浙教版数学九年级上册第1章二次函数 核心素养测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025九上·湖州期末）下列函数中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八下·慈溪期中） 对于二次函数y=（x-1）2+2的图象；下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1
C．顶点坐标是（-1，2） D．当x<1时，y随x的增大而减小
3．（2025八下·兰溪期末） 抛物线y=-x2-4x+m的对称轴为（ ）.
A．直线x=-2 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x=-4
4．（2024·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
5．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是( )
A． B．
C． D．
6．（2025九上·海曙期末）若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
7．（2024·霍邱模拟） 已知一次函数与反比例函数的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·杭州期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024九上·镇海区期末）表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
7 14 14 7
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025·嘉兴模拟） 定义：抛物线（a， m， k 为常数，）中存在一点，使得， 则称 为该抛物线的“相对深度”.根据上述定义解答问题：已知抛物线 的“相对深度”为 4，则 a 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
11．二次函数y=x(x-1)+4x-3中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
12．（2024九上·杭州期中）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ．
13．（2024九上·嘉兴期中） 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式 .
14．（2024九上·上城期中）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
15．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4 cm，最低点 C 在x 轴上，高 CH=1 cm，BD=2cm ，则右轮廓 DFE 所在抛物线的表达式为 .
16．若将抛物线 向下平移5 个单位后经过点(-2，4)，则6a-3b-7= .
三、解答题（共7题，共52分）
17．一个二次函数y=（k﹣1）．求k值．
18．（2021九上·慈溪期中）已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个二次函数的顶点坐标．
19．（2023九上·萧山期末）已知二次函数（a为常数，且）
（1）若函数图象过点，求a的值；
（2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值．
20．（2023九上·安吉期中）已知二次函数．
（1）若图象过点，求抛物线顶点坐标．
（2）若图象与坐标轴有两个交点，求的值．
（3）若函数图象上有两个不同的点，且，求的取值范围．
21．（2024·义乌模拟）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线
上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
22．（2023九上·温州月考）已知二次函数．
（1）求该二次函数的最值；
（2）当时，求的取值范围．
23．（2023九上·柯桥期中）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为轴于点，它与轴交于点，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
（1）【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点（点在点右侧）抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
（2）【应用】如图3是某地一座三连拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，请求出边跨的矢跨比．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=4x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
B、y=2x-1，y是x的一次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x2-3，y是x的二次函数，故此选项符合题意；
D、，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数，由此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：解：∵二次函数y=（x-1）2+2，a=1>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，故A、B、C三个选项都错误，不符合题意；D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】对于抛物线“y=a(x-h)2+k”对称轴直线为x=h，顶点坐标为(h，k)，当a＞0时，图象开口向上，x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，图象开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，据此结合题意，逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴该抛物线的对称轴为直线
故答案为：A.
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴.
4．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴和的函数图象开口向上，的函数图象开口向下，且图像的开口大于图像的开口，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质，对于二次函数，当时，图像开口向上；当时，图像开口向下；越大，则开口越小．据此结合选项进行判断即可.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点
和
∴函数为
∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为
∴函数的最大值与最小值之和是：
故答案为：B.
【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限
，，
二次函数的图像开口向上，与y轴交于正半轴，，对称轴在y轴左侧
其中一个交点的横坐标为
，即
二次函数的图像与x轴有一个交点为，
故答案为：A
【分析】先根据反比例函数与一次函数的交点问题得到，，，进而得到二次函数的图像开口向上，与y轴交于正半轴，，对称轴在y轴左侧，再结合题意即可画出二次函数的图象。
8．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由函数图象可得，函数经过第一、二、三象限，则，，函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，则，，即，故A不符合题意；
B、由函数图象可得，函数经过第一、二、四象限，则，，函数的图象开口向下，对称轴在轴右边，则，，即，故B不符合题意；
C、由函数图象可得，函数经过第一、二、三象限，则，，函数的图象开口向上，对称轴在轴右边，则，，即，故C符合题意；
D、由函数图象可得，函数经过第一、三、四象限，则，，函数的图象开口向下，对称轴在轴左边，则，，即，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数、二次函数的图象与性质分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，据此即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】所以，据此判断即可．
【解答】解：，其对应的函数值是先增大后减小，
抛物线开口向下，
，①符合题意；
，
，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；
，，
，
，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故答案为：C．
【分析】首先根据表格函数值的变化，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
，解得，
是抛物线上的点，
，
，解得.
故答案为： B.
【分析】利用相对深度的定义可得，解得，再通过二次函数解析式的性质可得，进而求得.
11．【答案】1；3；-3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：先把二次函数整理成一般形式为：
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3，
故答案为：1，3，-3.
【分析】把二次函数化为一般式，然后解答即可.
12．【答案】3
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∵二次函数中，
∴，
故答案为：3．
【分析】将原点坐标代入二次函数解析式求出的值，然后由二次函数的定义中二次项系数不为0，即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设销售单价降低x元，
则y=(125-x-70)(75+5x)=-5x2+200x+4125，
故答案为：.
【分析】设销售单价降低x元，根据利润=单件利润×销售量列函数关系式解题即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
15．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵B，D关于y轴对称，高CH=1cm，BD=2cm，
∴D点坐标为（1，1），
∵AE//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，
∴A，B关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），
∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），
设右侧抛物线的解析式为，
将D（1，1）代入解析式得：，
故设右侧抛物线的解析式为，
故答案为：.
【分析】通过已知条件确定抛物线的顶点F的坐标和点D的坐标，然后设顶点式，代入点D的坐标，进而求出右侧抛物线的表达式.
16．【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 向下平移5个单位后得到的抛物线的表达式为
把(-2，4)代入上式，得
整理得
3b-7=3(2a-b)-7=3×3-7=2.
【分析】先求出平移后的解析式，然后把(-2，4)代入得到，在整体代入计算解答即可.
17．【答案】解：由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，再解即可；
18．【答案】（1）解：设抛物线y=ax2+bx+c，
把（－6，0），（2，0），（0，－6）三点代入解析式，得
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：
∴抛物线的顶点坐标为：（-2，-8）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）设y=ax2+bx+c，把（-6，0），（2，0），（0，-6）代入求出a、b、c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，进而可得顶点坐标.
19．【答案】（1）解：函数图象过点得
解得：；
（2）解：由可知对称轴为直线，
①当时，开口方向向上，
当时，有时取最小值，时取最大值，
，，
∵，
∴，
解得：；
②当时，开口方向向下，
当时，有时取最大值，时取最小值，
，，
∵，
解得： ；
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出a的值；
（2）分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案．
（1）解：函数图象过点得
解得：
（2）由可知对称轴为直线
①当时，开口方向向上，当时
当时取最小值，当时取最大值
，
解得，满足题意．
②当时，开口方向向下，当时
当时取最大值，当时取最小值
，
解得 满足题意．
综上所述：．
20．【答案】（1）抛物线顶点坐标
（2）的值为或或1；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
21．【答案】（1）解：①，∴；
②∵抛物线中，，
∴抛物线开口向上，
∵点点在抛物线上，对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（2）解：由题意可知，点)在对称轴的左侧， 点在对称轴的右侧，，都有，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，解得，
∴的取值范围是
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式解答即可；
②利用二次函数的开口方向和增减性解题即可；
（2）得到点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出t的取值范围即可.
22．【答案】（1）最小值为；
（2）当时，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
23．【答案】（1）9；6；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
1 / 1浙教版数学九年级上册第1章二次函数 核心素养测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2025九上·湖州期末）下列函数中，是的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=4x，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意；
B、y=2x-1，y是x的一次函数，故此选项不符合题意；
C、y=x2-3，y是x的二次函数，故此选项符合题意；
D、，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）叫做二次函数，由此判断即可.
2．（2025八下·慈溪期中） 对于二次函数y=（x-1）2+2的图象；下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1
C．顶点坐标是（-1，2） D．当x<1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：解：∵二次函数y=（x-1）2+2，a=1>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，故A、B、C三个选项都错误，不符合题意；D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】对于抛物线“y=a(x-h)2+k”对称轴直线为x=h，顶点坐标为(h，k)，当a＞0时，图象开口向上，x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，图象开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，据此结合题意，逐一判断得出答案.
3．（2025八下·兰溪期末） 抛物线y=-x2-4x+m的对称轴为（ ）.
A．直线x=-2 B．直线x=2 C．直线x=4 D．直线x=-4
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线
∴该抛物线的对称轴为直线
故答案为：A.
【分析】将抛物线解析式化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴.
4．（2024·余姚期中）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A．y＝（x﹣35）（200﹣5x） B．y＝（x+40）（200﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x） D．y＝（x+5）（200﹣10x）
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】根据售价减去进价乘以销售量表示出实际的利润.
5．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴和的函数图象开口向上，的函数图象开口向下，且图像的开口大于图像的开口，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质，对于二次函数，当时，图像开口向上；当时，图像开口向下；越大，则开口越小．据此结合选项进行判断即可.
6．（2025九上·海曙期末）若函数y=-2x2+bx+c的图象经过点（-1，1）和（1，-7），则当-3≤x≤0时，函数的最大值与最小值之和是（ ）
A．-8 B．-6 C．-3 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意，∵函数 的图象经过点
和
∴函数为
∴当 时， 当 时，y最大值为1；当 时，y取最小值为
∴函数的最大值与最小值之和是：
故答案为：B.
【分析】依据题意，代入 和 求出b，c的值，即可得到函数解析式，再由二次函数的性质，结合 进而可以判断得解.
7．（2024·霍邱模拟） 已知一次函数与反比例函数的图象在第二象限有两个交点，且其中一个交点的横坐标为，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：一次函数和反比例函数的两个交点在第二象限
，，
二次函数的图像开口向上，与y轴交于正半轴，，对称轴在y轴左侧
其中一个交点的横坐标为
，即
二次函数的图像与x轴有一个交点为，
故答案为：A
【分析】先根据反比例函数与一次函数的交点问题得到，，，进而得到二次函数的图像开口向上，与y轴交于正半轴，，对称轴在y轴左侧，再结合题意即可画出二次函数的图象。
8．（2024九上·杭州期中）在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A、由函数图象可得，函数经过第一、二、三象限，则，，函数的图象开口向上，对称轴在轴左边，则，，即，故A不符合题意；
B、由函数图象可得，函数经过第一、二、四象限，则，，函数的图象开口向下，对称轴在轴右边，则，，即，故B不符合题意；
C、由函数图象可得，函数经过第一、二、三象限，则，，函数的图象开口向上，对称轴在轴右边，则，，即，故C符合题意；
D、由函数图象可得，函数经过第一、三、四象限，则，，函数的图象开口向下，对称轴在轴左边，则，，即，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据一次函数、二次函数的图象与性质分别判断各个选项中两个函数的、的符号，看是否一致，据此即可得到答案.
9．（2024九上·镇海区期末）表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中
7 14 14 7
根据表中提供的信息，有以下四个判断：
①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】所以，据此判断即可．
【解答】解：，其对应的函数值是先增大后减小，
抛物线开口向下，
，①符合题意；
，
，②符合题意；
根据图表中的数据知，只有当是抛物线的对称轴，抛物线的顶点坐标纵坐标不一定是，故③不符合题意；
，，
，
，④符合题意．
综上，可得判断正确的是：①②④．
故答案为：C．
【分析】首先根据表格函数值的变化，可得抛物线开口向下，所以；然后根据函数值是先增大后减小，可得，可得二次函数有最大值，而且二次函数的最小值，
10．（2025·嘉兴模拟） 定义：抛物线（a， m， k 为常数，）中存在一点，使得， 则称 为该抛物线的“相对深度”.根据上述定义解答问题：已知抛物线 的“相对深度”为 4，则 a 的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
，解得，
是抛物线上的点，
，
，解得.
故答案为： B.
【分析】利用相对深度的定义可得，解得，再通过二次函数解析式的性质可得，进而求得.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．二次函数y=x(x-1)+4x-3中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
【答案】1；3；-3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：先把二次函数整理成一般形式为：
故二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，3，
故答案为：1，3，-3.
【分析】把二次函数化为一般式，然后解答即可.
12．（2024九上·杭州期中）若二次函数的图象经过原点，则m的值为 ．
【答案】3
【知识点】二次函数的定义；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∵二次函数中，
∴，
故答案为：3．
【分析】将原点坐标代入二次函数解析式求出的值，然后由二次函数的定义中二次项系数不为0，即可得到答案.
13．（2024九上·嘉兴期中） 2025年是农历乙巳蛇年，商场为准备新的一年的商品，购进一批单价为70元的“迎新蛇”公仔，并以每个125元售出，此时每天可售出75个．市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．如果设销售单价降低x元，每天所获销售利润y元，请列出y关于x的函数表达式 .
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设销售单价降低x元，
则y=(125-x-70)(75+5x)=-5x2+200x+4125，
故答案为：.
【分析】设销售单价降低x元，根据利润=单件利润×销售量列函数关系式解题即可.
14．（2024九上·上城期中）如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
15．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图，对应的两条抛物线关于y轴对称，AE∥x轴，AB=4 cm，最低点 C 在x 轴上，高 CH=1 cm，BD=2cm ，则右轮廓 DFE 所在抛物线的表达式为 .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵B，D关于y轴对称，高CH=1cm，BD=2cm，
∴D点坐标为（1，1），
∵AE//x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，
∴A，B关于直线CH对称，
∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），
∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），
设右侧抛物线的解析式为，
将D（1，1）代入解析式得：，
故设右侧抛物线的解析式为，
故答案为：.
【分析】通过已知条件确定抛物线的顶点F的坐标和点D的坐标，然后设顶点式，代入点D的坐标，进而求出右侧抛物线的表达式.
16．若将抛物线 向下平移5 个单位后经过点(-2，4)，则6a-3b-7= .
【答案】2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；求代数式的值-整体代入求值；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线 向下平移5个单位后得到的抛物线的表达式为
把(-2，4)代入上式，得
整理得
3b-7=3(2a-b)-7=3×3-7=2.
【分析】先求出平移后的解析式，然后把(-2，4)代入得到，在整体代入计算解答即可.
三、解答题（共7题，共52分）
17．一个二次函数y=（k﹣1）．求k值．
【答案】解：由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
【知识点】二次函数的定义
【解析】【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，再解即可；
18．（2021九上·慈溪期中）已知二次函数的图象经过（－6，0），（2，0），（0，－6）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求这个二次函数的顶点坐标．
【答案】（1）解：设抛物线y=ax2+bx+c，
把（－6，0），（2，0），（0，－6）三点代入解析式，得
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：
∴抛物线的顶点坐标为：（-2，-8）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）设y=ax2+bx+c，把（-6，0），（2，0），（0，-6）代入求出a、b、c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）将二次函数的解析式化为顶点式，进而可得顶点坐标.
19．（2023九上·萧山期末）已知二次函数（a为常数，且）
（1）若函数图象过点，求a的值；
（2）当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值．
【答案】（1）解：函数图象过点得
解得：；
（2）解：由可知对称轴为直线，
①当时，开口方向向上，
当时，有时取最小值，时取最大值，
，，
∵，
∴，
解得：；
②当时，开口方向向下，
当时，有时取最大值，时取最小值，
，，
∵，
解得： ；
综上所述，．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出a的值；
（2）分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案．
（1）解：函数图象过点得
解得：
（2）由可知对称轴为直线
①当时，开口方向向上，当时
当时取最小值，当时取最大值
，
解得，满足题意．
②当时，开口方向向下，当时
当时取最大值，当时取最小值
，
解得 满足题意．
综上所述：．
20．（2023九上·安吉期中）已知二次函数．
（1）若图象过点，求抛物线顶点坐标．
（2）若图象与坐标轴有两个交点，求的值．
（3）若函数图象上有两个不同的点，且，求的取值范围．
【答案】（1）抛物线顶点坐标
（2）的值为或或1；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
21．（2024·义乌模拟）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线
上．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；
②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：①，∴；
②∵抛物线中，，
∴抛物线开口向上，
∵点点在抛物线上，对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（2）解：由题意可知，点)在对称轴的左侧， 点在对称轴的右侧，，都有，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，解得，
∴的取值范围是
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式解答即可；
②利用二次函数的开口方向和增减性解题即可；
（2）得到点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出t的取值范围即可.
22．（2023九上·温州月考）已知二次函数．
（1）求该二次函数的最值；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）最小值为；
（2）当时，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
23．（2023九上·柯桥期中）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为轴于点，它与轴交于点，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．
（1）【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点（点在点右侧）抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；
（2）【应用】如图3是某地一座三连拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，请求出边跨的矢跨比．
【答案】（1）9；6；
（2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
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