1.6线段垂直平分线的性质
【知识点1】线段垂直平分线的性质 1
【知识点2】作图—基本作图 1
【题型1】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长 2
【题型2】利用线段垂直平分线的性质求周长 2
【题型3】用尺规作线段的垂直平分线 4
【知识点1】线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【知识点2】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
【题型1】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长
【典型例题】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【举一反三1】如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝6cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
A.7cm B.10cm C.11cm D.22cm
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为 ．
【举一反三3】如图所示，△ABC中，AC＞BC，AB⊥DE，点D是AB的中点，点E在AC上，连接BE．若AC＝12，△BCE周长为17，求BC的长度．
【题型2】利用线段垂直平分线的性质求周长
【典型例题】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（ ）
A.6 B.12 C.15 D.18
【举一反三1】如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【举一反三2】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.10
【举一反三3】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若BD＝5，△ABC的周长为38，则△BCE的周长为 ．
【举一反三4】如图，MN是AB的垂直平分线，若AB＝10cm，PA＝6cm，△PAB的周长是 cm．
【举一反三5】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为14cm，求△ABC的周长．
【举一反三6】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝2cm，△ABD的周长为8cm，求△ABC的周长．
【题型3】用尺规作线段的垂直平分线
【典型例题】如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三1】已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【举一反三2】阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线．
小红的作法如下：
如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；
③作直线CD．
所以直线CD就是所求作的垂直平分线．
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是 ．
【举一反三3】作图：用尺规作线段的垂直平分线．
【举一反三4】如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm．
（1）作图：作AC边的垂直平分线，分别交AC、BC边于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，求△ABE的周长．1.6线段垂直平分线的性质
【知识点1】线段垂直平分线的性质 1
【知识点2】作图—基本作图 1
【题型1】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长 2
【题型2】利用线段垂直平分线的性质求周长 4
【题型3】用尺规作线段的垂直平分线 7
【知识点1】线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【知识点2】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
【题型1】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长
【典型例题】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，边AC的垂直平分线EN交BC于点E．已知△ADE的周长为8cm，则BC的长为（ ）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【答案】D
【解析】∵DM是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵EN是AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长8cm，
∴AD+DE+AE＝8cm，
∴BD+DE+EC＝8cm，
∴BC＝8cm，
∴BC的长为8cm；
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝6cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）
A.7cm B.10cm C.11cm D.22cm
【答案】C
【解析】∵AB的垂直平分线DE交BC于点D，
∴AD＝BD，
∵AC＝6cm，△ADC的周长为17cm，
∴AD+DC+AC＝17cm，
∴AD+DC＝BD+DC＝BC＝11cm．
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝7，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCE的周长等于12，则BC的长度为 ．
【答案】5
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵△BCE的周长等于12，
∴BC+BE+EC＝BC+BE+AE＝BC+AB＝12，
∵AB＝7，
∴BC＝12﹣7＝5，
故答案为：5．
【举一反三3】如图所示，△ABC中，AC＞BC，AB⊥DE，点D是AB的中点，点E在AC上，连接BE．若AC＝12，△BCE周长为17，求BC的长度．
【答案】解 ∵AB边上的中垂线交AB于点D，交AC于点E，
∴AE＝BE，
∵△BCE周长为17，
∴BE+CE+BC＝17，
即AE+CE+BC＝AC+BC＝17，
∵AC＝12，
∴BC＝17﹣12＝5，
即BC的长度是5．
【题型2】利用线段垂直平分线的性质求周长
【典型例题】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（ ）
A.6 B.12 C.15 D.18
【答案】C
【解析】∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝3，
∵△ABD的周长为9，
∴AB+BD+AD＝9，
∴AB+BD+DC＝9，
即AB+BC＝9，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝9+2×3＝15．
故选：C．
【举一反三1】如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∵BC＝4，AC＝3，
∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，
∴△ACD的周长为：4+3＝7．
故选：A．
【举一反三2】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC分别交AC，BC边于点D，E．若AB＝3，AC＝5，则△ABD的周长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.10
【答案】C
【解析】∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵AB＝3，AC＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD
＝AB+AD+CD
＝AB+AC
＝3+5
＝8，
故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，若BD＝5，△ABC的周长为38，则△BCE的周长为 ．
【答案】28
【解析】∵ED垂直平分AB，
∴AB＝2AD＝2BD＝2×5＝10，
∵△ABC的周长为38，
∴AC+BC＝38﹣10＝28，
△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝38﹣AB＝28．
故答案为：28．
【举一反三4】如图，MN是AB的垂直平分线，若AB＝10cm，PA＝6cm，△PAB的周长是 cm．
【答案】22
【解析】∵MN是AB的垂直平分线，PA＝6cm，
∴PB＝PA＝6cm．
又∵AB＝10cm，
∴△PAB的周长为：AB+PA+PB＝10+6+6＝22（cm）．
故答案为：22．
【举一反三5】如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为14cm，求△ABC的周长．
【答案】解 ∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为14cm．
∴AB+BD+AD＝14cm，
∵AE＝3cm，
∴AC＝6cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝20cm．
【举一反三6】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝2cm，△ABD的周长为8cm，求△ABC的周长．
【答案】解 ∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE＝2cm，
∴AC＝AE+CE＝4cm，
∵△ABD的周长为8cm，
∴AB+AD+BD＝8cm，
∴AB+BD+CD＝8cm，
∴AB+BC＝8cm，
∴AB+BC+AC＝12cm，
∴△ABC的周长为12cm．
【题型3】用尺规作线段的垂直平分线
【典型例题】如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∵△ACP的周长为10，
∴AC+AP+PC＝10，
即AC+BP+PC＝3+BC＝10，
∴BC＝7．
故选：B．
【举一反三1】已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【答案】C
【解析】由作图可知，作图正确的有②③，
故选：C．
【举一反三2】阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB．
求作：线段AB的垂直平分线．
小红的作法如下：
如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C；
②再分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D，使点D与点C在直线AB的同侧；
③作直线CD．
所以直线CD就是所求作的垂直平分线．
老师说：“小红的作法正确．”
请回答：小红的作图依据是 ．
【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
【解析】如图，∵由作图可知，AC＝BC＝AD＝BD，
∴直线CD就是线段AB的垂直平分线．
故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．
【举一反三3】作图：用尺规作线段的垂直平分线．
【答案】解 如图，直线l为所作．
【举一反三4】如图，已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm．
（1）作图：作AC边的垂直平分线，分别交AC、BC边于点D、E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，求△ABE的周长．
【答案】解 （1）线段AC的垂直平分线如图所示：
（2）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴BE+AE＝BE+CE＝BC＝7（cm），
∴△ABE的周长＝BE+AE+AB＝7+5＝12（cm）．
