一反三2】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAD+∠ADC＝ ．
【答案】90°
【解析】在△DCE和△ABD中，
，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠BAD，
∴∠BAD+∠ADC＝∠CDE+∠ADC＝90°．
故答案为：90°．
【举一反三3】如图，点C、E、F、B在同一直线上，AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE，求证：AE＝DF．
【答案】证明 ∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BF＝CE，
∴BF+EF＝CE+EF，
∴BE＝CF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF．
【题型10】用AAS证明边或角相等
【典型例题】如图，∠1＝∠2，∠C＝∠B，结论中不正确的是（ ）
A.△DAB≌△DAC B.△DEA≌△DFA C.CD＝DE D.∠AED＝∠AFD
【答案】C
【解析】在△DAB和△DAC中
，
∴△DAB≌△DAC（AAS），
∴AB＝AC．
在△ABF和△ACE中
，
∴△ABF≌△ACE（ASA）
∴AF＝AE．
在△DEA和△DFA中
∴△DEA≌△DFA（SAS），
∴∠AED＝∠AFD，DE＝DF．
∴C不正确．
故选：C．
【举一反三1】如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝12，BF＝9，EF＝6，则AD的长为（ ）
A.9 B.15 C.18 D.21
【答案】B
【解析】设AB分别交CE、CD于点G、H，则∠AGE＝∠CGH，
∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴AHC＝∠AEC＝∠CED＝∠AFB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠AGE＝90°﹣∠CGH＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∵CE＝12，BF＝9，EF＝6，
∴AF＝CE＝12，BF＝DE＝9，
∴DF＝DE﹣EF＝9﹣6＝3，
∴AD＝AF+DF＝12+3＝15，
故选：B．
【举一反三2】如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）
A.30 B.50 C.60 D.80
【答案】B
【解析】∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°，
∴∠BAG＝∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中，，
∴△AEF≌△BAG，（AAS）
同理△BCG≌△CDH，
∴AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，
∵梯形DEFH的面积（EF+DH） FH＝80，
S△AEF＝S△ABGAF FE＝9，
S△BCG＝S△CDHCH DH＝6，
∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50，
故选：B．
【举一反三3】如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF且AE＝CF，若BD＝10，BF＝3.5，则EF＝ ．
【答案】3
【解析】∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，
∵AE∥CF，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CFD中，，
∴△ABE≌△CFD，
∴BE＝DF，
∵BD＝10，BF＝3.5，
∴DF＝BD﹣BF＝6.5，
∴BE＝6.5，
∴EF＝BE﹣BF＝6.5﹣3.5＝3．
故答案为3
【举一反三4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是 ．
【答案】1
【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEH＝90°，
∵∠AHE＝∠CHD，
∴∠BAD＝∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴AE＝EC＝4，
则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【举一反三5】如图，点B、E、C、F是同一直线上顺次四点，AB∥DE，AB＝DE，∠ACB＝∠F，求证：BE＝CF．
【答案】证明 ∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
∴．BE＝CF．
【举一反三6】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．
【答案】证明 如图，连接AC，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠EAC＝∠FAC，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（AAS），
∴CB＝CD．
【题型11】作一个角等于已知角
【典型例题】如图，是用尺规作一个角等于已知角的示意图，由作图可得△COD≌△C′O′D′，故∠A′O′B′＝∠AOB．其中说明△COD≌△C′O′D′的依据是（ ）
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
【答案】A
【解析】由作图痕迹得，
故△COD≌△C′O′D′（SSS），
故选：A．
【举一反三1】用尺规作一个角等于已知角．已知∠AOB．求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．作法如下：
（1）作射线EG；
（2）以①为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以②为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作④，∠DEF即为所求作的角．
以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ）
A.①表示点O B.②表示OP C.③表示OQ D.④表示射线EF
【答案】C
【解析】作法：（1）作射线EG；
（2）以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P、交OB于点Q；
（3）以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
（4）以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F；
（5）过点F作EF，∠DEF即为所求作的角．
∴内容错误的是“③”．
故选：C．
【举一反三2】如图，用尺规作一个角等于已知角时，以O′为圆心，以线段 的长度为半径画弧．
【答案】OC
【解析】用尺规作一个角等于已知角时，以O′为圆心，以线段OC的长度为半径画弧．
故答案为：OC．
【举一反三3】如图，在∠DAC中，B是AC边上一点．以B为顶点，BC为一边，利用尺规作图作∠EBC，使∠EBC＝∠A（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解 如图所示，BE或BE′即为所求．
【举一反三4】作一个角等于已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB．
作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D'；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
请你根据提供的材料完成下列问题．
（1）这种作一个角等于已知角的方法的依据是 ．
（2）请你证明∠A'O'B'＝∠AOB．
【答案】（1）解 这种作一个角等于已知角的方法的依据是SSS．
故答案为：SSS．
（2）证明 由作图过程可知，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，CD＝C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠COD＝∠C'O'D'，
即∠A'O'B'＝∠AOB．
【题型12】用SSS证明边或角相等
【典型例题】如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A.∠EDB B.∠BED C.2∠ABF D.∠AFB
【答案】D
【解析】在△ABC和△DEB中，，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB＝∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB，
∠ACB∠AFB，
故选：D．
【举一反三1】如图，AB＝AC，BD＝CD．若∠B＝70°，则∠DAC＝（ ）
A.15° B.20° C.25° D.30°
【答案】B
【解析】解法一：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠DAB＝∠DAC，
∵∠DAB+∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝20°，
解法二：∵AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°．
故选：B．
【举一反三2】如图，在纸板上先任意画一个△ABC，再画一个△DEF，使AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF，将△DEF剪下来，放到△ABC上，它们完全重合吗？（ ）
A.重合 B.不重合 C.不一定重合 D.无法判断
【答案】A
【解析】在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴△ABC与△DEF能完全重合，
故选：A．
【举一反三3】如图所示，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD＝ °．
【答案】77
【解析】在△CAB和△EAD中
∴△CAB≌△EAD（SSS），
∴∠D＝∠B＝28°，
∴在△EAD中，∠EAD＝180°﹣∠AED﹣∠D＝180°﹣95°﹣28°＝57°，
∵∠EAB＝20°，
∴∠BAD＝∠EAB+∠EAD＝20°+57°＝77°，
故答案为：77．
【举一反三4】已知：如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，求证：AB∥CD．
【答案】解 在△ADC和△CBA中，
，
∴△ADC≌△CBA，
∴∠ACD＝∠CAB，
∴AB∥CD．
【举一反三5】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：AD⊥BC．
【答案】证明 ∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC．
【举一反三6】如图，在△ABD与△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．求证：∠B＝∠C．
【答案】证明 在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B＝∠C．
