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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版
专题1.4全等三角形八大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．一个三角形的三条边的长分别是5，8，9，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．下列是真命题的个数有（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
④全等三角形的周长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是对应点，下列结论错误的是（ ）
A．和是对应角 B．和是对应角
C．和是对应边 D．和是对应边
7．已知，， 三角形的面积为8， 则边上的高是（ ）
A． B．2 C．6 D．12
8．如图，，则下列结论
①；②；③；④．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，将两个完全相同且面积为的直角三角形按如图摆放，点B、C、D在同一直线上，点E在上，，，若，则长为（ ）
A． B． C． D．cm
10．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，的延长线经过点，交于，，，，则 °．
12．如图，，则的度数为 ．
13．如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为 ，的对应角为 ．
14．已知，其中，，，则中的的长度为 ．
15．如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为 ．
16．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形组成一个大正方形．若，，则小正方形的周长为 ．
17．如图，已知的延长线经过点，交于点．若，，则 ．
18．如图，在锐角中，，，P为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当面积的最小值为8时，则的面积为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知．
(1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
20．如图，已知，是的高，点在延长线上，点在上，，和是对应边，试证明：．
21．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上．请在网格中仅用直尺按下列要求作图，并回答问题．
(1)过点作的平行线．（点在点的上方）
(2)点是线段与网格线的交点，连接，写出的同旁内角 ．
(3)在上找一点，连接，使得最短，你作图的依据是 ．
(4)连接，在网格中找一格点，使得．
22．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G．
(1)判断直线与是否垂直？请说明理由；
(2)若，求的度数．
23．项目主题：探索全等的图形
素材一：轴对称、平移与旋转都是由现实世界广泛存在的某些现象而抽象得到的基本变换，反映了图形与图形之间的变化关系．在这样的变换下图形中任意两点之间的距离保持不变，从而使得线段的长度、角的大小乃至整个图形的形状和大小基本不发生变化．
素材二：我们知道一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合．
素材三：全等的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；全等多边形的对应边、对应角分别相等；全等的判定：如果两个三角形的边、角分别相等，那么这两个三角形全等；如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等．
任务一：如图1，在的方格纸上有，且．请说出：是通过怎样的变化得到和．
任务二：如图2，，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．你知道是怎样的变换得到的吗？请画出示意图解答；
任务三：请借助三角形全等的知识，解决有关多边形全等的问题．图3所示的是两个全等的五边形，，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．
24．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动．同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）．
(1)线段=_____（用含的代数式表示）；
(2)若点P，Q的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由；
(3)若，求a的值．
试卷第1页，共3页
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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教（2024）版
专题1.4全等三角形八大题型（一课一练）
一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定）
1．如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度计算出，再根据全等三角形的对应角相等，得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选A．
2．一个三角形的三条边的长分别是5，8，9，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得，或，，求出解即可．
【详解】解：∵这两个三角形全等，
∴，或，，
解得，或，，
则或，
故选：C．
3．下列是真命题的个数有（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数也相等；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行；
④全等三角形的周长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用平行线的性质、实数的性质、平行线的判定及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
②若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故原命题错误，不符合题意；
③平行于同一条直线的两条直线也互相平行，正确，是真命题，符合题意；
④全等三角形的周长相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
4．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，进而求出，根据垂直的定义计算即可．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
5．如图，边长为的正方形纸片被分成全等的四部分（图），阴影四边形的最短边为，将其重新拼接得到新的正方形（图），则如图小正方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的性质，一元一次方程，设中间小正方形的边长为，由题意可得，然后解方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设中间小正方形的边长为，
由题意可得：，
∴，
∴中间小正方形的面积为，
故选：．
6．如图，是对应点，下列结论错误的是（ ）
A．和是对应角 B．和是对应角
C．和是对应边 D．和是对应边
【答案】A
【分析】本题考查三角形全等的性质，由得出对应边及对应角相等，逐项验证即可．
【详解】解：∵，
∴和是对应角，故选项A错误，符合题意；
∴和是对应角，故选项B正确，不符合题意；
∴和是对应边，故选项C正确，不符合题意；
∴和是对应边，故选项D正确，不符合题意；
故选：A．
7．已知，， 三角形的面积为8， 则边上的高是（ ）
A． B．2 C．6 D．12
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形的面积相等及三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
设边上的高为h，
∴
∴，解得：；
故边上的高为，
故选A．
8．如图，，则下列结论
①；②；③；④．
其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴即．
故①②③④正确，正确结论的个数有4个
故选：D．
9．如图，将两个完全相同且面积为的直角三角形按如图摆放，点B、C、D在同一直线上，点E在上，，，若，则长为（ ）
A． B． C． D．cm
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
根据题意得，根据全等三角形的性质、平角定义求出，，，再结合三角形面积公式及线段的和差求解即可．
【详解】和完全相同，
，
，，，
点、、在同一直线上，
，
，
，
，
的面积为，
，
解得（负值已舍），
，，
，
故选：C．
10．如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，
∴，
∵，
∴或，
当时，，，
∴，解得：，
∴，
解得：；
当时，，
∴，解得：；
综上所述，点运动速度为或．
故选：A．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．如图，，的延长线经过点，交于，，，，则 °．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，根据全等三角形的性质求出，根据平角定义求出，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解∶∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
故答案为∶ ．
12．如图，，则的度数为 ．
【答案】95
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由全等三角形的性质：全等三角形对应角相等得，再运用三角形内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：95．
13．如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为 ，的对应角为 ．
【答案】 / /
【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可．
【详解】解：，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为，的对应角为．
故答案为：，．
14．已知，其中，，，则中的的长度为 ．
【答案】
【分析】根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键
【详解】解：∵，，，，
，
故答案为：．
15．如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键．
由平移得，可得，再根据，即可求解．
【详解】解：由平移得，
，
，
∵四边形为长方形，，
，
，
故答案为：．
16．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的“弦图”，它是由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形组成一个大正方形．若，，则小正方形的周长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质．根据全等三角形的性质和正方形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵是四个全等的直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴小正方形的周长为，
故答案为：4．
17．如图，已知的延长线经过点，交于点．若，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对角角相等．根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，，进而根据三角形内角定理，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴
∴
故答案为：．
18．如图，在锐角中，，，P为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当面积的最小值为8时，则的面积为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小．
由将分别沿向外翻折至可得：，由，得面积，当取最小值时面积的最小即可求解．
【详解】解：∵分别沿向外翻折至，
，
，
，
∴，
∴面积，
当取最小值时，的面积最小，
在中，当为边的高，即垂直时，最小，
此时，面积的最小值为：，
解得：，
∴，
故答案为：6．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，已知．
(1)写出与之间的数量关系及位置关系，并说明理由；
(2)若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)4
【分析】此题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质是关键．
（1）根据平行线的判定和全等三角形的性质即可得到结论；
（2）全等三角形的性质证明，根据线段的和差得到即可得到答案．
【详解】（1）解：．
理由：，
．
（2）
，
，即
又，
，
．
20．如图，已知，是的高，点在延长线上，点在上，，和是对应边，试证明：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的性质，由，则，则有，又，则，从而可得，从而得出即可求证，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上．请在网格中仅用直尺按下列要求作图，并回答问题．
(1)过点作的平行线．（点在点的上方）
(2)点是线段与网格线的交点，连接，写出的同旁内角 ．
(3)在上找一点，连接，使得最短，你作图的依据是 ．
(4)连接，在网格中找一格点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（或垂线段最短）
(4)见解析
【分析】本题主要考查了网格作图的知识．
（1）根据网格的特点将格点向右移动2个单位再向上移动1个单位得到格点，过这两点作直线，即可求解；
（2）根据在之间，的上方的两个角是同旁内角，即可求解；
（3）根据网格的特点找到，使得，根据垂线段最短，即可求解；
（4）根据网格的特点找到关于的对称点，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求
（2）的同旁内角为，
故答案为：．
（3）解：如图，点即为所求，依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（或垂线段最短）
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短（或垂线段最短）．
（4）如图所示，点即为所求
22．如图，已知，是锐角，，，延长交于点F，交于点G．
(1)判断直线与是否垂直？请说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理应用，平行线的性质，垂线定义理解，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）根据，得出，证明，求出，即可得出结论；
（2）根据，得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．项目主题：探索全等的图形
素材一：轴对称、平移与旋转都是由现实世界广泛存在的某些现象而抽象得到的基本变换，反映了图形与图形之间的变化关系．在这样的变换下图形中任意两点之间的距离保持不变，从而使得线段的长度、角的大小乃至整个图形的形状和大小基本不发生变化．
素材二：我们知道一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合．
素材三：全等的性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等；全等多边形的对应边、对应角分别相等；全等的判定：如果两个三角形的边、角分别相等，那么这两个三角形全等；如果两个多边形的边、角分别对应相等，那么这两个多边形全等．
任务一：如图1，在的方格纸上有，且．请说出：是通过怎样的变化得到和．
任务二：如图2，，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．你知道是怎样的变换得到的吗？请画出示意图解答；
任务三：请借助三角形全等的知识，解决有关多边形全等的问题．图3所示的是两个全等的五边形，，指出它们的对应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．
【答案】任务一：见解析；任务二：见解析；任务三：见解析
【分析】本题主要考查平移，轴对称，旋转，全等三角形的性质，熟练掌握性质定理，找出对应边是解题的关键．任务一根据题意即可知道平移方式；任务二由全等得到对应边，对应角即可得到答案；任务三分别求出对应点，对应边，对应角即可得到答案．
【详解】任务一：解：在图1中，将向右平移两格，向上平移一格得到．将向右平移一格，向下平移三格得到．
任务二：解：如图所示：
绕点旋转得到；
任务三：解：对应顶点：和和和和和对应边：和和和和和；对应角：和和和和和；
两个五边形全等，
．
24．如图，在中，，，，点为的中点，点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动．同时点在线段上以每秒个单位的速度由点向点运动．设运动时间为（秒）．
(1)线段=_____（用含的代数式表示）；
(2)若点P，Q的运动速度相等，时，与是否全等，请说明理由；
(3)若，求a的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段中点的定义等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题．
（1）用的长度减去的长度可求；
（2）根据运动时间和速度可判断出，，然后根据证明即可；
（3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解： ∵点在线段上以每秒2个单位的速度由点向点运动，
∴，
又，
∴，
故答案为：；
（2）解：
理由：∵点为的中点，，
∴，
∵点、的运动速度相等，，
∴，
∴，
在和中
，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，，
解得：，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
