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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破一 三角形的三边关系及其应用（五大题型40道）
1．(24-25八上·甘肃张掖山丹县·期中)一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．(24-25七下·四川乐山夹江县·期末)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．B． C． D．
3．(24-25七下·重庆江北巴川量子学校·期末)以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．(24-25七上·湖北十堰郧阳区思源实验学校·)小华用一根15厘米长的铁丝围成了一个三角形，它的边长可能分别是 厘米、 厘米、 厘米．
5．(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学·期末)有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ．
6．(24-25七下·广东揭阳真理中学·)现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个．
7．(24-25八上·内蒙古赤峰巴林左旗·期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中 能摆成三角形（只填序号即可）．
1．(24-25八上·广西钦州钦北区·期中)已知三角形两边长分别为，，设第三边为，则x的取值范围是 ．
2．(24-25七下·重庆鲁能巴蜀中学·期末)已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ．
3．(24-25八下·河北廊坊霸州第五中学·)一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3，则第三边的最大值为 ．
4．(24-25八上·江西赣州南康区镜坝中学·月考)在中，，若的长是偶数，则的周长为
5．已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值．
6．(24-25八上·贵州遵义校联考·期中)已知三角形的三边长分别为3，8，．
(1)求的取值范围；
(2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
7．(24-25七下·广东河源连平县协作区联考·期中)已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长．
8．(24-25八上·江西上饶鄱阳县四十里街友谊联考·期末)如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长．
9．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)已知的三边长为，，，且，，均为整数．
(1)若，，求边长的取值范围： ；
(2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长．
1．23-24八上·湖北黄石经济技术开发区·)若a，b，c是的三边，化简．
2．(24-25七下·银川金凤区银川外国语实验学校·期末)已知的三边长为，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求的周长．
(2)化简：．
3．(24-25八上·湖北十堰五校联考·月考)已知是的三边，化简：．
4．(24-25八上·河北沧州第十四中学·月考)已知的三边长分别为3、5、a，化简．
5．已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为奇数，求c的值；
(2)化简：．
6．(24-25七下·广东揭阳真理中学·)已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断的形状．
7．(24-25下·河南南阳励志中学·月考)已知的三边长分别为，，，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求的周长．
(2)化简：．
8．(24-25七下·河南周口郸城县部分学校·)已知的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断的形状．
1．(24-25八上·湖北武汉·期中)如图所示，是内的一点，试说明：．
2．如图，已知O为内任意一点，求证
(1) ；
(2)
3．如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由．
4.如图所示，在中，是上一点，则成立吗？说明理由．
5．(24-25七上·河南驻马店平舆县·期末)如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由．
1．(24-25八上·河南驻马店西平县·期末)阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
．
．
，，
，，
，．
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的最大边长c的值．
2．(24-25八上·河南辉县太行中学·月考)先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若，求m和n的值
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
问题：
(1)若，求的值．
(2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围．
3．(24-25八上·陕西西安阎良区六三〇中学·月考)材料一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由，得．
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．
材料二：“探究性学习”小组的甲、乙、丙三名同学进行因式分解如下．
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 丙： （十字相乘） ．
请仿照上述解法回答下列各题：
(1)①分解因式：；
②分解因式：；
(2)若，，分别为三边的长，且，请判断的形状，并说明理由．
4．(24-25八上·重庆万盛经济技术开发区·期末)阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是的最大边长，且为奇数，求的周长．
5．(24-25九上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)阅读材料：若，求与的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求与的值．
(2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的周长．
6．(24-25八下·辽宁沈阳第一三四中学·月考)阅读材料：若，求、的值．
解：，
，
，
，，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值．
7．(24-25九上·广东江门广德实验学校·期中)阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，
∴．
∴，
∴，．
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的第三边c的最大值．
8．(24-25八上·广东江门新会区尚雅学校·期中)王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
，
∴当时，，有最小值0
∴当时，，有最小值．
所以最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
(1)多项式有最_______（填“大”或“小”）值，该值为_______．
(2)已知，求的最值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
9．(24-25八下·四川达州达川区·期末)阅读材料：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
(1)因式分解：__________；
(2)若的三边长是a，b，c，满足，且为偶数，求的周长的最小值；
(3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
10．(24-25七下·江苏扬州邗江区实验学校蒋王分校·月考)王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
(1)当____________时，有最小值是____________
(2)多项式有最____________（填“大”或“小”）值，该值为____________
(3)已知，求的最值
(4)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
11．(24-25八上·广东珠海第十中学·月考)阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，∴．
，．
请解答下面的问题：
(1)关于x的两个多项式与相乘展开后的结果不含有一次项，且二次项系数为1，求a和b的值；
(2)已知三边a、b、c的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边c的长．中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破一 三角形的三边关系及其应用（五大题型40道）
1．(24-25八上·甘肃张掖山丹县·期中)一个三角形的三边长分别为，，，则，，的值不可能是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题解题的关键是掌握三角形的三边关系，三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意；
B、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意；
C、，满足三角形三边关系，故此项不符合题意；
D、，不满足三角形三边关系，故此项符合题意；
故选D．
2．(24-25七下·四川乐山夹江县·期末)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，
∴长为的三条线段能构成三角形，符合题意；
C、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，
∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
3．(24-25七下·重庆江北巴川量子学校·期末)以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、，能构成三角形，故B符合题意；
C、，不能构成三角形，故C不符合题意；
D、，不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
4．(24-25七上·湖北十堰郧阳区思源实验学校·)小华用一根15厘米长的铁丝围成了一个三角形，它的边长可能分别是 厘米、 厘米、 厘米．
【答案】 5 5 5
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合周长为15厘米，找出满足条件的三边长度组合 ．本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．
【详解】解：可先尝试找简单整数组合，比如5、5、5，，，且 ．
故答案为：5、5、5（答案不唯一） ．
5．(24-25七下·陕西西安交通大学附属中学·期末)有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系．
根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可．
【详解】解：∵，，，，
∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，，
∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或，
故答案为： 或．
6．(24-25七下·广东揭阳真理中学·)现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，最多可以组成 个．
【答案】7
【分析】本题考查三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ），解题的关键是逐一判断五条线段中任取三条的组合是否满足三边关系．
从五条线段中任取三条，根据三角形三边关系判断能否组成三角形，统计满足条件的组合数．
【详解】以其中的三条线段为边组成三角形的有：
；
；
；
；
；
；
．
共有 7 种情况．
故答案为： 7 ．
7．(24-25八上·内蒙古赤峰巴林左旗·期末)下列每组数分别是三根小木棒的长度：①，，；②，，；③，，；④，，．其中 能摆成三角形（只填序号即可）．
【答案】①④/④①
【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】解：①∵，∴，，能摆成三角形；
②∵，∴，，不能摆成三角形；
③∵，∴，，不能摆成三角形；
④∵，∴，，能摆成三角形．
故答案为：①④．
1．(24-25八上·广西钦州钦北区·期中)已知三角形两边长分别为，，设第三边为，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此回答即可．
【详解】解：∵三角形两边长分别为，，
∴，
即．
故答案为： ．
2．(24-25七下·重庆鲁能巴蜀中学·期末)已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可．
【详解】解：设第三边为，
∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边，
∴，即，
∵第三边是偶数，
∴，
∴此三角形的周长为．
故答案为：
3．(24-25八下·河北廊坊霸州第五中学·)一个三角形的三边均为整数，其中两边长为2和3，则第三边的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形的第三边长是x，由此得到，即可得到答案．解题关键是掌握三角形三边关系定理．
【详解】解：设三角形的第三边长是x，
由三角形三边关系定理得到：，
，
三角形三边均为整数，
三角形第三边的最大值为
故答案为：
4．(24-25八上·江西赣州南康区镜坝中学·月考)在中，，若的长是偶数，则的周长为
【答案】14或16或18
【分析】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形任两边之和大于第三边，三角形的任两边之差小于第三边．
根据“三角形的任两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可．
【详解】解：因为，
所以，
因为长是偶数，
所以为4或6或8，
周长为：14或16或18，
故答案为：14或16或18．
5．已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值．
【答案】，，．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和偶次幂非负性，由，得，，然后通过三角形三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
∴，
∵是整数，
∴，，．
6．(24-25八上·贵州遵义校联考·期中)已知三角形的三边长分别为3，8，．
(1)求的取值范围；
(2)若为偶数，则组成的三角形的周长最小是多少？
【答案】(1)
(2)17
【分析】此题考查了三角形三边关系的应用，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此进行解答即可．
（1）根据三角形的三边关系即可得到答案；
（2）由（1）中求得的范围并根据为偶数即可得到的值，再根据三角形的周长最小即可求出答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
即
则的取值范围为；
（2）由（1）得
为偶数
为6，8，10
要组成三角形的周长最小，
只能为6，
三角形的周长最小为，
则三角形的周长最小为17
7．(24-25七下·广东河源连平县协作区联考·期中)已知三角形的两边长分别为和，第三边长为偶数，求这个三角形的周长．
【答案】、、、或
【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之差小于三边，两边之和大于第三边”，求出x的取值范围，即可解答．
【详解】解：设第三边的长为，
根据三角形的三边关系，，即，
∵第三条边长为偶数，
∴第三边是，，，，
第三边是时，该三角形的周长．
第三边是时，该三角形的周长．
第三边是时，该三角形的周长．
第三边是时，该三角形的周长．
第三边是时，该三角形的周长．
8．(24-25八上·江西上饶鄱阳县四十里街友谊联考·期末)如果一个三角形的一边长为7，另一边长为3，若第三边长为x，且x为偶数时，求这个三角形的周长．
【答案】这个三角形的周长为或
【分析】本题考查了三角形的三边关系，求不等式的整数解，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：∵一个三角形的一边长为，另一边长为，设第三边的长为，
∴，
∴，
∵x为偶数，
∴或，
当时，这个三角形的周长是：；
当时，这个三角形的周长是：；
综上，这个三角形的周长为或．
9．(24-25八上·云南玉溪玉溪八中·期中)已知的三边长为，，，且，，均为整数．
(1)若，，求边长的取值范围： ；
(2)在（1）的条件下，若为偶数，求的周长．
【答案】(1)、、、、
(2)或
【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形三边之间的关系；
（1）根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，进而即可求解；
（2）将的值表示出来，分情况计算周长即可求解；
【详解】（1） 的三边长为，，，
，，
，
即，且，，均为整数，
故的取值范围为：、、、、；
故答案为：、、、、
（2）解：为偶数，，
故可取，；
当时，的周长为；
当时，的周长为
1．23-24八上·湖北黄石经济技术开发区·)若a，b，c是的三边，化简．
【答案】
【分析】此题主要考查三角形三边关系的理解及运用能力．三角形的组成规则：任意两条边的长度和大于第三边 同时应保证这任意两条边的长度差小于第三边．
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【详解】解：∵a、、是的三边长，
，
．
2．(24-25七下·银川金凤区银川外国语实验学校·期末)已知的三边长为，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求的周长．
(2)化简：．
【答案】(1)12
(2)
【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质．
（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长；
（2）由三角形三边关系定理得到，即可化简．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：，
，
为奇数，
，
的周长．
（2）由三角形三边关系定理得到：，，
，
．
3．(24-25八上·湖北十堰五校联考·月考)已知是的三边，化简：．
【答案】
【分析】本题考查了三角形三边关系，整式的加减运算，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
首先根据三角形三边的关系化简绝对值，然后再根据同类项的定义和合并同类项的方法进行化简即可．
【详解】解：根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，可得：
，
，移项可得；
，
原式
．
4．(24-25八上·河北沧州第十四中学·月考)已知的三边长分别为3、5、a，化简．
【答案】．
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，化简绝对值，掌握三角形的三边关系是解题的关键；
根据三角形三边的关系得到，据此化简绝对值即可得到答案．
【详解】 的三边长分别为3、5、a，
，即，
，，，
∴
，
．
5．已知的三边长分别为a，b，c．
(1)若，，且c为奇数，求c的值；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键．
（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案；
（2）根据三角形三边的关系可得，则，据此去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为a，b，c，，，
∴，
∴，即，
∵c为奇数，
∴；
（2）解：的三边长分别为a，b，c，
∴，
∴，
∴
．
6．(24-25七下·广东揭阳真理中学·)已知：的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：；
(2)若a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】(1)
(2)等边三角形
【分析】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用；
（1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可；
（2）由非负数的性质证明，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵ 三边长，
∴
∴
．
；
（2）解：∵且，，
∴且
∴且，即
∴等边三角形．
7．(24-25下·河南南阳励志中学·月考)已知的三边长分别为，，，且，，都是整数．
(1)若，，且为奇数，求的周长．
(2)化简：．
【答案】(1)12
(2)
【分析】（1）根据三角形存在的条件，解答即可．
（2）根据三角形三边关系，化简解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵第三边长c为奇数，，
∴．
的周长为．
（2）解：∵，，是三角形的三边长，
故，
∴，，
∴
．
8．(24-25七下·河南周口郸城县部分学校·)已知的三边长分别为．
(1)化简：；
(2)若，第三边的长为奇数，判断的形状．
【答案】(1)
(2)是等腰三角形
【分析】本题主要考查整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类，熟练掌握整式的加减运算、绝对值的意义、三角形的三边关系及三角形的分类是解题的关键；
（1）根据三角形的三边关系可得，然后可去绝对值，进而问题可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得，则有，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵的三边长分别为，
∴，
∴
；
（2）解：∵，
∴根据三角形三边关系可得，
∵第三边的长为奇数，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
1．(24-25八上·湖北武汉·期中)如图所示，是内的一点，试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．在、、中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得．
【详解】证明：在中，，
同理可得：，，
，
．
2．如图，已知O为内任意一点，求证
(1) ；
(2)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明．
（1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明；
（2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：在中，①，
在中，②，
在中，③，
得2，
即；
（2）证明：如图，延长交于点D．
在中，①，
在中，②，
，得；
∵，，
∴，
∴③，
同理可证④，⑤，
，得，
∴．
3．如图，已知D、E是内的两点，问成立吗？请说明理由．
【答案】成立，见解析
【分析】考查三角形的边的不等关系时，要注意三角形的三边关系结合图形，反复运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”进行证明．
【详解】解：，理由如下：
延长交于点F、延长交于G，
在中：①，
在中：②，
在中：③，
∵，
∴①②③得：
，
即：，
，
∴．
4.如图所示，在中，是上一点，则成立吗？说明理由．
【答案】成立，理由见解析
【分析】本题考查了三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，同时考查了不等式的性质．先根据三角形三边关系定理可得，，再将两式相加得，即．
【详解】
解：成立，理由如下：
在中，，
在中，，
两式相加得：，
即．
5．(24-25七上·河南驻马店平舆县·期末)如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小，在四边形内任找一点（如点，且与点不重合），比较它与点到四个顶点的距离之和即可得到结论．
【详解】解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小．
理由如下：
∵，且 ，
∴，
∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点．
1．(24-25八上·河南驻马店西平县·期末)阅读材料：若，求m，n的值．
解：，
．
．
，，
，，
，．
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的最大边长c的值．
【答案】(1)
(2)的最大边c的值为4，5，6
【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，三角形三边的关系，非负数的性质，负整数指数幂是解题的关键．
（1）根据完全平方公式因式分解，然后根据非负数的性质得出x，y的值，然后代入计算即可；
（2）根据完全平方公式运算法，然后根据非负数的性质得出，，然后根据三角形三边的关系求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，，
，，
；
（2）解：，
，
，
，，
，
a，b，c是的三边，且c是最大边，
，
又是正整数，
的最大边c的值为4，5，6．
2．(24-25八上·河南辉县太行中学·月考)先阅读下面的内容，再解决问题：
例题：若，求m和n的值
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
问题：
(1)若，求的值．
(2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照题意得到，由此求出x、y的值即可得到答案；
（2）仿照题意得到，由此求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c是的三边长，且c是中最长的边，
∴，即，
∴．
当时，也为最长边，
综上，．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，三角形三边的关系，通过完全平方公式把等式左边配方成两个完全式，等式右边为0的等式是解题的关键．
3．(24-25八上·陕西西安阎良区六三〇中学·月考)材料一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由，得．
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．
材料二：“探究性学习”小组的甲、乙、丙三名同学进行因式分解如下．
甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 丙： （十字相乘） ．
请仿照上述解法回答下列各题：
(1)①分解因式：；
②分解因式：；
(2)若，，分别为三边的长，且，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查因式分解，灵活运用平方差公式和完全平方公式分解因式是解答的关键．
（1）①先利用完全平方公式将原式化为，再利用平方差公式分解因式即可；
②先利用完全平方公式将原式化为，再利用平方差公式分解因式即可，或利用“十字相乘法”求解；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式分解因式将等式化为，再结合三角形的三边关系得到，进而可得结论．
【详解】（1）解：①
；
②方法一：
；
方法二：
；
（2）解：是等腰三角形．理由为：
∵
，
又，
∴，
∵，，分别为三边的长，
∴
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
4．(24-25八上·重庆万盛经济技术开发区·期末)阅读材料：若，求、的值．
解：∵，
∴
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知、、分别为的三边长，且满足，若是的最大边长，且为奇数，求的周长．
【答案】(1)9
(2)14或16
【分析】此题主要考查了因式分解方法的应用和三角形的三条边之间的关系，解答此题的关键是掌握材料中因式分解的方法，明确三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
（1）根据材料，将因式分解得：，可求出的值，继而可求出结果；
（2）将因式分解得：，可求出的值，然后根据三角形的三边关系和是的最大边长，且为奇数，求得的值，即可得到结果．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
即的值是 9 ．
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
又 ∵为奇数，
或，
∴三角形的周长为或．
5．(24-25九上·广西南宁横州百合镇第三初级中学·期中)阅读材料：若，求与的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求与的值．
(2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】(1)，；
(2)的周长为．
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值；；
（）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值，从而得出的取值范围，根据为整数即可得出的值，从而求得三角形的周长．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是正整数，
∴，
∴的周长为．
6．(24-25八下·辽宁沈阳第一三四中学·月考)阅读材料：若，求、的值．
解：，
，
，
，，
，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解方法的应用，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
（1）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后求的值；
（2）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后根据三角形三边关系即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出边长的最大值，进而求出的周长的最大值．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，，
，，
；
（2），
，
，
，，
，，
的边长的范围为：，
即，
、、都是正整数，
的最大值为，
的周长的最大值为．
7．(24-25九上·广东江门广德实验学校·期中)阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，
∴．
∴，
∴，．
∴，．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求的第三边c的最大值．
【答案】(1)36
(2)11
【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性；
（1）先配方，然后由非负数性质求得结果；
（2）先配方，然后由非负数性质求得a、，进而由三角形三边关系求解即可．
【详解】（1）解：
∴
∴
∴．
∴，
即的值是18．
（2）解：
∴，．
∴，．
∵，
∴．
又∵三边长a，b，c都是正整数，
∴的第三边c的最大值11．
8．(24-25八上·广东江门新会区尚雅学校·期中)王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
，
∴当时，，有最小值0
∴当时，，有最小值．
所以最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
(1)多项式有最_______（填“大”或“小”）值，该值为_______．
(2)已知，求的最值．
(3)已知的三边长都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】(1)大；19
(2)
(3)9
【分析】本题考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可；
（3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可．
【详解】（1）
∵
∴当时，的值最大，最大值是0．
∴．
∴当时，的值最大，最大值是．
故答案为：大，19；
（2）∵，
，
∴
∵
∴当时，的值最小，最小值是0．
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．
（3），
，
边长的范围为．
，，都是正整数，
边长的值为4，则的周长为
9．(24-25八下·四川达州达川区·期末)阅读材料：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题：
(1)因式分解：__________；
(2)若的三边长是a，b，c，满足，且为偶数，求的周长的最小值；
(3)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)
(2)13
(3)，9
【分析】本题考查了配方法，三角形三边关系，分解因式的应用，解题的关键是正确理解题意给出的方法，本题属于基础题型．
（1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式；
（2）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b的值，根据三角形三边关系确定c的值，由三角形周长可得结论；
（3）根据配方法即可求出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∵的三边长是a，b，c，
∴，
又∵c边的长为偶数，
∴，6，8，
当，，时，的周长最小，最小值是：；
（3）解：
，
∴当时，多项式有最大值，最大值是9．
10．(24-25七下·江苏扬州邗江区实验学校蒋王分校·月考)王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
(1)当____________时，有最小值是____________
(2)多项式有最____________（填“大”或“小”）值，该值为____________
(3)已知，求的最值
(4)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
【答案】(1)；
(2)大；13
(3)的最小值是
(4)的周长为9
【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．
（1）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（2）化成完全平方公式和的形式计算即可；
（3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可；
（4）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴，
∴当时，的值最小，最小值是，
∴的最小值是．
（2）解：，
∵，
∴当时，的值最大，最大值是0，
∴．
∴当时，的值最大，最大值是．
（3）解：∵，
，
∴
∵
∴当时，的值最小，最小值是0，
∴．
∴当时，的值最小，最小值是．
∴的最小值是．
（4）解：，
，
，，
边长的范围为．
，，都是正整数，
边长的值为4，则的周长为．
11．(24-25八上·广东珠海第十中学·月考)阅读材料：若，求m，n的值．
解：∵，∴．
，．
请解答下面的问题：
(1)关于x的两个多项式与相乘展开后的结果不含有一次项，且二次项系数为1，求a和b的值；
(2)已知三边a、b、c的长都是互不相等的正整数，且满足，求的最大边c的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查多项式相乘、解二元一次方程组及三角形的三边关系，熟练掌握完全平方公式及三角形的三边关系是解题的关键；
（1）根据多项式乘多项式开展再合并同类项，结合已知列出二元一次方程组求解即可；
（2）先利用完全平方公式及三角形的三边关系可进行求解．
【详解】（1）解：
∵结果不含有一次项，且二次项系数为1，
∴，，解得；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的三边a，b，c的长都是互不相等的正整数，
∴．
