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【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破二 与三角形高的相关计算（五大题型30道）
1．(24-25七下·湖北大冶·期末)如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键．
如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积．
【详解】解：如图：连接，
∵的面积为，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴与面积比为，
∴与高之比为，即与的高之比为，
∴，
∴四边形的面积为．
故选：B．
2．(24-25七上·河南郑州第二中学·)如图，已知梯形的上底长15厘米，高的长也是15厘米；三角形和三角形的面积比是，梯形的面积是（ ）平方厘米．
A． B．225 C．300 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形面积计算，比的应用，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式．先根据三角形面积公式求出三角形的面积，然后根据比的意义，求出三角形的面积，最后求出梯形的面积即可．
【详解】解：根据题意可知：
，
∵三角形和三角形的面积比是，
∴，
∴．
故选：C．
3．(24-25八下·广西贵港港南区·期末)如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查三角形高有关的计算问题．根据题意求出的面积，即可得到的面积．
【详解】解：∵于点E，，，
∴，
又∵，
∴的面积．
故选：C．
4．(24-25七下·四川资阳资阳雁江区五校联考·期末)如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（ ）
A．14 B．12 C．11 D．10
【答案】A
【分析】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．
连接和，要求的面积，可以分成三部分来分别计算，是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行分析计算，即可解得的面积．
【详解】解：连接和，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴ 2，
则；
；
∴．
故选A．
5．(24-25七下·重庆西南大学附属中学校·期末)如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F，若，则的面积为（ ）
A．48 B．64 C．72 D．80
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，解题的关键是理解并灵活应用高相等，底之比等于面积之比．
根据，点是的中点，求出和的长度，进而求出三角形的面积，根据高相等面积之比等于底之比，即可求出的面积，得出的面积，根据为中线，得出与的面积相等，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
，点是的中点，
，
，且，
，
又∵，
，
，
．
故选：D．
1．(24-25七下·四川遂宁·期末)如图，和分别是的角平分线和高，过点作，垂足为若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的角平分线，高线，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据，，得出，根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据是的高，进而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∵是的角平分线
∴
∴
∵是的高，
∴
∴
故选：B．
2．(24-25七下·山东青岛李沧区、城阳区、西海岸、平度、胶州五区·期末)如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，根据三角形内角和定理，即得解．
【详解】解：∵，，
，
平分，
，
，
，
，
，
故选：C．
3．如图，在中，，平分，，，则 度．
【答案】50
【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线和高的相关知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
由平分，可得和相等，由，，可求得的度数．已知和，在直角三角形中利用两锐角互余，可求得答案．
【详解】解：∵平分，，
∴
∴，
∴中，．
故答案为：50．
4．(24-25八上·辽宁大连第八十中学·月考)如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，则 °.
【答案】
【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，理解三角形内角和定理、三角形高和角平分线的定义，准确推理计算是解题的关键．
根据三角形高和角平分线的定义、三角形内角和定理，先求出、的度数，再计算即可．
【详解】解：∵，
∴
在中，是高，是角平分线，
∴，，
∴．
故答案为：
5．已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查三角形的高的特征．分两种情况讨论求解即可：①当D在线段上时，②当D在线段的延长线上时．
【详解】解：①当D在线段上时，如图1，；
②当D在线段的延长线上时，如图2，．
故答案为：或．
6．(24-25七下·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期末)如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ．
【答案】
【分析】根据三角形内角和定理，得，根据对顶角相等，高线的定义，得，继而得到，得到，解答即可．
本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，高线的意义，角的平分线的定义，熟练掌握定理，角的平分线是解题的关键．
【详解】解：由，，
根据三角形内角和定理，得，
根据对顶角相等，高线的定义，得，
继而得到，
故，
故．
故答案为：．
1．(25-26八上·黑龙江哈尔滨德强学校·)如图，在中，于点，于点，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．
根据三角形面积计算公式即可解题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为： ．
2．(24-25七下·山东枣庄峄城区东方学校·)在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积计算、一元一次方程的应用等知识点，利用等面积法列出方程成为解题的关键．
由直角三角形的面积公式得到，然后代值求解方程即可．
【详解】解：如图：
∵，，
∴，即，
∴，
解得：．
故答案为．
3．(24-25八上·四川广安友实学校·开学考)如图，，垂足为，，，，点到所在直线的距离是 ，点到点的距离是 ，点到的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点到直线的距离，点到点的距离，根据点到直线的距离的定义、点到点的距离的定义及三角形的面积公式解答即可，掌握定义是解题的关键．
【详解】解：∵，垂足为，，
∴点到所在直线的距离是，
∵，
∴点到点的距离是，
设点到的距离是，
则,
即，
解得，
∴点到的距离是，
故答案为：，，．
4．(24-25七下·内蒙古包头第二十九中学·期中)如图，已知于点B，于点D，且与相交于点O．已知，，，则的长为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了与三角形的高有关计算，根据计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵于点B，于点D，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
5．(24-25七下·四川成都龙泉驿区师一中学校·)如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的中线的性质、与三角形的高有关的计算，由题意可得，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】解：∵在中，为中线，
，
∵和分别为和的高，
，即，
，
故答案为：．
1．(24-25七下·湖北鄂州梁子湖区·期中)如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．2.4 B．5 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：，，，，
当时，的值最小，
此时：的面积，
，
．
故选：A．
2．如图，在中，，，，．点在线段上运动，则线段长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知，当时，线段的长度最小，再根据三角形的面积求出的长即可求解，理解垂线段最短是解题的关键．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的长度最小，如图，
∵，
∴，
即，
解得，
∴线段长度的最小值是，
故答案为：．
3．(24-25七下·四川达州宣汉县·期末)如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小．
【详解】解：在中，于点，，如图，过点C作于点D，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵垂线段最短，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为，
故答案为：．
4．(24-25七下·陕西西安爱知初级中学·期中)如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】题目主要考查三角形面积的计算，垂线段最短，理解题意，得出当时，取得最小值即是解题关键．
过点A作，过点D作，根据题意得出，确定，得出，确定当时，取得最小值即，结合图形求解面积的最小值即可．
【详解】解：过点A作，过点D作，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴当取得最小时，面积最小，
∵D为顶点，E为动点，
当时，取得最小值即，
∴，
∴，
∴，
∴面积最小为，
故答案为：．
5．(24-25七下·甘肃陇南康县·期中)在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积公式，掌握垂线段最短是解题的关键．
根据垂线段最短可得当时，线段最短，再由面积法求解即可．
【详解】解：如图，当时，线段最短，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
6．(24-25七下·湖北孝感汉川·期中)如图，在直角三角形中，．则：
（1）点B到的距离是 ；
（2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】 6 //
【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到．（1）点B到的距离是即可得出答案；（2）当时，线段的值最小值，利用三角形面积求出结果即可．
【详解】解：（1），
点B到的距离是；
（2）当时，线段的值最小值，
，
，
，
，
∴线段的最小值是，
故答案为：6；．
7．(24-25七下·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·月考)如图，直线∥直线n，的顶点分别在直线m、n上，已知，的面积为12．现将向右平移得到，对应点分别为A与D，B与E，C与F，P为直线上一点，连接．若平移的距离为3，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形面积计算，垂线段最短，过点D作于点G，过点C作，根据平移的性质得出，，，，根据三角形面积求出，根据四边形面积求出，最后根据垂线段最短，得出答案即可．
【详解】解：过点D作于点G，过点C作，如图所示：
根据平移可知：，，，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点P在点Q处时，最小，
∴的最小值为．
故答案为：．
1．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·)已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
【答案】(1)的面积为
(2)
【分析】本题考查的是三角形中线的性质及直角三角形性质，
（1）先求出三角形面积，再根据三角形中线性质求出结论；
（2）借助三角形面积求出斜边上的高即可．
【详解】（1）解：在直角三角形中，，，
，
∵点E是的中点，
∴的面积；
（2）解：在直角三角形中，于D，
，
∴，
∴
2．如图，的面积是20，点是的中点，点在上，且，与交于点．求四边形的面积．
【答案】9
【分析】本题考查三角形面积与底和高的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．连接，当两个三角形高相等时，三角形面积与底成正比关系，结合已知条件E是中点，，找到三角形面积之间的关系，求出的面积，然后求出结果即可．
【详解】解：如图所示，连接，
设，
∵E是中点，，的面积是20，
，，，
且，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
即，
∴，
答：四边形的面积是9．
3．(24-25八上·山西忻州第五中学·期末)如图，已知分别是的高和中线，．求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键：
（1）等积法求出的长即可；
（2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可；
（3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，是的高，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，是的中线，
∴；
（3）∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差为．
4．如图，中，，是的角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若D是的中点，的面积为27，，求的长．
【答案】(1)
(2)9
【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、线段的中点定义、三角形的面积，理解角平分线和中点定义是解答的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）根据线段中点定义求得，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：∵D是的中点，，
∴，
∵，的面积为27，
∴，
解得．
5．(24-25八上·贵州遵义校联考·月考)如图，是的高线，是中点，连接交于点．
(1)若的周长为．求的周长；
(2)在（1）的情况下，若，求点到的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形的中线和高线．
（1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：是的中点
．
（2）解：过作于，如图：
点到的距离为．
6．(23-24七下·陕西榆林高新区第一中学·月考)如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接．
(1)求的面积；
(2)求和的周长差．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】本题考查了三角形的中线性质与面积公式（）的应用，解题关键是灵活运用中线对面积的分割作用及周长差的化简逻辑．
（1）先利用三角形面积公式结合为高求出的面积，再根据F是中点，由中线分三角形面积的性质得到的面积；
（2）先通过为高结合面积求出的长度，再根据F是中点得到，进而分析和的周长差．
【详解】（1）解：是的高，
F为的中点，是的中线，
；
（2）解： 是的高，
，即，
解得．
F是的中点，
，
又是公共边，的周长为，的周长为，
和的周长差为．
7．(24-25七下·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·期中)如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查的知识点是角平分线的定义、等角的余角相等、三角形面积计算公式，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．
（1）先根据角平分线的定义得到，再根据等角的余角相等得到，然后利用得到；
（2）利用等面积法计算的长．
【详解】（1）证明：平分，
，
是的高，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
即的长度为．中小学教育资源及组卷应用平台
【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册专题突破浙教（2024）版
专题突破二 与三角形高的相关计算（五大题型30道）
1．(24-25七下·湖北大冶·期末)如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
2．(24-25七上·河南郑州第二中学·)如图，已知梯形的上底长15厘米，高的长也是15厘米；三角形和三角形的面积比是，梯形的面积是（ ）平方厘米．
A． B．225 C．300 D．
3．(24-25八下·广西贵港港南区·期末)如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．(24-25七下·四川资阳资阳雁江区五校联考·期末)如图，分别延长的边，使得．若的面积为1，则的面积为（ ）
A．14 B．12 C．11 D．10
5．(24-25七下·重庆西南大学附属中学校·期末)如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F，若，则的面积为（ ）
A．48 B．64 C．72 D．80
1．(24-25七下·四川遂宁·期末)如图，和分别是的角平分线和高，过点作，垂足为若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．(24-25七下·山东青岛李沧区、城阳区、西海岸、平度、胶州五区·期末)如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是
A． B． C． D．
3．如图，在中，，平分，，，则 度．
4．(24-25八上·辽宁大连第八十中学·月考)如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，则 °.
5．已知的高与的夹角分别是和，则的度数是 ．
6．(24-25七下·黑龙江哈尔滨道外区五校联盟·期末)如图，在中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P已知，， 则的度数是 ．
1．(25-26八上·黑龙江哈尔滨德强学校·)如图，在中，于点，于点，，，则 ．
2．(24-25七下·山东枣庄峄城区东方学校·)在直角中，是边上的高线，且，则的长为 ．
3．(24-25八上·四川广安友实学校·开学考)如图，，垂足为，，，，点到所在直线的距离是 ，点到点的距离是 ，点到的距离是 ．
4．(24-25七下·内蒙古包头第二十九中学·期中)如图，已知于点B，于点D，且与相交于点O．已知，，，则的长为 ．
5．(24-25七下·四川成都龙泉驿区师一中学校·)如图，在中，为中线，和分别为和的高，若，，，则 ．
1．(24-25七下·湖北鄂州梁子湖区·期中)如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（ ）
A．2.4 B．5 C．3 D．4
2．如图，在中，，，，．点在线段上运动，则线段长度的最小值是 ．
3．(24-25七下·四川达州宣汉县·期末)如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ．
4．(24-25七下·陕西西安爱知初级中学·期中)如图，在中，，点D在边上，，，点E是边上一动点，连接，在的上方作，使得，且，则面积的最小值为 ．
5．(24-25七下·甘肃陇南康县·期中)在三角形中，，，，，点是边上的一个动点，则线段最短为 ．
6．(24-25七下·湖北孝感汉川·期中)如图，在直角三角形中，．则：
（1）点B到的距离是 ；
（2）若P是线段上的一个动点，则的最小值为 ．
7．(24-25七下·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·月考)如图，直线∥直线n，的顶点分别在直线m、n上，已知，的面积为12．现将向右平移得到，对应点分别为A与D，B与E，C与F，P为直线上一点，连接．若平移的距离为3，则的最小值为 ．
1．(24-25八上·辽宁盘锦大洼区第二初级中学·)已知在直角三角形中，于D， 点E是的中点，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
2．如图，的面积是20，点是的中点，点在上，且，与交于点．求四边形的面积．
3．(24-25八上·山西忻州第五中学·期末)如图，已知分别是的高和中线，．求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)和的周长的差．
4．如图，中，，是的角平分线．
(1)若，求的度数；
(2)若D是的中点，的面积为27，，求的长．
5．(24-25八上·贵州遵义校联考·月考)如图，是的高线，是中点，连接交于点．
(1)若的周长为．求的周长；
(2)在（1）的情况下，若，求点到的距离．
6．(23-24七下·陕西榆林高新区第一中学·月考)如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接．
(1)求的面积；
(2)求和的周长差．
7．(24-25七下·黑龙江哈尔滨第六十九中学校·期中)如图，在中，，为边上的高，为三角形的角平分线，与相交于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长度．
