2.3等腰三角形的性质定理
【知识点1】等腰三角形的性质 1
【知识点2】等边三角形的性质 1
【题型1】等边对等角与三角形内角和 2
【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 4
【题型3】等腰三角形的性质综合 7
【题型4】等边对等角与三角形的外角 10
【题型5】根据等边三角形的性质求角 13
【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 16
【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线 20
【题型8】等边对等角与平行线 24
【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质 28
【知识点1】等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【知识点2】等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【题型1】等边对等角与三角形内角和
【典型例题】若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ）
A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100°
【答案】C
【解析】当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角（180°﹣40°）＝70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（ ）
A.55° B.70° C.110° D.130°
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝55°，
∴∠A＝180°﹣110°＝70°，
∵∠BPC＝∠A+∠ACP，
∴∠BPC＞70°，
∵∠B+∠BPC+∠PCB＝180°，
∴∠BPC＜125°，
∴70°＜∠BPC＜125°，
故选：C．
【举一反三2】等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是 ．
【答案】55°或70°
【解析】①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°；
故答案为：55°或70°．
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝80°．
在△BDC中，BD＝BC，
∴，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝20°．
（2）设∠BCD＝x°，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝（α+x）°，
∴∠DBC＝180°﹣2x°，∠EBC＝180°﹣2（α+x）°．
∴∠DBC﹣∠EBC＝（180°﹣2x°）﹣[180°﹣2（α+x）°]＝2α°，
又∵∠DBC﹣∠EBC＝∠ABE＝β°，
∴2α＝β．
【举一反三4】已知等腰△ABC中，∠A＝80°．
（1）求∠B的度数．
（2）在解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【答案】解：（1）∠A是顶角，则∠B50°；
∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°．
故∠B＝50°或20°或80°；
（2）分两种情况：
①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，
∴∠B的度数只有一个；
②当0＜x＜90时，
若∠A为顶角，则∠B＝（）°；
若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°；
若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°．
当180﹣2x且180﹣2x≠x且x，
即x≠60时，∠B有三个不同的度数．
综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．
【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（ ）
A.18° B.27° C.25° D.36°
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ABC＝∠ACD＝70°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵DE＝BD，
∴BD＝CD＝DE，
∴∠EBD＝∠BED＝∠DCE＝∠DEC＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝70°﹣45°＝25°．
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（ ）
A.130° B.125° C.120° D.115°
【答案】D
【解析】在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，∠BAC＝80°，
∴AD⊥BC，∠ACB＝∠ABC（180°﹣∠BAC）＝50°，
∴∠ADB＝90°，
∵BE是角平分线，
∴∠CBO∠ABC＝25°，
∴∠AOB＝∠CBO+∠ADB＝115°，
故选：D．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【答案】B
【解析】∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°，
∴∠DAC∠BAC＝40°．
故选：B．
【举一反三3】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝ °．
【答案】35
【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD∠BAC70°＝35°．
故答案为：35．
【举一反三4】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC∠BAC．
【答案】证明：如图，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠CAE∠BAC，
又∵BD⊥AC，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠CAE+∠C+∠AEC＝∠DBE+∠C+∠BDC＝180°，
∴∠DBC＝∠CAE，
∴∠DBC∠BAC．
【举一反三5】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC．
【答案】证明：在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AD是三角形的角平分线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）．
【题型3】等腰三角形的性质综合
【典型例题】下列说法中错误的是（ ）
A.等腰三角形的底角一定是锐角 B.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍 C.等腰三角形至少有两个角相等 D.等腰三角形的顶角一定是锐角
【答案】D
【解析】A、根据三角形内角和是180°，等腰三角形的底角一定是锐角正确，故本选项错误；
B、根据三角形的外角性质，等腰三角形顶角的外角是底角的2倍正确，故本选项错误；
C、等腰三角形至少有两个角相等正确，故本选项错误；
D、等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，故本选项正确．
故选：D．
【举一反三1】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A.BC边上的高线和中线互相重合
B.AB和AC边上的中线相等
C.三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等
D.等腰三角形最多有一条对称轴
【答案】D
【解析】A、BC边上的高线和中线互相重合，故本选项正确，不符合题意；
B、AB和AC边上的中线相等，故本选项正确，不符合题意；
C、三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等，故本选项正确，不符合题意；
D、等腰三角形最多有3条对称轴，故本选项不正确，符合题意．
故选：D．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件： ，能使AD⊥BC成立．
【答案】答案不唯一，如BD＝CD
【解析】①若BD＝CD，则AD⊥BC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC．
②若∠BAD＝∠CAD，则AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
∴AD⊥BC．
故填BD＝CD．
【举一反三3】做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合．
对于下列结论：
①在同一个三角形中，等角对等边；
②在同一个三角形中，等边对等角；
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合．
由上述操作可得出的是 （将正确结论的序号都填上）．
【答案】②③
【解析】从操作过程没有体现角相等，边就相等，故①不符合；
因为AB＝AC，操作之后得到∠B与∠C重合，即等边对等角，故②符合；
根据所得的像与△ACD重合，所以AD⊥BC，BD＝CD，又AD平分∠BAC，所以③符合．
故操作可以得出的是②③两结论．
故填②③．
【举一反三4】如图，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC．请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理．
【答案】解：已知：①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD．
求证：③BD＝CD，④AD⊥BC．
证明：在△ABD与△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴BD＝CD，AD⊥BC．
【题型4】等边对等角与三角形的外角
【典型例题】如图，△ABC中，AC＝BC，∠BAC的外角平分线交射线BC于点D，若∠CAD＝2∠D，则∠B的度数是（ ）
A.36° B.32° C.30° D.45°
【答案】A
【解析】∵AD平分∠CAE，
∴∠CAD＝∠EAD，
∵∠CAD＝2∠D，
∴∠EAD＝2∠D，
∵∠EAD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠D，
∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝∠B+2∠B＝3∠B，
∵∠B+∠D+∠BAD＝180°，
∴∠B+∠B+3∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
故选：A．
【举一反三1】如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为（ ）
A.30° B.34° C.36° D.40°
【答案】B
【解析】∵AB＝BD，∠B＝40°，
∴∠ADB＝70°，
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）
A.25° B.35° C.40° D.50°
【答案】B
【解析】∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
由∠BAD＝40°得∠B70°＝∠ADB，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C∠ADB＝35°．
故选：B．
【举一反三3】如图，已知∠C＝∠BDC＝36°，∠A＝∠ABD，则∠ADE的大小是 度．
【答案】108
【解析】∵∠C＝∠BDC＝36°
∴∠ABD＝72°
∴∠A＝∠ABD＝72°
∴∠ADE＝∠A+∠C＝108°．
故填108°．
【举一反三4】如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝ ．
【答案】100°
【解析】延长BD交AC于E．
∵DA＝DB＝DC，
∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．
又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，
∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．
故答案为：100°．
【举一反三5】如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，点D在线段CA的延长线上，且DA＝AC，求∠ABD的度数．
【答案】解：∵AB＝AC，∠C＝25°，
∴∠ABC＝25°，
∴∠BAD＝∠C+∠ABC＝50°，
∵DA＝AC，
∴AB＝AD，
∴∠ABD（180°﹣∠BAD）＝65°．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝50°，求∠C的度数．
【答案】解：在△ABD中，AB＝AD，∠B＝50°，
∴∠ADB＝∠B＝50°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠CAD∠ADB50°＝25°．
【题型5】根据等边三角形的性质求角
【典型例题】如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】是等边三角形，，
过作直线，
，，直线直线，直线，，，，
故选：C.
【举一反三1】如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：是等边三角形， ．
在中，，，，，，，
故选C．
【举一反三2】如图，，为等边三角形，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，即，
为等边三角形，
，．
故选：D.
【举一反三3】如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】连接，和都是边长为的等边三角形，
，，
，
，
≌，
，
，当点与点重合时，的值最小，正好等于的长，
的最小值为．
【举一反三4】如图，为等边三角形，，则______．
【答案】
【解析】为等边三角形，，，
在和中，，≌；，
又，．
故答案为：．
【举一反三5】求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数．
【答案】解：如图，△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，交于点O，
∵△ABC为等边三角形，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，
∴CE⊥AB，BD平分∠ABC，
∴∠OEB＝90°，∠EBO∠ABC＝30°，
∴∠BOE＝60°，
故等边三角形两条中线相交所成锐角的度数为60°．
【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（ ）
A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∵E是AC的中点，
∴S△CDES△ABC，
则S四边形ABDES△ABC，
∴S△CDE：S四边形ABDE： 1：3．
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的BC边的中线，
∴BD＝DCBC＝2，
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（ ）
A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm
【答案】B
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，
∴，
∵S△ADBAB DE，S△ACBAC BF，
∴AB DE×2AC BF，
∴BF＝2DE，
∵DE＝5cm，
∴BF＝10cm．
故选：B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝ ．
【答案】3
【解析】∵△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，
∴BDBC6＝3．
故答案为：3．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝ cm．
【答案】8
【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DCBC，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm．
故答案为：8．
【举一反三5】如图，AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，P是直线AD上任意一点，求证：BP＝CP．
【答案】解：∵AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴AP是BC的垂直平分线，
∴BP＝CP．
【举一反三6】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC．
【答案】证明：在△ABE和△ACE中，
∴△ABE≌△ACE
∴∠BAE＝∠CAE，
∴AD是三角形的角平分线，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）．
【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线
【典型例题】如图，在ABC中，AB＝AC，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．若AD＝BC，则∠A的度数为（ ）
A.36° B.35° C.38° D.40°
【答案】A
【解析】连接CD，
设∠A＝x°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠A＝∠ACD＝x°，
∵∠BDC是△ACD的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，
∵AD＝BC，
∴CD＝BC，
∴∠BDC＝∠B＝2x°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝2x°，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠A＝36°，
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC．若AC＝3，BC＝5，则△ABD的周长是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】B
【解析】∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∵AB＝AC＝3，BC＝5时，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD
＝AB+BD+CD
＝AB+BC
＝3+5
＝8，
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（ ）
A.50° B.40° C.60° D.80°
【答案】C
【解析】∵AB＝AC，∠B＝40°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵DE垂直平分AC，
∴EA＝EC，
∴∠EAC＝∠C＝40°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝100°﹣40°＝60°，
故选：C．
【举一反三3】如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若AE＝5，△ABC的周长为27，则△BCD的周长为 ．
【答案】17
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，
∵△ABC的周长为27，
∴△BCD的周长＝BC+BD+DC＝27﹣10＝17，
故答案为：17．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝5．求∠ECB的度数及边BC的长．
【答案】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝72°，
∵AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝EC，
∵EC＝AE，AE＝5，
∴BC＝AE＝5．
【举一反三5】如图，在△ABC中．AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E．
（1）求证：点O在AC的垂直平分线上；
（2）若AB＝5，AO＝3，则△AOC的周长是多少？
【答案】（1）证明：如图，连接OB，OC，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴OB＝OC，
∵AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E，
∴OA＝OB，
∴OA＝OC，
∴点O在AC的垂直平分线上；
（2）解：∵AB＝AC，AO＝CO，AB＝5，AO＝3，
∴AC＝5，AO＝AO＝3，
∴△AOC的周长＝AC+AO+CO＝5+3+3＝11．
【题型8】等边对等角与平行线
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为（ ）
A.100° B.105° C.110° D.115°
【答案】A
【解析】∵DE∥FG，
∴∠BCG＝∠DBC＝45°，
∵∠ACG＝10°，
∴∠ACB＝45°﹣10°＝35°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝35°，
又∵∠EBC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABE＝135°﹣35°＝100°，
故选：A．
【举一反三1】如图，直线m∥n，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝α，则∠2的度数是（ ）
A.α﹣110° B.α﹣100° C.α﹣70° D.α﹣40°
【答案】A
【解析】∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴，
∵直线m∥n，
∴∠AEF＝∠ABC+∠2＝70°+∠2，
∵∠1＝∠A+∠AEF，即α＝40°+70°+∠2，
∴∠2＝α﹣110°．
故选：A．
【举一反三2】如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝BC，∠1＝70°，那么∠ABC等于（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【答案】C
【解析】∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故选：C．
【举一反三3】如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 ．
【答案】52°
【解析】如图：
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝54°，
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝72°，
∵∠1＝20°，
∴∠3＝∠CAB﹣∠1＝52°，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠2＝52°，
故答案为：52°．
【举一反三4】如图，将一副三角板拼成一幅“帆船图”．若CB∥EF，CB＝CE，则∠BEF＝ ．
【答案】105°
【解析】∵BC∥EF，
∴∠BCE＝∠CEF＝30°，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB75°，
∴∠BEF＝∠CEB+∠CEF＝105°，
故答案为：105°．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝90°，
∵∠B＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝54°，
∴∠CAD＝54°；
（2）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AB，
∴∠F＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∴AE＝EF．
【举一反三6】如图，AB＝AC＝AD且AD∥BC，BD与AC相交于点E．
（1）∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）若AE＝CE＝3，你能求出BC的长度吗？
【答案】解：（1）∠C＝2∠D，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝2∠D，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠D，
∴∠C＝2∠D；
（2）在△ADE与△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AD＝CB，
∵AB＝AC＝AD，
∴AB＝AC＝CB，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝AE+CE＝6．
【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
【答案】C
【解析】AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C（180°﹣70°）＝55°．
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（ ）
A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC
【答案】D
【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠B＝∠C，AD⊥BC，D是BC的中点，无法证明AB＝BC．
故选：D．
【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（ ）
A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC
【答案】D
【解析】∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴∠B＝∠C，AD⊥BC，D是BC的中点，无法证明AB＝BC．
故选：D．
【举一反三3】如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（ ）
A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AB和AD，焊接点A D.AD和BC，焊接点D
【答案】D
【解析】根据等腰三角形的三线合一，知：AD⊥BC，根据焊接工身边的工具，显然是AD和BC焊接点D，
故选：D．
【举一反三4】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 ．
【答案】BD＝CD，AD平分∠BAC．
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC
∴△ABC是等腰三角形，
∴BD＝CD，AD平分∠BAC，
故答案为：BD＝CD，AD平分∠BAC．
【举一反三5】关于等腰三角形的对称轴问题，芳芳、丽丽、园园有以下不同的看法．
芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线”
丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线”
园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线”
你认为她们谁说得对呢？请说明你的理由 ．
【答案】三个人说的都对，等腰三角形“三线合一”
【解析】因为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，底边中线所在的直线，底边高线所在的直线，
所以三个人说的都对，等腰三角形“三线合一”．
故填三个人说的都对，等腰三角形“三线合一”．
【举一反三6】如图，在三角测平架中，AB＝AC．在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这是为什么？
答： ．
【答案】等腰三角形底边上的中线就是底边上的高
【解析】∵在三角测平架中，AB＝AC，
∴AD为等腰△ABC的底边BC上的高，
又AD自然下垂，
∴BC处于水平位置．
理由：等腰三角形底边上的中线就是底边上的高．
【举一反三7】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 ．
【答案】BD＝CD，AD平分∠BAC．
【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC
∴△ABC是等腰三角形，
∴BD＝CD，AD平分∠BAC，
故答案为：BD＝CD，AD平分∠BAC．2.3等腰三角形的性质定理
【知识点1】等腰三角形的性质 1
【知识点2】等边三角形的性质 1
【题型1】等边对等角与三角形内角和 2
【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度 3
【题型3】等腰三角形的性质综合 4
【题型4】等边对等角与三角形的外角 5
【题型5】根据等边三角形的性质求角 7
【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系 8
【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线 10
【题型8】等边对等角与平行线 11
【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质 13
【知识点1】等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【知识点2】等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【题型1】等边对等角与三角形内角和
【典型例题】若等腰三角形有一个角是40°，则它的底角为（ ）
A.40° B.70° C.40°或70° D.40°或100°
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝55°，P是边上AB的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的度数可能是（ ）
A.55° B.70° C.110° D.130°
【举一反三2】等腰三角形的一个内角是70°，则这个等腰三角形的底角是 ．
【举一反三3】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连结CD，BE，BD＝BC＝BE．
（1）若∠A＝30°，∠ACB＝70°，求∠BDC，∠ACD的度数；
（2）设∠ACD＝α°，∠ABE＝β°，求α与β之间的数量关系，并说明理由．
【举一反三4】已知等腰△ABC中，∠A＝80°．
（1）求∠B的度数．
（2）在解答完（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰△ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．
【题型2】根据等腰三角形“三线合一”的性质求角度
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，DE＝BD，∠ABC＝70°，则∠ACE的度数为（ ）
A.18° B.27° C.25° D.36°
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是中线，BE是角平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为（ ）
A.130° B.125° C.120° D.115°
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，如果∠B＝50°，那么∠DAC的度数为（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
【举一反三3】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，若∠BAC＝70°，则∠BAD＝ °．
【举一反三4】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D，求证：∠DBC∠BAC．
【举一反三5】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC．
【题型3】等腰三角形的性质综合
【典型例题】下列说法中错误的是（ ）
A.等腰三角形的底角一定是锐角 B.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍 C.等腰三角形至少有两个角相等 D.等腰三角形的顶角一定是锐角
【举一反三1】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列说法中不正确的是（ ）
A.BC边上的高线和中线互相重合
B.AB和AC边上的中线相等
C.三角形ABC中∠B和∠C的角平分线相等
D.等腰三角形最多有一条对称轴
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，请填上你认为适合的一个条件： ，能使AD⊥BC成立．
【举一反三3】做如下操作：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D．将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像与△ACD重合．
对于下列结论：
①在同一个三角形中，等角对等边；
②在同一个三角形中，等边对等角；
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合．
由上述操作可得出的是 （将正确结论的序号都填上）．
【举一反三4】如图，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC．请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理．
【题型4】等边对等角与三角形的外角
【典型例题】如图，△ABC中，AC＝BC，∠BAC的外角平分线交射线BC于点D，若∠CAD＝2∠D，则∠B的度数是（ ）
A.36° B.32° C.30° D.45°
【举一反三1】如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为（ ）
A.30° B.34° C.36° D.40°
【举一反三2】如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）
A.25° B.35° C.40° D.50°
【举一反三3】如图，已知∠C＝∠BDC＝36°，∠A＝∠ABD，则∠ADE的大小是 度．
【举一反三4】如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝ ．
【举一反三5】如图，在三角形ABC中，AB＝AC，∠C＝25°，点D在线段CA的延长线上，且DA＝AC，求∠ABD的度数．
【举一反三6】如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝50°，求∠C的度数．
【题型5】根据等边三角形的性质求角
【典型例题】如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，，为等边三角形，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，等边三角形和等边三角形的边长都是，点，，在同一条直线上，点在线段上，则的最小值为 ．
【举一反三4】如图，为等边三角形，，则______．
【举一反三5】求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数．
【题型6】根据等腰三角形“三线合一”的性质求边或证边的关系
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点，则S△CDE：S四边形ABDE＝（ ）
A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：3
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且BC＝4，则BD长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（ ）
A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm
【举一反三3】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于D，则BD＝ ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝ cm．
【举一反三5】如图，AD是等腰△ABC的底边BC上的中线，P是直线AD上任意一点，求证：BP＝CP．
【举一反三6】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC．
【题型7】等边对等角与线段的垂直平分线
【典型例题】如图，在ABC中，AB＝AC，作AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．若AD＝BC，则∠A的度数为（ ）
A.36° B.35° C.38° D.40°
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC．若AC＝3，BC＝5，则△ABD的周长是（ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
【举一反三2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠BAE的度数为（ ）
A.50° B.40° C.60° D.80°
【举一反三3】如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若AE＝5，△ABC的周长为27，则△BCD的周长为 ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，AE＝5．求∠ECB的度数及边BC的长．
【举一反三5】如图，在△ABC中．AB＝AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E．
（1）求证：点O在AC的垂直平分线上；
（2）若AB＝5，AO＝3，则△AOC的周长是多少？
【题型8】等边对等角与平行线
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，直线DE，FG分别经过点B，C，DE∥FG．若∠DBC＝45°，∠ACG＝10°，则∠ABE的度数为（ ）
A.100° B.105° C.110° D.115°
【举一反三1】如图，直线m∥n，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1＝α，则∠2的度数是（ ）
A.α﹣110° B.α﹣100° C.α﹣70° D.α﹣40°
【举一反三2】如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B，C在直线n上，AB＝BC，∠1＝70°，那么∠ABC等于（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【举一反三3】如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝AC，∠1＝20°，∠ABC＝54°，则∠2的度数为 ．
【举一反三4】如图，将一副三角板拼成一幅“帆船图”．若CB∥EF，CB＝CE，则∠BEF＝ ．
【举一反三5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝36°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F，求证：AE＝EF．
【举一反三6】如图，AB＝AC＝AD且AD∥BC，BD与AC相交于点E．
（1）∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）若AE＝CE＝3，你能求出BC的长度吗？
【题型9】等腰三角形“三线合一”的性质
【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.60°
【举一反三1】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（ ）
A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC
【举一反三2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论中不正确的是（ ）
A.∠B＝∠C B.AD⊥BC C.D是BC的中点 D.AB＝BC
【举一反三3】如图是人字型屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（ ）
A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AB和AD，焊接点A D.AD和BC，焊接点D
【举一反三4】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 ．
【举一反三5】关于等腰三角形的对称轴问题，芳芳、丽丽、园园有以下不同的看法．
芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线”
丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线”
园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线”
你认为她们谁说得对呢？请说明你的理由 ．
【举一反三6】如图，在三角测平架中，AB＝AC．在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置．这是为什么？
答： ．
【举一反三7】李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 ．
