1.7角平分线的性质
【知识点1】角平分线的性质 1
【知识点2】作图—基本作图 1
【题型1】角平分线的性质与面积计算 2
【题型2】根据角平分线的性质求线段长 5
【知识点1】角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
【知识点2】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
【题型1】角平分线的性质与面积计算
【典型例题】如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5
【答案】C
【解析】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵点O是内心，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO AB OE： BC OF： AC OD＝AB：BC：AC＝2：3：4，
故选：C．
【举一反三1】如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A.S1+S2＝S3 B.S1+S2＜S3 C.S1+S2＞S3 D.无法确定
【答案】C
【解析】∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，
∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，
∴S1+S2，S3，
由△ABC的三边关系得：AB+AC＞BC，
∴S1+S2＞S3，
故选：C．
【举一反三2】如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 ．
【答案】15
【解析】过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D，
∴OD＝OE＝5，
∴△AOB的面积，
故答案为：15．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，已知AD＝3cm，BC＝7cm，求△BCD的面积．
【答案】解 如图，过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝AD＝3cm，
∵BC＝7cm，
∴△DBC的面积7×3＝10.5（cm2）．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB，垂足为D．
（1）若∠A＝38°，求∠BEC的大小；
（2）若BC＝12，DE＝4，求△BCE的面积．
【答案】解 （1）∵∠ACB＝90°，∠A＝38°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝52°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBEABC＝26°，
∵CD⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
∴∠BEC＝∠DBE+∠EDB＝26°+90°＝116°；
（2）过E作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，DE＝4，
∴EF＝DE＝4，
∵BC＝12，
∴△BCE的面积24．
【题型2】根据角平分线的性质求线段长
【典型例题】如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝5，F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A.4 B.5 C.5.5 D.6
【答案】A
【解析】当DF⊥OB时，DF的值最小，
∵OD平分∠AOB，DF⊥OB，DE⊥OA，
∴DF＝DE＝5，
∴DF的最小值为5，
∴DF的长度不可能是4，
故选：A．
【举一反三1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，S△ABD＝3，则AB的长为（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【答案】D
【解析】过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，
∴DE＝DF，
∵DE＝2，
∴DF＝2，
∵S△ABD＝3，
∴3，
∴，
解得AB＝3．
故选：D．
【举一反三2】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 ．
【答案】3cm
【解析】过P作PN⊥OB于N，
由题意得：PM＝PN，
∵PM⊥OA，
∴PO平分∠AOB，
∴∠COP＝∠NOP，
∵PC∥OB，
∴∠CPO＝∠NOP，
∴∠COP＝∠CPO，
∴OC＝PC，
∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，
∴PC＝5﹣2＝3（cm），
∴OC的长度是3cm．
故答案为：3cm．
【举一反三3】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，若△BCE的面积为9，则DE的长为 ．
【答案】3
【解析】过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，
∴DE＝EF，
∵S△BCEBC×EF＝9，
∴6×EF＝9，
∴EF＝DE＝3，
故答案为：3．
【举一反三4】如图，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的周长为46cm，面积为92cm2，求DE的长．
【答案】解 如图，连结CD．
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴点D到AC，AB，BC的距离相等，即为DE的长．
∵△ABC的周长为46cm，面积为92cm2，
∴，
即，解得DE＝4（cm）．1.7角平分线的性质
【知识点1】角平分线的性质 1
【知识点2】作图—基本作图 1
【题型1】角平分线的性质与面积计算 2
【题型2】根据角平分线的性质求线段长 3
【知识点1】角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
【知识点2】作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
【题型1】角平分线的性质与面积计算
【典型例题】如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A.1：1：1 B.1：2：3 C.2：3：4 D.3：4：5
【举一反三1】如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是（ ）
A.S1+S2＝S3 B.S1+S2＜S3 C.S1+S2＞S3 D.无法确定
【举一反三2】如图，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA．若OD＝3，AB＝10，则△AOB的面积是 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，已知AD＝3cm，BC＝7cm，求△BCD的面积．
【举一反三4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB，垂足为D．
（1）若∠A＝38°，求∠BEC的大小；
（2）若BC＝12，DE＝4，求△BCE的面积．
【题型2】根据角平分线的性质求线段长
【典型例题】如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝5，F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（ ）
A.4 B.5 C.5.5 D.6
【举一反三1】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，若DE＝2，S△ABD＝3，则AB的长为（ ）
A.1 B.1.5 C.2 D.3
【举一反三2】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝6，若△BCE的面积为9，则DE的长为 ．
【举一反三4】如图，AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的周长为46cm，面积为92cm2，求DE的长．
