2.2等腰三角形
【知识点1】等腰三角形的性质 1
【知识点2】等边三角形的性质 1
【题型1】在格点中构造等腰三角形 2
【题型2】等腰三角形与非负数、方程 3
【题型3】根据定义求第三边或周长 4
【题型4】等腰三角形的轴对称性 4
【题型5】等腰三角形与腰上的中线 5
【知识点1】等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【知识点2】等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【题型1】在格点中构造等腰三角形
【典型例题】如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个．
A.7 B.8 C.9 D.10
【举一反三1】如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【举一反三2】如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上，问在格点上是否存在一个点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有 个．
【举一反三3】如图，在4×5的正方形网格中，已有线段AB，在格点中再取一点C，使△ABC成为等腰三角形，这样的点C有 个．
【举一反三4】如图A、B是4×5网格中的每个小正方形边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
【举一反三5】在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形？
【题型2】等腰三角形与非负数、方程
【典型例题】已知实数x，y满足，则以x，y值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A.12或9 B.9 C.12 D.以上答案均不对
【举一反三1】若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.8或10
【举一反三2】一个等腰三角形的两边长分别为a和b，且a、b满足|3﹣a|0，那么这个三角形的周长是 ．
【举一反三3】已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长．
【举一反三4】已知等腰三角形的两边长分别为x，y，且满足|x﹣4|0．
（1）求x，y的值；
（2）求该等腰三角形的周长．
【题型3】根据定义求第三边或周长
【典型例题】已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（ ）
A.13cm B.17cm C.13cm或17cm D.18cm
【举一反三1】已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则周长为 ．
【举一反三3】一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的1.5倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
【题型4】等腰三角形的轴对称性
【典型例题】写出等腰三角形的对称轴 ．
【答案】顶角平分线所在直线
【解析】等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线，
故答案为：顶角平分线所在直线．
【难度】基础题
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，点E、F分别是AD的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】9
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵，
∴阴影部分面积．
故答案为：9．
【难度】中档题
【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，利用尺规作图，作出△ABC的对称轴．（不写作法，保留作图痕迹）
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝AE，AP是△ABC的角平分线，点D，E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？请说明理由．
【题型5】等腰三角形与腰上的中线
【典型例题】已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（ ）
A.2cm B.10cm C.6cm或4cm D.2cm或10cm
【举一反三1】已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（ ）
A.9cm B.5cm C.6cm或5cm D.5cm或9cm
【举一反三2】等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成18cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为 ．
【举一反三3】已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ．
【举一反三4】已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和16两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边的长．
【举一反三5】等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为14cm和18cm两部分，求三角形各边的长．2.2等腰三角形
【知识点1】等腰三角形的性质 1
【知识点2】等边三角形的性质 1
【题型1】在格点中构造等腰三角形 2
【题型2】等腰三角形与非负数、方程 5
【题型3】根据定义求第三边或周长 7
【题型4】等腰三角形的轴对称性 9
【题型5】等腰三角形与腰上的中线 11
【知识点1】等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【知识点2】等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【题型1】在格点中构造等腰三角形
【典型例题】如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，在图中所有符合条件的点C应该有（ ）个．
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】如图所示：
①AB为等腰三角形的底边，符合条件的点C的有5个；
②AB为等腰三角形的一条腰，符合条件的点C的有3个．
所以符合条件的点C共有8个．
故选：B．
【举一反三1】如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一条腰，这样的点C个数为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】B
【解析】如图所示：
满足条件的点C有9个，
故选：B．
【举一反三2】如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上，问在格点上是否存在一个点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点有 个．
【答案】5
【解析】由图可得，使△ABC为等腰三角形的点C有5个．
故答案为：5．
【举一反三3】如图，在4×5的正方形网格中，已有线段AB，在格点中再取一点C，使△ABC成为等腰三角形，这样的点C有 个．
【答案】4．
【解析】如图，以B为顶点的等腰三角形为△BAC1，以C为顶点的等腰三角形为△BAC2和△BAC4，以A为顶点的等腰三角形为△BAC3．
故答案为：4．
【举一反三4】如图A、B是4×5网格中的每个小正方形边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
【答案】解：画出图形得
【举一反三5】在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形？
【答案】解：∵图中的小方格均为正方形，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，
∴等腰三角形有△AEH、△EBF、△CFG、△DHG、△ABD、△CBD、△ACD、△ABC、△ADF、△CDE、△BCH、△ABG、△AFG、△DEF、△CEH、△BHG、△EHG、△FHG、△EFG、△EFH共20个．
【题型2】等腰三角形与非负数、方程
【典型例题】已知实数x，y满足，则以x，y值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A.12或9 B.9 C.12 D.以上答案均不对
【答案】C
【解析】由题意可知：2﹣x＝0，y﹣5＝0
∴x＝2，y＝5，
当腰长为2，底边长为5时，
∵2+2＜5，
∴不能围成三角形，
当腰长为5，底边长为2时，
∵2+5＞5，
∴能围成三角形，
∴周长为：5+5+2＝12．
故选：C．
【举一反三1】若实数m、n满足等式|m﹣2|0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.8或10
【答案】C
【解析】∵|m﹣2|0，
∴m﹣2＝0，n﹣4＝0，
解得m＝2，n＝4，
当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4＝10．
故选：C．
【举一反三2】一个等腰三角形的两边长分别为a和b，且a、b满足|3﹣a|0，那么这个三角形的周长是 ．
【答案】17．
【解析】∵|3﹣a|0，
∴3﹣a＝0，b﹣7＝0，
解得：a＝3，b＝7，
当a为底时，三角形的三边长为3，7，7，则周长为17；
当b为底时，三角形的三边长为7，3，3，不能组成三角形．
∴三角形的周长为17，
故答案为：17．
【举一反三3】已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，求这个等腰三角形的周长．
【答案】解：，
解得：，
∵一个等腰三角形的两边长x，y，
∴当其三边长为3，3，2时，
3﹣3＜2，3+3＞2，
则其周长为3+3+2＝8；
当其三边长为3，2，2时，
3﹣2＜2，3+2＞2，
则其周长为3+2+2＝7；
即这个等腰三角形的周长为7或8．
【举一反三4】已知等腰三角形的两边长分别为x，y，且满足|x﹣4|0．
（1）求x，y的值；
（2）求该等腰三角形的周长．
【答案】解：（1）∵|x﹣4|0，
∴x﹣4＝0且y﹣8＝0，
解得：x＝4，y＝8；
（2）若腰长为4、底边的长为8，则4+4＝8，
不能构成三角形，故此情况不符合题意；
当底边长为4，腰长为8时，符合三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的周长为4+8+8＝20．
【题型3】根据定义求第三边或周长
【典型例题】已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（ ）
A.13cm B.17cm C.13cm或17cm D.18cm
【答案】B
【解析】分两种情况：
当腰为3时，3+3＜7，所以不能构成三角形；
当腰为7时，3+7＞7，所以能构成三角形，周长是：3+7+7＝17．
故选：B．
【举一反三1】已知等腰三角形一边长为2，周长为8，则它的腰长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】如果等腰三角形的腰长是2，
∴等腰三角形的底边长是8﹣2×2＝4，
∵2+2＝4，不满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长不能是2；
如果等腰三角形的底边长是2，
∴等腰三角形的腰长是（8﹣2）＝3，
∵3+2＞3，满足三角形三边关系定理，
∴等腰三角形的腰长是3，
综上所述，等腰三角形的腰长是3．
故选：B．
【举一反三2】已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则周长为 ．
【答案】12
【解析】①若5为腰长，2为底边长，
∵5，5，2能组成三角形，
∴此时周长为：5+5+2＝12；
②若2为腰长，5为底边长，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形，故舍去；
∴周长为12．
故答案为：12．
【举一反三3】一个等腰三角形的周长是28cm．
（1）已知腰长是底边长的1.5倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长为6cm，求各边的长．
【答案】解：（1）设底边长为x cm，则腰长是1.5x cm，
x+1.5x+1.5x＝28，
解得：x＝7，所以1.5x＝10.5（cm），
故，该等腰三角形的各边长为：7cm，10.5cm，10.5cm；
（2）若底边长为6cm，设腰长为y cm，
则：6+2y＝28，
得：y＝11，所以三边长分别为：6cm，11cm，11cm，
若腰长为6cm，设底边长为a cm，
则：6+6+a＝28，得a＝16，又因为6+6＝12＜16，故舍去，
综上所述，该等腰三角形的三边长分别为：6cm，11cm，11cm．
【题型4】等腰三角形的轴对称性
【典型例题】写出等腰三角形的对称轴 ．
【答案】顶角平分线所在直线
【解析】等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线，
故答案为：顶角平分线所在直线．
【难度】基础题
【答案】顶角平分线所在直线
【解析】等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线，
故答案为：顶角平分线所在直线．
【难度】基础题
【解析】等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线，
故答案为：顶角平分线所在直线．
【难度】基础题
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，点E、F分别是AD的任意两点，若△ABC的面积为18cm2，则图中阴影部分面积为 cm2．
【答案】9
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵，
∴阴影部分面积．
故答案为：9．
【难度】中档题
【答案】9
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵，
∴阴影部分面积．
故答案为：9．
【难度】中档题
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵，
∴阴影部分面积．
故答案为：9．
【难度】中档题
【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，利用尺规作图，作出△ABC的对称轴．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，直线AE即为所求．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD＝AE，AP是△ABC的角平分线，点D，E关于AP对称吗？DE与BC平行吗？请说明理由．
【答案】解：点D、E关于AP对称，且DE∥BC，理由如下：
∵AP是△ABC的角平分线，AB＝AC，AD＝AE，
∴若把图形沿直线AP对折，线段AB与AC重合，线段AE与AD重合，
∴点B、C关于直线AP对称，点D、E也关于直线AP对称，
∴BC⊥AP，DE⊥AP，
∴DE∥BC．
【题型5】等腰三角形与腰上的中线
【典型例题】已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（ ）
A.2cm B.10cm C.6cm或4cm D.2cm或10cm
【答案】A
【解析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，
由题意得或，
解得或．
∵4+4＜10，不能构成三角形，
故等腰三角形的底边长为2cm，
故选：A．
【举一反三1】已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成9cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（ ）
A.9cm B.5cm C.6cm或5cm D.5cm或9cm
【答案】D
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
设等腰三角形的腰长AB＝AC＝2x，BC＝y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD＝DC＝x，
①若AB+AD的长为12，则2x+x＝12，
解得x＝4，
则x+y＝9，即4+y＝9，
解得y＝5；
②若AB+AD的长为9，则2x+x＝9，
解得x＝3，
则x+y＝12，即3+y＝12，
解得y＝9；
所以等腰三角形的底边为5，
等腰三角形的底边为9时，
故选：D．
【举一反三2】等腰三角形一腰的中线把三角形的周长分成18cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为 ．
【答案】6cm或14cm
【解析】设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm，
根据题意得或，解得或，
经检验，均符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边是6cm或14cm．
故填6cm或14cm．
【举一反三3】已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和27两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ．
【答案】6
【解析】设AD＝x则，当2x+x＝15时，x＝5，即AB＝AC＝10，
∵周长是15+27＝42，
∴BC＝22（不符合三角形三边关系，舍去）；
当2x+x＝27时，x＝9，即AB＝AC＝18，
∵周长是15+27＝42，∴BC＝6，
综上可知，底边BC的长为6．
故答案为：6．
【举一反三4】已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15和16两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边的长．
【答案】解：设腰长为x，底边长为y，
则或，
解得：或，
经检验，都符合三角形的三边关系．
因此三角形的底边长为腰长10，底边长11，或腰长，底边长．
【举一反三5】等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为14cm和18cm两部分，求三角形各边的长．
【答案】解：设等腰三角形的腰长为2a，底边长为b，
则或
解得：，或a＝6，b＝8
∴三角形三边长分别为：，，或12，12，8．
