专题训练(七)快速有效地寻找实际问题中的相等关系 （含答案）2025-2026学年浙教版七年级数学上册

专题训练(七)快速有效地寻找实际问题中的相等关系
类型一 利用基本数量关系寻找相等关系
1.一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等.求这种服装每件的标价.
2.租用新能源汽车，甲公司的收费标准为：收取固定租金105元，另外再按租车时间每小时20元计算.乙公司的收费标准为：无固定租金，直接以租车时间计算，每小时的租金为35元.当租车时间为多少小时时，甲、乙两公司租车的总费用相同
3. (2024杭州萧山区期末)如图7-ZT-1①,小慧买的铅笔配了一个铅笔套用于保护笔尖，套口到分界处的距离为1 cm.未开始使用时，铅笔的长度比铅笔套长度的3倍多1 cm，且铅笔的长度比铅笔套的长度多12 cm.
(1)请分别求出铅笔和铅笔套的长度；
(2)如图②，铅笔套也能套在铅笔顶部作延长器使用，套口到顶部的距离是1 cm.当总长度(笔尖到套尾的距离)小于8cm 时，将不再适合正常书写，则该铅笔最多可以正常使用多少
4.某校同学经过“种植”项目化学习后，收获一批蔬菜，经过调查发现：若这种蔬菜加工后出售，单价可提高40%，但质量只有加工前的80%.现有未加工的这种蔬菜50千克，加工后可以比不加工多卖60元.
(1)若设这种蔬菜加工前的单价为x元/千克，请填写下表：
单价(元/千克) 质量(千克) 销售额(元)
加工前 x 50
加工后
(2)求这种蔬菜加工后的单价.
类型二 抓住问题中的“关键词”寻找相等关系
5.数学思想分类讨论A，B两地相距215 千米，甲骑自行车从 A 地去 B地，同时乙开汽车从B地去 A 地.已知乙开车的速度是甲骑自行车速度的4倍.若2 小时后甲、乙两人相距25千米，则甲的速度为 千米/时.
6.(2023杭州西湖区开学考)在今年的“618”促销活动中，某网店需要x个包装箱.由甲工厂单独完成，需要10天，由乙工厂单独完成，需要15 天.
(1)如果由两个工厂合作完成，需要多少天
(2)由于时间比较充足，两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如下报价：
甲工厂 价格为1.5元/个，如果达到或超过1万个，全部打八折
乙工厂 5000个以内(含5000个)的价格为1.5元/个,超过5000个的部分，价格为1元/个
①若你是网店负责人，当需要12000个包装箱时，从节省费用的角度，你认为由哪个工厂单独承包合适 请说明理由；
②当x为何值时，甲、乙两工厂的收费相同
类型三 利用“同一个量的不同表示方式”建立相等关系
方法点睛
这种方法一般适用于同一个量可以用不同方式来表示的实际问题.解决这类题的关键是用不同的方式同时表示这个量，再用等号连起来，即可得到方程.
7.新情境日常生活为弘扬践行“浙西南革命精神”，重温红色印记，传承红色基因，某学校组织七年级师生于某周六赴安岱后开展“红色之旅”的研学活动.如果单独租用45 座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一辆，且余15个座位.求七年级师生参加研学活动的有多少人.
8.某校七年级(2)班的男生人数是女生人数的1.8倍.在一次数学测试中，全班成绩的平均分是75分，其中女生的平均分比男生的平均分高20%，求女生的平均分.
9.在长方形ABCD 中放入六个完全相同的小长方形，尺寸如图7-ZT-2所示，求小长方形的宽AE.
专题训练(七)快速有效地寻找实际问题中的相等关系
1. 110元 2. 7小时
3.(1)铅笔的长度为 cm，铅笔套的长度为
(2)14 cm
4.(1)表格填写如下：
单价(元/千克) 质量(千克) 销售额(元)
加工前 x 50 50x
加工后 1.4x 40 56x
(2)14元/千克
5. 19成24
6.解：(1)设由两个工厂合作完成，需要y天.根据题意，得 解得y=6.
答：由两个工厂合作完成，需要6天.
(2)①由甲工厂单独承包合适.理由：选择甲工厂,费用为 12000×1.5×80%=14400(元);
选择乙工厂,费用为5000×1.5+(12000一5000)×1=14500(元).
因为14400<14500,
所以由甲工厂单独承包合适.
②当x≤5000 时，甲、乙两工厂的收费相同；
当5000当x≥10000时，若甲、乙两工厂的收费相同,则 1..5×80%x = 5000×1. 5 +(x-5000)×1,解得x=12500.
故当x≤5000或x=12500时,甲、乙两工厂的收费相同.
7、225人 8. 84分 9、2cm