浙教版数学九年级上册第2章简单事件的概率 核心素养测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·慈溪期末）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；
B.“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.“汗滴禾下土”是随机能事件，因此选项C不符合题意；
D.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
2．下列说法正确的是( )
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5 中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3 枚质地均匀的骰子，3枚全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意；
C、“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可.
3．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算；列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：∵用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：
123、132、213、231、312、321，
∴其中恰好是“平稳数”的有123、321，
∴恰好是“平稳数”的概率为，
故答案为：C.
【分析】列出所有等可能结果，从中找到“平稳数”的结果，再根据概率公式求解即可．
4．（2023九上·余姚月考）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．
你的答案是（ ）
笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门 （A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠 走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【知识点】列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：由题意得小松鼠走出笼子的路线有=AD、AE、BD、BE、CD、CE，
∴有6种不同的可能，
故答案为：B
【分析】先根据题意列举出所有的可能的路线，进而即可求解。
5．（2024九上·杭州开学考）将一枚六个面编号分别为，，，，，的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于，的方程组只有正数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：当2a-b=0时，方程组无解；
当2a-b≠0时，由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a，b都为大于0的整数，
则两式联合求解可得，
∵使x、y都大于0则有，
解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，
∵a，b都为1到6的整数，
∴当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，
∴这两种情况出现可能有3+10=13种；
综上所述，掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，关于，的方程组只有正数解的概率为，
故答案为：D
【分析】根据题意分当2a-b=0时，当2a-b≠0时，进行讨论，进而根据二元一次方程组的解结合题意即可得到当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，从而根据等可能事件的概率即可求解。
6．（2024·古林模拟） 在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关， 两题均有四个选项， 此选手只能排除第 1 题的错误选项， 第 2 题完全不会， 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项)， 为提高通关概率， 他的求助使用策略为( )
A．两次求助都用在第 1 题
B．两次求助都用在第 2 题
C．在第 1、第 2 题各用一次求助
D．无论如何使用通关概率都相同
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 选手可以排除第 1 题的错误选项，
∴解答第1题共有3种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
解答第2题共有4种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
若①两次求助都用在第1题，：
则第1题可以排除掉所有的错误答案，第2题不能排除，
故此时通关的概率为.
②两次求助都用在第2题，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
√ × ×
√ (√，√) (×，√) (×，√)
× (√，×) (×，×) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
③ 在第 1、第 2 题各用一次求助，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
√ ×
√ (√，√) (×，√)
× (×，√) (×，×)
× (×，√) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
∵，
∴两次求助都用在第1题，通关概率更高.
故答案为：A
【分析】利用列表法求出每种方案通关的概率，比较大小，即可得到答案.
7．班长邀请四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则两名同学座位相邻的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、B、C、D四人所有排列的可能为4×3×2×1=24种，
A，B两位同学座位相邻，C、D两人随意排列的可能有3×2×1×2×1=12种，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为P＝．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
8．（2023九上·金东月考）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：第一次摸到红球的概率，第二次摸到绿球的概率，同时发生的概率为，
故答案为：A.
【分析】这是一个放回实验，因此每次摸到红球的概率都是，摸到绿球的概率都是，前后两次同时发生，概率相乘即可.
9．（2023·温州模拟）中考结束后，九年（8）班全体同学和老师们举行了户外研学活动， 若九年（8）班共有学生45人，老师5人． 为了活动方便，植树小组打算进行两两随机组队． 若小哲和小涵都选择了植树，则他们被分到同一组的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： ∵九年（8）班共有学生45人，老师5人 ，植树的占8%，
∴九年（8）班全体同学和老师们植树的人（人），
∴选择植树的有人，设另外两人分别为A和B，
∴列表如下：
A B 小哲 小涵
A （B，A） （小哲，A） （小涵，A）
B （A，B） （小哲，B） （小涵，B）
小哲 （A，小哲） （B，小哲） （小涵，小哲）
小涵 （A，小涵） （B，小涵） （小哲，小涵）
∴一共有12种等可能得情况，其中他们被分到同一组的有4种情况，
∴他们被分到同一组的概率是．
故答案为：B．
【分析】先求出植树的人数，再用列表法求解概率．
10．“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 550 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法中错误的是（ )
A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68
D．如果转动转盘3 000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约为900
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、∵转动转盘20次，不一定有6次获得“文具盒”，它是随机事件，结果不确定，∴A不正确，符合题意；
B、∵大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，∴B正确，不符合题意；
C、∵由B可知再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，∴C正确，不符合题意；
D、∵指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据表格中数据并利用频率的定义逐项分析判断即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2018九上·杭州月考）连掷一枚均匀的骰子五次都没有得到6点，第六次得到6点的概率是 .
【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：第6次掷骰子依然是一个随机事件，点数朝上的概率没有发生变化。
故答案为： 。
【分析】投掷 一枚均匀的骰子 ，朝上一面有6种等可能的结果，其中朝上一面是6的只有一种，根据概率公式即可算出点数朝上一面是6的概率为，不能投掷多少次，每一次点数朝上的概率没有发生变化，从而即可得出答案。
12．（2025九上·慈溪期末）为估计种子的发芽率，做了 10 次实验。每次种了 1000 颗种子，发芽的种子都在 950颗左右，预估该种子的发芽率为 。
【答案】95%
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：(950×10)÷(1000×10)×100%=95%，
故答案为：95%.
【分析】计算发芽的种子数占实验种子总数的百分比来估计种子的发芽率.
13．（2024·仙居二模）一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为5的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列出摸出的2球的树从图如下所示：
总共有12种情况，两球数字之和为5的情况有4种，故概率为P=
故答案为：.
【分析】利用树众图将可能所有情况列出，即可求出和为5的概率.
14．（2024九上·瑞安期末）如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域有种可能；
故一粒米落在阴影区域的概率为：；
故答案为：.
【分析】根据几何图形的面积，利用概率公式计算即可．
15．（2024·拱墅模拟）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：
369、396、639、693、936、963，一共6中情况；
∴一次就能打开行李箱的概率为，
故答案为：．
【分析】根据题意列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算即可求解．
16．（2025·临安模拟）为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“DeepSeek”和“豆包”三个主题，若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意画出树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
三、解答题（共8题，共52分）
17．在求随机事件的概率时， “放回” 与“不放回”， “一次性取两个”与“一次取一个， 取两次”对概率的计算有什么影响？
【答案】答：放回，则下次再取时，出现的结果数量不变；不放回，则下次再取时，出现的结果数量将减少；“放回” 与“不放回” 对概率的计算有影响。
一次性质取两个，与一次取一个，取两次是一致的，对概率计算没有影响。
【知识点】概率的意义；概率公式
【解析】【分析】根据所有可能的结果数量和符合条件的结果数量的变化进行分析作答。
18．将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上．
A：投掷一枚硬币时，得到一个正面；B：在一小时内，你步行可以走80千米；
C：给你一个骰子中，你掷出一个3；D：明天太阳会升起来．
【答案】解：A、投掷一枚硬币时，得到一个正面的概率=0.5；
B、在一小时内，你步行可以走80千米是不可能事件，概率为0；
C、给你一个骰子中，你掷出一个3的概率是；
D、明天太阳会升起来是必然事件，概率为1．
所以将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上如图所示：
【知识点】概率的意义
【解析】【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①、符合条件的情况数目；
②、全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
19．在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．
（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
【答案】解：（1）50×+30×+20×=11.875（元）；
（2）∵11.875元＞10元，
∴选择转转盘．
【知识点】概率的意义
【解析】【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
20．（2025九上·江北期末）中华文化之瑰宝——＂四大名著＂，即《水汻传》，《三国演义》，《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位．
（1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是 ．
（2）若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水汻传》和《三国演义》的概率。
【答案】（1）
（2）解：从这四本书籍中随机抽取两本的情况列表如下（记四本书籍依次为 ，
-
-
-
-
共有 12 种等可能结果，其中《水汻传》和《三国演义》被选中的结果有 2 种，
抽到的两本恰好是 《水汻传》和《三国演义》的概率为 .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1)从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)由表格得到所有的12种等可能的结果数，找出抽到的两套恰好是《水汻传》和《三国演义》的结果数，然后根据概率公式求解.
21．（2025九下·义乌开学考）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾，其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾，
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）列树状图或表格，求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．
【答案】解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，C，D，
∵小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；
（2）画树状图如下：
由树状图知，小丽投放的垃圾共有4×4=16种等可能结果，
其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，A）、（B，C）、（B，D）、（C，A）、（C，B）、（C，D）、（D，A）、（D，B）、（D，C），共12种结果，
所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用概率公式首先可以确定概率的分母是4，因为小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”，因此分母是1，因此小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率就是；（2）首先画出树状图，然后列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
22．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.59 0.605 0.601
（1）请填出表中所缺的数据；
（2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少 （精确到0.01）
（3）请据此推断袋中白球约有多少 只．
【答案】解：（1）填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（2）答案为：0.60；
（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12（只）．
故答案为：0.58，484；0.60；12．
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量=频率直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数；
23．（2025八下·海宁月考）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下表：
每批粒数 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数 65 111 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70
（1）完成上述表格： ， ；
（2）这种油菜籽发芽的概率估计值为 ；
（3）如果这种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？
【答案】（1）136；0.70
（2）0.70
（3）解：10000×0.70×90%=6300(棵)，
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜积苗6300棵
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)a=200×0.68=136，，
故答案为：136，0.70.
(2)这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，因为在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率，
故答案为：0.70.
【分析】(1)用发芽的粒数m÷每批粒数n即可得到发芽的频率；
(2)6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当几很大时，频率将接近0.7；
(3)首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵树即可.
24．（2025·上城模拟）中国的人工智能领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表：
九年级学生最常使用的“”软件统计表
软件 使用人数 百分比
18
12
豆包
腾讯元宝 6
其他软件
8%
九年级学生最常使用的“软件统计图”
（1）请写出统计表中的值：
___________，___________；
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”．现从“”、“”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是""和""的概率．
【答案】（1）
（2）解：（人）．答：最常使用“”的同学有144位．
（3）（3）解：根据题意画树状图如下：
根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2．
．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：本次调查学生数为：，
所以使用“”的同学的所占百分比为，即；
“豆包”使用的学生数为：位，即．
故答案为：．
【分析】
（1）观察频数分布表、扇形统计图，可用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答；
（2）用学生数乘以所占的比例即可解答；
（3）两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，注意画树状图时不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：本次调查学生数为：，
所以使用“”的同学的所占百分比为，即；
“豆包”使用的学生数为：位，即．
故答案为：．
（2）解：（人）．
答：最常使用“”的同学有144位．
（3）解：根据题意画树状图如下：
根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2．
．
1 / 1浙教版数学九年级上册第2章简单事件的概率 核心素养测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·慈溪期末）下列诗句所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流 B．大漠孤烟直 C．汗滴禾下土 D．手可摘星辰
2．下列说法正确的是( )
A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
B．从1，2，3，4，5 中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大
C．小强一次掷出3 枚质地均匀的骰子，3枚全是6点朝上是随机事件
D．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 ，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
3．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·余姚月考）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．
你的答案是（ ）
笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门 （A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．问松鼠 走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？
A．12 B．6 C．5 D．2
5．（2024九上·杭州开学考）将一枚六个面编号分别为，，，，，的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于，的方程组只有正数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·古林模拟） 在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能顺利通关， 两题均有四个选项， 此选手只能排除第 1 题的错误选项， 第 2 题完全不会， 他还有两次 “求助” 机会 (使用可去掉一个错误选项)， 为提高通关概率， 他的求助使用策略为( )
A．两次求助都用在第 1 题
B．两次求助都用在第 2 题
C．在第 1、第 2 题各用一次求助
D．无论如何使用通关概率都相同
7．班长邀请四名同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四名同学随机坐在①、②、③、④号座位，则两名同学座位相邻的概率是( )
A． B． C． D．
8．（2023九上·金东月考）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·温州模拟）中考结束后，九年（8）班全体同学和老师们举行了户外研学活动， 若九年（8）班共有学生45人，老师5人． 为了活动方便，植树小组打算进行两两随机组队． 若小哲和小涵都选择了植树，则他们被分到同一组的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 550 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法中错误的是（ )
A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68
D．如果转动转盘3 000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约为900
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2018九上·杭州月考）连掷一枚均匀的骰子五次都没有得到6点，第六次得到6点的概率是 .
12．（2025九上·慈溪期末）为估计种子的发芽率，做了 10 次实验。每次种了 1000 颗种子，发芽的种子都在 950颗左右，预估该种子的发芽率为 。
13．（2024·仙居二模）一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为5的概率是 ．
14．（2024九上·瑞安期末）如图，正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域的概率为 ．
15．（2024·拱墅模拟）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 ．
16．（2025·临安模拟）为弘扬科学精神，提高学生的科学文化素养，某校开展黑板报评比活动，确定“机器人”，“DeepSeek”和“豆包”三个主题，若七年级1班和七年级2班两个班随机选择其中一个主题出黑板报，则这两个班选择同一主题的概率是 .
三、解答题（共8题，共52分）
17．在求随机事件的概率时， “放回” 与“不放回”， “一次性取两个”与“一次取一个， 取两次”对概率的计算有什么影响？
18．将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上．
A：投掷一枚硬币时，得到一个正面；B：在一小时内，你步行可以走80千米；
C：给你一个骰子中，你掷出一个3；D：明天太阳会升起来．
19．在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．
（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
20．（2025九上·江北期末）中华文化之瑰宝——＂四大名著＂，即《水汻传》，《三国演义》，《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位．
（1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是 ．
（2）若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水汻传》和《三国演义》的概率。
21．（2025九下·义乌开学考）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾，其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾，
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）列树状图或表格，求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．
22．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑，白两种颜色的球共20只．某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.59 0.605 0.601
（1）请填出表中所缺的数据；
（2）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近多少 （精确到0.01）
（3）请据此推断袋中白球约有多少 只．
23．（2025八下·海宁月考）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下表：
每批粒数 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数 65 111 345 560 700
发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70
（1）完成上述表格： ， ；
（2）这种油菜籽发芽的概率估计值为 ；
（3）如果这种油菜籽发芽后的成秧率为，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗多少棵？
24．（2025·上城模拟）中国的人工智能领域近年来取得了显著的进展，并推动了技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表：
九年级学生最常使用的“”软件统计表
软件 使用人数 百分比
18
12
豆包
腾讯元宝 6
其他软件
8%
九年级学生最常使用的“软件统计图”
（1）请写出统计表中的值：
___________，___________；
（2）已知九年级有400位同学，试估算最常使用“”的同学有多少位？
（3）小城了解到：使用“”和“”组合生成的效果很好，堪称“王炸组合”．现从“”、“”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是""和""的概率．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.“黄河入海流”是必然事件，因此选项A不符合题意；
B.“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.“汗滴禾下土”是随机能事件，因此选项C不符合题意；
D.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项D符合题意.
故答案为：D.
【分析】必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对条件S的必然事件，简称必然[
不可能事件：在条件S下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件S的不可能事件，简称不可能事件；
随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件.
2．【答案】C
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一样”，故该选项错误，不符合题意；
B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意；
C、“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意；
D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可.
3．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算；列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：∵用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有：
123、132、213、231、312、321，
∴其中恰好是“平稳数”的有123、321，
∴恰好是“平稳数”的概率为，
故答案为：C.
【分析】列出所有等可能结果，从中找到“平稳数”的结果，再根据概率公式求解即可．
4．【答案】B
【知识点】列出事件所有的可能性
【解析】【解答】解：由题意得小松鼠走出笼子的路线有=AD、AE、BD、BE、CD、CE，
∴有6种不同的可能，
故答案为：B
【分析】先根据题意列举出所有的可能的路线，进而即可求解。
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：当2a-b=0时，方程组无解；
当2a-b≠0时，由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a，b都为大于0的整数，
则两式联合求解可得，
∵使x、y都大于0则有，
解得a＜1.5，b＞3或者a＞1.5，b＜3，
∵a，b都为1到6的整数，
∴当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，
∴这两种情况出现可能有3+10=13种；
综上所述，掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，关于，的方程组只有正数解的概率为，
故答案为：D
【分析】根据题意分当2a-b=0时，当2a-b≠0时，进行讨论，进而根据二元一次方程组的解结合题意即可得到当a为1时b只能是4，5，6；或者a为2，3，4，5，6时b为1或2，从而根据等可能事件的概率即可求解。
6．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵ 选手可以排除第 1 题的错误选项，
∴解答第1题共有3种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
解答第2题共有4种等可能的结果，其中正确的结果有一种，故作对的概率为.
若①两次求助都用在第1题，：
则第1题可以排除掉所有的错误答案，第2题不能排除，
故此时通关的概率为.
②两次求助都用在第2题，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
√ × ×
√ (√，√) (×，√) (×，√)
× (√，×) (×，×) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
③ 在第 1、第 2 题各用一次求助，竖列表示第一题，横列表示第二题，如表所示：
√ ×
√ (√，√) (×，√)
× (×，√) (×，×)
× (×，√) (×，×)
共有6种等可能的结果，其中通关的结果只有一种，故通关的概率为.
∵，
∴两次求助都用在第1题，通关概率更高.
故答案为：A
【分析】利用列表法求出每种方案通关的概率，比较大小，即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】概率公式；复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：A、B、C、D四人所有排列的可能为4×3×2×1=24种，
A，B两位同学座位相邻，C、D两人随意排列的可能有3×2×1×2×1=12种，
∴A，B两位同学座位相邻的概率为P＝．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】复合事件概率的计算
【解析】【解答】解：第一次摸到红球的概率，第二次摸到绿球的概率，同时发生的概率为，
故答案为：A.
【分析】这是一个放回实验，因此每次摸到红球的概率都是，摸到绿球的概率都是，前后两次同时发生，概率相乘即可.
9．【答案】B
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： ∵九年（8）班共有学生45人，老师5人 ，植树的占8%，
∴九年（8）班全体同学和老师们植树的人（人），
∴选择植树的有人，设另外两人分别为A和B，
∴列表如下：
A B 小哲 小涵
A （B，A） （小哲，A） （小涵，A）
B （A，B） （小哲，B） （小涵，B）
小哲 （A，小哲） （B，小哲） （小涵，小哲）
小涵 （A，小涵） （B，小涵） （小哲，小涵）
∴一共有12种等可能得情况，其中他们被分到同一组的有4种情况，
∴他们被分到同一组的概率是．
故答案为：B．
【分析】先求出植树的人数，再用列表法求解概率．
10．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、∵转动转盘20次，不一定有6次获得“文具盒”，它是随机事件，结果不确定，∴A不正确，符合题意；
B、∵大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，∴B正确，不符合题意；
C、∵由B可知再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，∴C正确，不符合题意；
D、∵指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据表格中数据并利用频率的定义逐项分析判断即可.
11．【答案】
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：第6次掷骰子依然是一个随机事件，点数朝上的概率没有发生变化。
故答案为： 。
【分析】投掷 一枚均匀的骰子 ，朝上一面有6种等可能的结果，其中朝上一面是6的只有一种，根据概率公式即可算出点数朝上一面是6的概率为，不能投掷多少次，每一次点数朝上的概率没有发生变化，从而即可得出答案。
12．【答案】95%
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：(950×10)÷(1000×10)×100%=95%，
故答案为：95%.
【分析】计算发芽的种子数占实验种子总数的百分比来估计种子的发芽率.
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：列出摸出的2球的树从图如下所示：
总共有12种情况，两球数字之和为5的情况有4种，故概率为P=
故答案为：.
【分析】利用树众图将可能所有情况列出，即可求出和为5的概率.
14．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：正六边形是由个大小相等的等边三角形构成，随机地往六边形内投一粒米，落在阴影区域有种可能；
故一粒米落在阴影区域的概率为：；
故答案为：.
【分析】根据几何图形的面积，利用概率公式计算即可．
15．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：
369、396、639、693、936、963，一共6中情况；
∴一次就能打开行李箱的概率为，
故答案为：．
【分析】根据题意列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算即可求解．
16．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把“机器人”，“”和“豆包”三个主题分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，
∴七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的概率为．
故答案为：．
【分析】根据题意画出树状图，共有9种等可能的结果，其中七年级1班和七年级2班恰好选择同一个主题的结果有3种，再由概率公式求解即可．
17．【答案】答：放回，则下次再取时，出现的结果数量不变；不放回，则下次再取时，出现的结果数量将减少；“放回” 与“不放回” 对概率的计算有影响。
一次性质取两个，与一次取一个，取两次是一致的，对概率计算没有影响。
【知识点】概率的意义；概率公式
【解析】【分析】根据所有可能的结果数量和符合条件的结果数量的变化进行分析作答。
18．【答案】解：A、投掷一枚硬币时，得到一个正面的概率=0.5；
B、在一小时内，你步行可以走80千米是不可能事件，概率为0；
C、给你一个骰子中，你掷出一个3的概率是；
D、明天太阳会升起来是必然事件，概率为1．
所以将下面事件的字母写在最能代表它的概率的点上如图所示：
【知识点】概率的意义
【解析】【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①、符合条件的情况数目；
②、全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
19．【答案】解：（1）50×+30×+20×=11.875（元）；
（2）∵11.875元＞10元，
∴选择转转盘．
【知识点】概率的意义
【解析】【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
20．【答案】（1）
（2）解：从这四本书籍中随机抽取两本的情况列表如下（记四本书籍依次为 ，
-
-
-
-
共有 12 种等可能结果，其中《水汻传》和《三国演义》被选中的结果有 2 种，
抽到的两本恰好是 《水汻传》和《三国演义》的概率为 .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1)从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是
故答案为：
【分析】(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)由表格得到所有的12种等可能的结果数，找出抽到的两套恰好是《水汻传》和《三国演义》的结果数，然后根据概率公式求解.
21．【答案】解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，C，D，
∵小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；
（2）画树状图如下：
由树状图知，小丽投放的垃圾共有4×4=16种等可能结果，
其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，A）、（B，C）、（B，D）、（C，A）、（C，B）、（C，D）、（D，A）、（D，B）、（D，C），共12种结果，
所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】（1）利用概率公式首先可以确定概率的分母是4，因为小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”，因此分母是1，因此小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率就是；（2）首先画出树状图，然后列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
22．【答案】解：（1）填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（2）答案为：0.60；
（3）由（2）摸到白球的概率为0.60，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12（只）．
故答案为：0.58，484；0.60；12．
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量=频率直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算白球的个数；
23．【答案】（1）136；0.70
（2）0.70
（3）解：10000×0.70×90%=6300(棵)，
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜积苗6300棵
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)a=200×0.68=136，，
故答案为：136，0.70.
(2)这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，因为在相同条件下，多次实验，某一事件的发生频率近似等于概率，
故答案为：0.70.
【分析】(1)用发芽的粒数m÷每批粒数n即可得到发芽的频率；
(2)6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当几很大时，频率将接近0.7；
(3)首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵树即可.
24．【答案】（1）
（2）解：（人）．答：最常使用“”的同学有144位．
（3）（3）解：根据题意画树状图如下：
根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2．
．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：本次调查学生数为：，
所以使用“”的同学的所占百分比为，即；
“豆包”使用的学生数为：位，即．
故答案为：．
【分析】
（1）观察频数分布表、扇形统计图，可用腾讯元宝的频数除以其所占的百分比即可求得调查学生人数，求得所占的百分比即可确定a的值；用调查人数乘以豆包所占的百分比即可解答；
（2）用学生数乘以所占的比例即可解答；
（3）两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，注意画树状图时不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：本次调查学生数为：，
所以使用“”的同学的所占百分比为，即；
“豆包”使用的学生数为：位，即．
故答案为：．
（2）解：（人）．
答：最常使用“”的同学有144位．
（3）解：根据题意画树状图如下：
根据树状图可知共12种等可能结果，其中恰好是""和""的结果数为2．
．
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